Тригонометрические функции и их графики

Напряжение в розетке не остаётся постоянным: каждую секунду оно совершает 50 полных колебаний — от положительных значений к отрицательным и обратно. В Азербайджане действующее значение напряжения сети равно 220 В, а наибольшее — 220√2 ≈ 311 В. Напряжение меняется по закону u(t) = 311 · sin(100πt), и его график — цепочка одинаковых волн, синусоида. Маятник, груз на пружине, звуковая волна, кабинка вращающегося колеса «колеблются» точно так же. Чтобы понимать такие волны, нужно знать графики тригонометрических функций.

На уроке «Радианная мера угла, основные тригонометрические тождества и формулы приведения» каждому углу соответствовала точка P(cos α; sin α) единичной окружности; оттуда же знакомы формулы периодичности и чётности. Теперь сделаем ещё шаг: радианную меру угла будем обозначать обычным действительным числом x. Каждому числу x соответствует одно число sin x — это функция, и у неё есть график. На этом уроке построим графики четырёх тригонометрических функций, прочитаем по ним свойства, а затем научимся растягивать, сжимать и сдвигать график. Следующий урок, «Тригонометрические уравнения и неравенства», опирается на эти графики.

Функция y = sin x и синусоида

На графике обе оси должны измеряться в одних единицах, поэтому x берут в радианах: число x — это дуга длины x на единичной окружности, а sin x — ордината конца этой дуги. Когда x растёт от 0 до π/2, точка поднимается в самую верхнюю точку окружности и sin x растёт от 0 до 1; при x = π синус снова равен 0; между π и 2π точка лежит на нижней полуокружности, и синус отрицателен. После 2π ≈ 6,28 точка начинает второй оборот, и всё повторяется.

Почему именно 2π и нет периода меньше? Пусть T — период синуса. Тогда sin(π/2 + T) = sin(π/2) = 1. Синус равен 1 только в точках π/2 + 2πn, значит, T = 2πn, и наименьшее положительное такое T равно 2π. Поэтому график синуса достаточно построить на отрезке [0; 2π]: остальное — повторение этой одной «волны» вправо и влево. Запомните пять опорных точек: в точках 0, π/2, π, 3π/2, 2π синус принимает значения 0, 1, 0, −1, 0 — «ноль, вершина, ноль, впадина, ноль».

• Нули: sin x = 0 при x = πn (n ∈ ℤ) — график пересекает ось Ox в точках 0, ±π, ±2π, …
• Наибольшее и наименьшее значения: sin x = 1 при x = π/2 + 2πn, sin x = −1 при x = −π/2 + 2πn.
• Монотонность: возрастает на отрезках [−π/2 + 2πn; π/2 + 2πn], убывает на отрезках [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn].
• Знак: sin x > 0 на интервалах (2πn; π + 2πn), sin x < 0 на интервалах (π + 2πn; 2π + 2πn).

y = cos x: та же волна, только сдвинутая

Вспомним одну из формул приведения: sin(x + π/2) = cos x. Она означает, что косинус в точке x равен синусу на π/2 правее: какое значение синус принимает в точке x + π/2, такое косинус принимает на π/2 раньше, в точке x. Значит, график косинуса — это синусоида, сдвинутая на π/2 влево, то есть тоже синусоида. Косинус — чётная функция, поэтому его график симметричен относительно оси Oy: волна начинается с верхней точки при x = 0.

y = tg x и y = ctg x: графики с асимптотами

Дробь tg x = sin x / cos x теряет смысл при cos x = 0, то есть в точках x = π/2 + πn. Когда x приближается к π/2 слева, sin x стремится к 1, а cos x — к 0, оставаясь положительным, поэтому дробь неограниченно растёт: tg x → +∞. Справа cos x отрицателен, и tg x → −∞. График бесконечно приближается к прямой x = π/2, но никогда её не пересекает. Период тангенса равен π, поэтому одна и та же «ветвь» повторяется через каждые π; тангенс нечётен, и его график симметричен относительно начала координат.

Преобразования графиков: y = A·sin(kx + b) + c

На уроке «Квадратичная функция и её график» мы получали параболу y = a(x − m)² + n из y = x² сдвигами и растяжениями. С синусоидой работают те же четыре действия, только у каждого своё название. A умножает все значения на A: волна растягивается по вертикали, её высота — амплитуда — становится равной |A|, а при A < 0 график ещё и отражается относительно оси Ox. k «ускоряет» аргумент: функция y = sin kx в точке x принимает то значение, которое синус принимает в точке kx, поэтому волна сжимается по горизонтали в k раз, и период становится равным 2π/|k|.

b задаёт сдвиг фазы. Вынесем k за скобки: sin(kx + b) = sin(k(x + b/k)). Значит, график y = sin kx сдвигается на b/k влево (вправо, если b/k < 0); «начало» волны находится из уравнения kx + b = 0: x₀ = −b/k. Наконец, c поднимает весь график на c: средней линией волны становится прямая y = c, а значения меняются от c − |A| до c + |A|.

Любой график y = A · sin(kx + b) + c можно построить без таблицы значений, по пяти опорным точкам:

1. 1
   Определите параметры

   Найдите A, k, b и c; при необходимости сначала приведите функцию к виду y = A · sin(kx + b) + c.

2. 2
   Найдите начало и период

   x₀ = −b/k и T = 2π/|k|. Разделите период на четыре равные части: шаг равен T/4.

3. 3
   Отметьте пять точек

   В точках x₀, x₀ + T/4, x₀ + T/2, x₀ + 3T/4 и x₀ + T значения y равны c, c + A, c, c − A, c: средняя линия, вершина, средняя линия, впадина, средняя линия (при A > 0).

4. 4
   Проведите волну и продолжите её

   Соедините точки плавной волной и повторите её через период в обе стороны.

5. 5
   Проверьте

   Подставьте в формулу одну точку, например x = 0, и сравните значение с графиком.

Гармонические колебания

Синусоида встречается так часто не случайно: высота точки, равномерно вращающейся по окружности, есть синус от времени. Точка, движущаяся по единичной окружности с постоянной угловой скоростью, к моменту t поворачивается на угол ωt + φ₀, и её ордината равна sin(ωt + φ₀). Этому же закону подчиняются груз на пружине, малые колебания маятника, переменный ток и звук.