Таблица производных

На первом уроке мы находили производную по определению: приращение аргумента, приращение функции, отношение, предел — один и тот же длинный путь для каждой новой функции. Повторять этот предел для sin x или √x в каждой задаче долго и утомительно. Математики один раз проделали эту работу для всех основных функций и собрали ответы в таблицу производных. Она работает как таблица умножения: 7 · 8 никто не считает на пальцах — просто помнят, что это 56. На этом уроке ты выучишь таблицу, увидишь, откуда берётся каждая строка, и потренируешься, пока пользоваться ею не станет привычкой.

Таблица целиком

Ниже собраны производные всех основных функций школьного курса. В левом столбце — функция, в среднем — её производная, в правом — условия, при которых формула верна. Два общих правила: формула работает только там, где сама функция определена (и дифференцируема), а в тригонометрических формулах x всегда измеряется в радианах.

1. 1
   Определи тип

   Где стоит x? В основании (xⁿ) — степенная функция, в показателе (aˣ) — показательная, под знаком ln или log — логарифмическая, под sin, cos, tg, ctg — тригонометрическая. Если x нет вовсе, это постоянная, её производная равна 0.

2. 2
   При необходимости преобразуй

   Запиши корень или дробь в виде степени: √x = x^(1/2), 1/x³ = x⁻³. После этого перед тобой обычная степенная функция.

3. 3
   Возьми строку из таблицы

   Выпиши f′(x) из таблицы и проверь условия: x > 0 для ln x и √x, x в радианах для тригонометрических функций.

4. 4
   Подставь точку

   Если нужно значение производной в точке x₀, подставляй x₀ в f′(x), а не в f(x), и упрощай.

Постоянная, линейная и степенная функции

Постоянная не меняется: для f(x) = C при любом Δx приращение Δf = C − C = 0, поэтому Δf / Δx = 0 и C′ = 0. Её график — горизонтальная прямая, а угловой коэффициент горизонтальной прямой равен 0. Для f(x) = kx + b приращение Δf = k(x + Δx) + b − (kx + b) = k · Δx, то есть Δf / Δx = k при любом Δx. Производная линейной функции равна её угловому коэффициенту и одинакова во всех точках; в частности, x′ = 1.

Теперь возьмём f(x) = xⁿ с натуральным n. Запишем (x + Δx)ⁿ как произведение n скобок (x + Δx). Если из каждой скобки взять x, получится xⁿ. Если из одной скобки взять Δx, а из остальных — x, получится xⁿ⁻¹ · Δx; такую скобку можно выбрать n способами, поэтому вместе выходит n · xⁿ⁻¹ · Δx. Все остальные слагаемые содержат хотя бы (Δx)², поэтому после деления на Δx в них остаётся Δx и они стремятся к 0.

Например, при n = 3: (x + Δx)³ = x³ + 3x²Δx + 3x(Δx)² + (Δx)³. Тогда Δf = 3x²Δx + 3x(Δx)² + (Δx)³ и Δf / Δx = 3x² + 3xΔx + (Δx)² → 3x². Значит, (x³)′ = 3x²: показатель вышел вперёд множителем, а сам уменьшился на 1.

Та же формула верна и для отрицательных, и для дробных показателей. Проверим два случая напрямую. Для 1/x = x⁻¹: Δf = 1/(x + Δx) − 1/x = −Δx / (x(x + Δx)), Δf / Δx = −1 / (x(x + Δx)) → −1/x². Формула даёт то же: (x⁻¹)′ = −1 · x⁻² = −1/x². Для √x = x^(1/2) умножим числитель и знаменатель на √(x + Δx) + √x: Δf / Δx = (√(x + Δx) − √x) / Δx = 1 / (√(x + Δx) + √x) → 1/(2√x), а формула даёт ½ · x^(−1/2) = 1/(2√x). Общее доказательство для любого действительного n дают в высшей математике, в школе формулой просто пользуются.

Показательная и логарифмическая функции

В функции y = aˣ переменная стоит в показателе, поэтому формула для степени здесь не работает. Найдём приращение: a^(x + Δx) − aˣ = aˣ · (a^Δx − 1), значит, Δf / Δx = aˣ · (a^Δx − 1) / Δx. Второй множитель не зависит от x: при Δx → 0 он стремится к угловому коэффициенту касательной к графику aˣ в точке (0; 1). Значит, производная показательной функции — это сама функция, умноженная на постоянное число.

Это число зависит от основания: для 2ˣ оно примерно 0,69, для 3ˣ — примерно 1,10. Можно проверить на калькуляторе: (2^0,001 − 1) / 0,001 ≈ 0,693, (3^0,001 − 1) / 0,001 ≈ 1,099. Значит, между 2 и 3 есть основание, для которого угловой коэффициент в точке (0; 1) равен ровно 1. Это основание — число e.

При a = e это число равно 1, поэтому (eˣ)′ = eˣ: функция равна своей производной. В каждой точке угловой коэффициент касательной к графику eˣ равен высоте графика: при x = 0 оба равны 1, при x = 2 оба равны e² ≈ 7,39. Для другого основания запишем a = e^(ln a); тогда aˣ = e^(kx), где k = ln a — постоянная. Умножение x на k умножает все угловые коэффициенты графика на k (точная причина — производная сложной функции, урок 5), поэтому (aˣ)′ = k · e^(kx) = aˣ · ln a. Проверка: ln 2 ≈ 0,693 и ln 3 ≈ 1,099 — ровно те числа, которые мы получили выше.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x. При таком отражении Δx и Δy меняются местами, поэтому прямая с угловым коэффициентом k переходит в прямую с угловым коэффициентом 1/k. Возьмём на графике eˣ точку (t; eᵗ): угловой коэффициент касательной там равен eᵗ. Симметричная ей точка (eᵗ; t) лежит на графике ln x, и угловой коэффициент там равен 1/eᵗ. Обозначив x = eᵗ, получим (ln x)′ = 1/x.

Логарифм по любому другому основанию сводится к ln по формуле перехода к новому основанию: logₐ x = ln x / ln a. Здесь 1/ln a — просто постоянный множитель, поэтому (logₐ x)′ = 1/(x · ln a). Для десятичного логарифма lg x = log₁₀ x: (lg x)′ = 1/(x · ln 10) ≈ 0,434/x.

Тригонометрические функции

Всё держится на одном пределе: если x измеряется в радианах, то sin h / h → 1 при h → 0. Геометрически: на единичной окружности маленькая дуга длины h и перпендикуляр sin h, опущенный из её конца на ось Ox, почти равны. В числах: sin 0,1 / 0,1 ≈ 0,9983, sin 0,01 / 0,01 ≈ 0,99998.

Из тригонометрии известна формула разности синусов: sin α − sin β = 2 cos((α + β)/2) · sin((α − β)/2). Тогда sin(x + h) − sin x = 2 cos(x + h/2) · sin(h/2), и после деления на h:
(sin(x + h) − sin x) / h = cos(x + h/2) · sin(h/2) / (h/2) → cos x · 1 = cos x.
Точно так же формула разности косинусов cos(x + h) − cos x = −2 sin(x + h/2) · sin(h/2) даёт (cos x)′ = −sin x.

Тангенс и котангенс — частные: tg x = sin x / cos x, ctg x = cos x / sin x. Их производные мы выведем на уроке 4 по правилу дифференцирования частного, а пока берём их из таблицы. Заметим, что 1/cos² x = 1 + tg² x, поэтому (tg x)′ всегда положительна: тангенс возрастает на каждом интервале области определения. Так же (ctg x)′ = −1/sin² x < 0: котангенс убывает на каждом интервале.

Работа с таблицей: проверка и тренировка

Таблица работает и в обратную сторону: если известно значение производной, можно найти точку. Это умение нужно в задачах на касательную (где угловой коэффициент равен данному числу?) и на уроке 6 (где производная равна нулю?).

Таблица — фундамент следующих двух уроков. На уроке 4 мы научимся дифференцировать суммы, произведения и частные табличных функций (например, x² · sin x), а на уроке 5 — сложные функции вроде sin 3x или e^(x²). Любое такое вычисление в конце концов сводится к строке этой таблицы, поэтому её нужно знать наизусть.