- Находить первообразные по таблице и с помощью линейности
- Объяснять определённый интеграл как предел интегральных сумм
- Вычислять определённые интегралы по формуле Ньютона — Лейбница
- Находить площадь между кривыми и среднее значение функции
Бортовой компьютер автомобиля каждую секунду записывает скорость. Какой путь проехала машина? При постоянной скорости путь = скорость × время, но скорость всё время меняется. Разобьём поездку на крошечные промежутки времени, в каждом умножим скорость на время, сложим произведения и будем уменьшать промежутки — получится интеграл. Удивительно, но вычисляется он «обратным дифференцированием».
Первообразная и неопределённый интеграл
Функция F называется первообразной функции f на интервале, если F′(x) = f(x) во всех его точках. Например, x³/3 — первообразная для x², как и x³/3 + 5 или x³/3 − π: любые две первообразные отличаются на постоянную.
- ∫знак интеграла
- f(x)подынтегральная функция
- dxпоказывает, что переменная интегрирования — x
- Cпроизвольная постоянная
Неопределённый интеграл — это всё семейство первообразных. Линейность: ∫ (a · f + b · g) dx = a ∫ f dx + b ∫ g dx.
| f(x) | ∫ f(x) dx | Примечание |
|---|---|---|
| xⁿ | xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C | n ≠ −1; ∫ x³ dx = x⁴/4 + C |
| 1 / x | ln |x| + C | x ≠ 0; случай n = −1 |
| eˣ | eˣ + C | сама себе первообразная |
| aˣ | aˣ / ln a + C | a > 0, a ≠ 1 |
| sin x | −cos x + C | не забудьте минус |
| cos x | sin x + C | x в радианах |
| 1 / cos² x | tg x + C | cos x ≠ 0 |
| 1 / sin² x | −ctg x + C | sin x ≠ 0 |
| 1 / (1 + x²) | arctg x + C | все x |
| 1 / √(1 − x²) | arcsin x + C | |x| < 1 |
| 1 / (x² + a²) | (1/a) arctg(x/a) + C | a ≠ 0 |
- Fпервообразная функции f
- k, bпостоянные, k ≠ 0
Правило линейного аргумента: ∫ cos 3x dx = (1/3) sin 3x + C, ∫ e²ˣ⁺¹ dx = (1/2) e²ˣ⁺¹ + C, ∫ dx/(2x − 5) = (1/2) ln|2x − 5| + C.
а) ∫ (3x² − 4/x + 2eˣ) dx
б) ∫ (√x + 1/x²) dx
Показать решениеСкрыть решение
б) Запишем в виде степеней: x^(1/2) + x⁻². ∫ x^(1/2) dx = x^(3/2)/(3/2) = (2/3)x^(3/2); ∫ x⁻² dx = x⁻¹/(−1) = −1/x.
Ответ: (2/3)x√x − 1/x + C.
Проверка: ((2/3)x^(3/2))′ = x^(1/2) = √x и (−1/x)′ = 1/x². ✓
Определённый интеграл: интегральные суммы
Пусть f непрерывна на [a, b]. Разобьём отрезок на n равных частей ширины Δx = (b − a)/n, выберем в каждой точку xᵢ* и составим интегральную сумму (сумму Римана) ∑ f(xᵢ*) · Δx — суммарную площадь n узких прямоугольников. При n → ∞ суммы стремятся к одному числу — определённому интегралу. При f ≥ 0 это площадь под графиком; там, где f < 0, площадь берётся со знаком минус (ориентированная площадь).
- a, bнижний и верхний пределы интегрирования
- xᵢ*точка, выбранная на i-м отрезке
- Δxширина каждого отрезка
Определение определённого интеграла (по Риману). Знак ∫ — вытянутая буква S от слова «сумма» (summa), а dx напоминает Δx.
Оцените ∫₀¹ x² dx с помощью n = 4 прямоугольников, беря правые и левые концы отрезков.
Показать решениеСкрыть решение
R₄ = (1/16 + 4/16 + 9/16 + 16/16) · 1/4 = 30/64 ≈ 0,469.
Левые концы 0, 1/4, 1/2, 3/4: L₄ = (0 + 1/16 + 4/16 + 9/16) · 1/4 = 14/64 ≈ 0,219.
Точная площадь лежит между ними. Для n прямоугольников Rₙ = (n + 1)(2n + 1)/(6n²) → 2/6 = 1/3 при n → ∞.
Основная теорема анализа
Складывать миллионы прямоугольников утомительно. Великое открытие Ньютона и Лейбница связывает площадь с первообразной. Рассмотрим функцию площади A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt. Если увеличить x на h, добавится узкая полоска ширины h и высоты около f(x): A(x + h) − A(x) ≈ f(x) · h. Разделим на h и устремим h → 0: A′(x) = f(x). Значит, функция площади — первообразная для f!
- ∫ₐˣ f(t) dtфункция площади A(x) — интеграл с переменным верхним пределом
- tпеременная интегрирования (другая буква, чтобы не путать с x)
Основная теорема, часть 1: дифференцирование «отменяет» интегрирование.
- Fлюбая первообразная функции f
- F(x) |ₐᵇкраткая запись разности F(b) − F(a)
Формула Ньютона — Лейбница (вторая часть основной теоремы). Постоянная C сокращается в разности, поэтому подходит любая первообразная.
а) ∫₀¹ x² dx б) ∫₀^π sin x dx в) ∫₁^e dx/x г) ∫₀² (3x² − 2x + 1) dx
Показать решениеСкрыть решение
б) [−cos x]₀^π = −cos π + cos 0 = 1 + 1 = 2. Одна «арка» синусоиды имеет площадь 2.
в) [ln x]₁^e = ln e − ln 1 = 1.
г) [x³ − x² + x]₀² = 8 − 4 + 2 = 6.
- Перестановка пределов меняет знак; ∫ₐᵃ f dx = 0.
- Аддитивность: ∫ₐᵇ f dx = ∫ₐᵐ f dx + ∫ₘᵇ f dx для любого m.
- Линейность: ∫ₐᵇ (αf + βg) dx = α ∫ₐᵇ f dx + β ∫ₐᵇ g dx.
- Сравнение: если f(x) ≤ g(x) на [a, b], то ∫ₐᵇ f dx ≤ ∫ₐᵇ g dx.
- Симметрия: для нечётной f ∫₋ₐᵃ f dx = 0, для чётной f ∫₋ₐᵃ f dx = 2 ∫₀ᵃ f dx.
Площадь между кривыми и среднее значение
- fверхняя кривая: f(x) ≥ g(x) на [a, b]
- gнижняя кривая
- a, bобычно абсциссы точек пересечения кривых
Площадь между двумя кривыми: «верхняя минус нижняя», затем интегрируем.
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x и y = x².
Показать решениеСкрыть решение
На [0; 1] x ≥ x² (например, при x = 1/2: 1/2 > 1/4), т. е. прямая сверху.
S = ∫₀¹ (x − x²) dx = [x²/2 − x³/3]₀¹ = 1/2 − 1/3 = 1/6.
- f̄среднее значение f на [a, b]
- b − aдлина отрезка
Теорема о среднем: непрерывная f в некоторой точке c отрезка принимает значение f̄ — площадь прямоугольника высоты f̄ равна площади под графиком.
а) Найдите среднее значение sin x на [0; π].
б) Скорость тела v(t) = 3t² м/с. Найдите путь за 0 ≤ t ≤ 2 с и среднюю скорость.
Показать решениеСкрыть решение
б) Путь: s = ∫₀² 3t² dt = [t³]₀² = 8 м.
Средняя скорость: 8/2 = 4 м/с. Проверка: скорость растёт от 0 до 12 м/с, и среднее лежит между ними.
Главное
- Если F′ = f, то F — первообразная f, и ∫ f dx = F + C.
- ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1), ∫ dx/x = ln|x| + C, ∫ eˣ dx = eˣ + C.
- Определённый интеграл — предел интегральных сумм, ориентированная площадь под графиком.
- Ньютон — Лейбниц: ∫ₐᵇ f dx = F(b) − F(a); также d/dx ∫ₐˣ f(t) dt = f(x).
- Площадь между кривыми: ∫ₐᵇ (верхняя − нижняя) dx; среднее значение: (1/(b − a)) ∫ₐᵇ f dx.
Проверь себя
Вопросов: 10. Каждый правильный ответ приносит XP.