Перейти к содержанию
Educora
RU
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Моё обучениеEducora StudioНастройки
Начальный5 класс22 мин7 / 82

Десятичные дроби

Разряды после запятой; чтение, сравнение и округление десятичных дробей; четыре действия с ними; переход от обыкновенной дроби к десятичной и обратно; первое знакомство с периодическими дробями.

Проверь себя
В этом уроке ты узнаешь
  • Определять разряд каждой цифры десятичной дроби, читать и записывать десятичные дроби
  • Сравнивать десятичные дроби и округлять их до заданного разряда
  • Складывать, вычитать, умножать и делить десятичные дроби, в том числе на 10, 100 и 0,1
  • Переводить обыкновенные дроби в десятичные и обратно, узнавать периодические дроби

Термометр показывает 36,6 °C, на ценнике в бакинском магазине написано 2,45 маната, а победитель школьного забега пробежал 60 м за 8,7 секунды. Все три числа — десятичные дроби, то есть дроби, записанные без дробной черты. На уроке «Действия с обыкновенными дробями» для сложения 3/10 и 7/100 нам был нужен общий знаменатель, а с десятичными дробями та же сумма равна просто 0,3 + 0,07 = 0,37. Калькуляторы, магазины и наука пользуются десятичными дробями потому, что с ними можно считать так же, как с натуральными числами. Следующий урок, «Проценты», целиком построен на них.

Что такое десятичная дробь: разряды

В натуральном числе каждый разряд в 10 раз больше соседнего справа: единицы, десятки, сотни. Десятичная дробь продолжает эту закономерность вправо от единиц, после запятой: каждый следующий разряд в 10 раз меньше предыдущего — десятые, сотые, тысячные, десятитысячные. Значит, десятичная дробь — это другая запись обыкновенной дроби со знаменателем 10, 100, 1000, …: 3/10 = 0,3; 47/100 = 0,47; 5/1000 = 0,005.

Определение
Десятичная дробь

Дробь со знаменателем 10, 100, 1000, …, записанная через запятую. Цифры до запятой образуют целую часть, цифры после запятой — дробную часть.

РазрядДесяткиЕдиницыДесятыеСотыеТысячные
Цифра32475
Значение3020,40,070,005
Обыкновенной дробью3024/107/1005/1000
32,475 = 30 + 2 + 0,4 + 0,07 + 0,005 — «тридцать две целых четыреста семьдесят пять тысячных».
k,d₁d₂d₃ = k + d₁/10 + d₂/100 + d₃/1000k,d₁d₂d₃ = k + d₁/10 + d₂/100 + d₃/1000
где:
  • kцелая часть
  • d₁цифра разряда десятых
  • d₂цифра разряда сотых
  • d₃цифра разряда тысячных

Разложение десятичной дроби по разрядам. Отсюда правило: сколько цифр после запятой, столько нулей после единицы в знаменателе обыкновенной дроби.

Чтение, запись и разряды

1) Прочитайте числа 5,07 и 0,308. 2) Запишите десятичной дробью: 3 целых 45 тысячных; 7/100; 23/1000. 3) Выразите 2 м 5 см в метрах, а 450 г — в килограммах.

Показать решение
1) 5,07 — «пять целых семь сотых»; 0,308 — «ноль целых триста восемь тысячных».
2) Для тысячных нужны три знака после запятой: 3,045. 7/100 → два знака: 0,07. 23/1000 → три знака: 0,023. Пустые разряды заполняются нулями.
3) 1 см = 1/100 м, значит, 2 м 5 см = 2 + 5/100 = 2,05 м (а не 2,5 м!). 1 г = 1/1000 кг, поэтому 450 г = 450/1000 = 0,45 кг.

Сравнение и округление

Нули, приписанные в конце десятичной дроби, не меняют её значения: 0,5 = 0,50 = 0,500, ведь 5/10 = 50/100 = 500/1000. В этом ключ к сравнению: когда у двух чисел одинаковое количество знаков после запятой, их сравнивают как натуральные числа.

  1. 1
    Сравните целые части

    Больше то число, у которого больше целая часть: 12,1 > 9,99.

  2. 2
    Уравняйте дробные части

    Если целые части равны, припишите справа нули, чтобы после запятой у обоих чисел было одинаковое количество цифр.

  3. 3
    Сравнивайте поразрядно

    Идите слева направо — десятые, затем сотые, затем тысячные; всё решает первая несовпадающая цифра.

Сравнение десятичных дробей

1) Что больше: 0,45 или 0,5? 2) Что больше: 3,089 или 3,1? 3) Расположите в порядке возрастания: 2,3; 2,03; 2,303; 2,33.

Показать решение
1) 0,45 и 0,50: 45 сотых < 50 сотых, значит, 0,45 < 0,5.
2) 3,089 и 3,100: целые части равны, в разряде десятых 0 < 1, значит, 3,089 < 3,1.
3) Сделаем у всех чисел по три знака после запятой: 2,300; 2,030; 2,303; 2,330. Теперь сравниваем 300, 30, 303 и 330: 2,03 < 2,3 < 2,303 < 2,33.

Часто все цифры не нужны: магазин не может взять 2,345 маната, а с числом 3,14159… неудобно считать. Округление заменяет число ближайшим к нему числом с меньшим количеством цифр. Правило такое же, как для натуральных чисел.

  1. 1
    Найдите разряд

    Подчеркните последнюю сохраняемую цифру (например, сотые).

  2. 2
    Посмотрите на следующую цифру

    Если это 0, 1, 2, 3 или 4, сохраняемая цифра не меняется; если 5, 6, 7, 8 или 9 — она увеличивается на 1.

  3. 3
    Отбросьте остальное

    Отбросьте цифры правее и поставьте знак ≈. Получившийся в конце нуль сохраняют: 4,96 ≈ 5,0 — этот нуль показывает точность.

Округление

1) Округлите 3,14159 до сотых. 2) 2,678 — до десятых. 3) 4,96 — до десятых. 4) 12,5 — до целых. 5) 0,0473 — до тысячных.

Показать решение
1) Оставляем 3,14; следующая цифра 1 < 5: 3,14159 ≈ 3,14.
2) Оставляем 2,6; следующая цифра 7 ≥ 5: 2,678 ≈ 2,7.
3) Оставляем 4,9; следующая цифра 6, поэтому 9 десятых превращаются в 10 десятых, то есть в 1 целую: 4,96 ≈ 5,0.
4) Следующая цифра 5 — округляем в большую сторону: 12,5 ≈ 13.
5) Следующая цифра 3: 0,0473 ≈ 0,047.

Сложение и вычитание. Умножение и деление на 10, 100 и 0,1

При сложении десятичных дробей десятые складывают с десятыми, а сотые — с сотыми, так же как в натуральных числах единицы складывают с единицами. Поэтому числа записывают запятая под запятой.

  1. 1
    Запятая под запятой

    Запишите числа так, чтобы запятые стояли в одном столбце, — тогда и одинаковые разряды окажутся друг под другом.

  2. 2
    Допишите нули

    Уравняйте количество знаков после запятой нулями; у натурального числа поставьте запятую и нули: 10 = 10,00.

  3. 3
    Вычислите и поставьте запятую

    Сложите или вычтите как натуральные числа и поставьте в ответе запятую под запятыми.

Сложение и вычитание

Вычислите: 1) 3,75 + 1,5; 2) 10 − 3,46; 3) 12,3 + 4,56 − 7,8.

Показать решение
1) 3,75 + 1,50 = 5,25.
2) 10,00 − 3,46 = 6,54 (занимаем единицу старшего разряда, как в натуральных числах: 1000 − 346 = 654 сотых).
3) 12,30 + 4,56 = 16,86; 16,86 − 7,80 = 9,06.

При умножении на 10 каждая цифра становится в 10 раз больше и переходит на один разряд влево — как будто запятая сдвигается на один знак вправо: 4,56 · 10 = 45,6. При умножении на 100 запятая сдвигается на два знака, на 1000 — на три знака вправо, а при делении — влево. Так как 0,1 = 1/10, умножить на 0,1 — значит разделить на 10.

a · 0,1 = a : 10 a · 0,01 = a : 100 a : 0,1 = a · 10 a : 0,01 = a · 100
где:
  • aлюбое число
  • 0,1; 0,01одна десятая (1/10) и одна сотая (1/100)

При умножении на 10, 100, 1000 запятая сдвигается на 1, 2, 3 знака вправо, при делении — влево. Умножить на 0,1 — то же, что разделить на 10, а разделить на 0,1 — то же, что умножить на 10.

Перенос запятой

1) 4,56 · 10; 4,56 · 100; 7,2 : 100. 2) 35 · 0,1; 2,4 : 0,01; 0,8 · 0,01. 3) Выразите 3,5 км в метрах, а 250 г — в килограммах.

Показать решение
1) 45,6; 456; 0,072 (недостающий разряд заполняется нулём: 7,2 → 0,072).
2) 35 · 0,1 = 35 : 10 = 3,5; 2,4 : 0,01 = 2,4 · 100 = 240; 0,8 · 0,01 = 0,8 : 100 = 0,008.
3) 1 км = 1000 м: 3,5 · 1000 = 3500 м. 1 г = 0,001 кг: 250 · 0,001 = 250 : 1000 = 0,25 кг.

Умножение и деление десятичных дробей

Почему 1,2 · 0,3 = 0,36? Запишем множители обыкновенными дробями: 12/10 · 3/10 = 36/100 = 0,36. Перемножаются натуральные числа 12 и 3, а знаменатели 10 и 10 дают 100 — два знака после запятой. Это верно для любых десятичных дробей:

a/10ᵐ · b/10ⁿ = (a · b)/10ᵐ⁺ⁿa/10ᵐ · b/10ⁿ = (a · b)/10ᵐ⁺ⁿ
где:
  • a, bмножители, записанные без запятой (натуральные числа)
  • m, nколичество цифр после запятой в каждом множителе

Перемножьте числа, не обращая внимания на запятые, затем отделите в произведении справа m + n цифр.

Умножение десятичных дробей

1) 1,2 · 0,3; 2) 0,25 · 0,4; 3) 0,05 · 0,02. 4) Мурад купил на рынке 1,5 кг яблок по 2,4 маната за килограмм и 0,8 кг винограда по 4,5 маната за килограмм и дал продавцу 10 манатов. Сколько сдачи он получил?

Показать решение
1) 12 · 3 = 36; отделяем 1 + 1 = 2 знака: 0,36.
2) 25 · 4 = 100; 2 + 1 = 3 знака: 0,100 = 0,1.
3) 5 · 2 = 10; 2 + 2 = 4 знака: 0,0010 = 0,001 (недостающие цифры заменяем нулями слева).
4) Яблоки: 15 · 24 = 360, отделяем 2 знака → 3,60 = 3,6 маната. Виноград: 8 · 45 = 360 → 3,6 маната. Всего: 3,6 + 3,6 = 7,2 маната; сдача: 10 − 7,2 = 2,8 маната.

Деление десятичной дроби на натуральное число — это обычное деление уголком; новое только одно: как только в делимом пройдена запятая, ставим запятую в частном. Если остаётся остаток, приписываем к делимому нули и продолжаем делить. Чтобы разделить на десятичную дробь, превращаем делитель в натуральное число. Так можно делать, потому что частное не меняется, если делимое и делитель умножить на одно и то же число (как основное свойство дроби: 4,8/0,4 = 48/4).

a : b = (a · 10ⁿ) : (b · 10ⁿ)
где:
  • aделимое
  • bделитель (десятичная дробь)
  • nколичество цифр после запятой в делителе

Перенесите запятую в обоих числах на n знаков вправо — делитель станет натуральным числом, и дальше делим на натуральное число.

  1. 1
    Посмотрите на делитель

    Сколько цифр после запятой у делителя? Это число n.

  2. 2
    Перенесите обе запятые

    Перенесите запятую в делителе и в делимом на n знаков вправо (при необходимости допишите к делимому нули).

  3. 3
    Разделите на натуральное число

    Делите уголком и ставьте запятую в частном, когда пройдёте запятую делимого.

Деление десятичных дробей

1) 7,2 : 6; 2) 3 : 8; 3) 4,8 : 0,4; 4) 7,2 : 0,09; 5) 1,44 : 1,2. 6) Ленту длиной 6 м разрезали на куски по 0,25 м. Сколько получилось кусков?

Показать решение
1) 72 десятых : 6 = 12 десятых: 1,2.
2) 3 = 3,000; 30 : 8 = 3 (остаток 6), 60 : 8 = 7 (остаток 4), 40 : 8 = 5: 0,375.
3) n = 1: 48 : 4 = 12.
4) n = 2: 720 : 9 = 80.
5) n = 1: 14,4 : 12 = 1,2.
6) 6 : 0,25 = 600 : 25 = 24 куска.
Проверь себя: заполни пропуск
  1. 1.4,56 · 100 =
  2. 2.0,3 · 0,2 =
  3. 3.9 : 0,3 =
  4. 4.2,678 ≈ (до десятых)
  5. 5.10 − 3,46 =

Обыкновенные и десятичные дроби. Периодические дроби

Десятичная дробь сразу превращается в обыкновенную: цифры после запятой записываем в числитель, в знаменатель — единицу и столько нулей, сколько цифр после запятой, затем сокращаем: 0,75 = 75/100 = 3/4. Наоборот, обыкновенная дробь — это деление: 3/8 означает 3 : 8.

a/b = a : ba/b = a : b
где:
  • aчислитель дроби (делимое)
  • bзнаменатель дроби (делитель), b ≠ 0

Любую обыкновенную дробь можно обратить в десятичную, разделив числитель на знаменатель. Если знаменатель можно довести до 10, 100 или 1000, это ещё быстрее: 3/5 = 6/10 = 0,6.

От обыкновенной дроби к десятичной и обратно

1) Запишите обыкновенной дробью и сократите: 0,75; 2,4; 0,125. 2) Запишите десятичной дробью: 3/5; 7/20; 7/25; 5/8.

Показать решение
1) После запятой 2, 1 и 3 цифры, значит, знаменатели 100, 10 и 1000: 0,75 = 75/100 = 3/4 (сократили на 25); 2,4 = 24/10 = 12/5 = 2⅖; 0,125 = 125/1000 = 1/8 (сократили на 125).
2) Доводим знаменатель до 10 или 100: 3/5 = 6/10 = 0,6; 7/20 = 35/100 = 0,35; 7/25 = 28/100 = 0,28. Для 8 ближайший такой знаменатель — 1000: 5/8 = 625/1000 = 0,625; можно и просто разделить: 5 : 8 = 0,625.

Теперь попробуйте 1 : 3: 10 : 3 = 3 (остаток 1), снова 10 : 3 = 3 (остаток 1), … Остаток 1 возвращается снова и снова, поэтому цифра 3 повторяется бесконечно: 1/3 = 0,333… Такая дробь не заканчивается.

Определение
Периодическая дробь и её период

Бесконечная десятичная дробь, в которой цифра или группа цифр (период) повторяется бесконечно. Период записывают в скобках: 1/3 = 0,(3); 2/11 = 0,1818… = 0,(18); 1/6 = 0,1666… = 0,1(6).

Какая дробь даст конечную, а какая периодическую десятичную дробь, можно сказать и без деления. У конечной десятичной дроби знаменатель 10, 100, 1000, …, а 10 = 2 · 5 состоит только из простых множителей 2 и 5 (разложение на простые множители — в уроке «Признаки делимости. Простые и составные числа»).

a/b — конечная десятичная дробь ⇔ b = 2ᵏ · 5ᵐa/b — конечная десятичная дробь ⇔ b = 2ᵏ · 5ᵐ
где:
  • a/ba/bнесократимая дробь
  • k, mчисла 0, 1, 2, …

Сначала сократите дробь. Если в знаменателе есть простой множитель, отличный от 2 и 5 (3, 7, 11, …), десятичная дробь будет периодической.

Конечная или периодическая?

Не выполняя деления, определите, какие дроби дают конечную десятичную дробь, затем проверьте: 1) 9/12; 2) 5/6; 3) 4/11; 4) 7/40.

Показать решение
1) Сначала сократим: 9/12 = 3/4, 4 = 2² — конечная: 0,75. (В 12 есть множитель 3, но после сокращения он исчезает!)
2) 6 = 2 · 3, есть множитель 3 — периодическая: 5 : 6 = 0,8333… = 0,8(3).
3) 11 — простое число, не 2 и не 5 — периодическая: 4 : 11 = 0,3636… = 0,(36).
4) 40 = 2³ · 5 — конечная: 7/40 = 175/1000 = 0,175.
Интерактив
Загрузка симуляции…
5/8 = 0,625 — конечная десятичная дробь. Сделайте знаменатель равным 3, 6, 7, 9, 11 или 12 — цифры начнут повторяться; при 2, 4, 5, 8 или 10 дробь всегда заканчивается.

На практике периодическую дробь округляют: 2/3 = 0,666… ≈ 0,67. А в точных вычислениях лучше оставить обыкновенную дробь: 1/3 + 0,5 = 1/3 + 1/2 = 5/6 — точный ответ, а 0,33 + 0,5 = 0,83 — приближённый. Как обратить любую периодическую дробь в обыкновенную (0,(36) = 4/11), вы узнаете на уроке «Геометрическая прогрессия». Обыкновенные и десятичные дроби снова встретятся на следующем уроке, «Проценты»: 3/4 = 0,75 = 75%.

Главное

  • Десятичная дробь — это дробь со знаменателем 10, 100, 1000, …; цифры после запятой обозначают десятые, сотые, тысячные.
  • Нули в конце не меняют десятичную дробь: для сравнения уравняйте число знаков и сравнивайте поразрядно.
  • Округляйте по следующей цифре: 0–4 — цифра не меняется, 5–9 — увеличивается на 1; за один шаг, от исходного числа.
  • Складывайте и вычитайте запятая под запятой; при умножении считайте знаки (m + n); при делении на десятичную дробь переносите обе запятые, пока делитель не станет натуральным.
  • a/b = a : b; несократимая дробь даёт конечную десятичную дробь, только если её знаменатель равен 2ᵏ · 5ᵐ, иначе дробь периодическая: 1/3 = 0,(3).

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12
Какая дробь равна 0,07?