Перейти к содержанию
Educora
RU
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Моё обучениеEducora StudioНастройки
Продвинутый8 класс25 мин28 / 82

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение и его коэффициенты, неполные уравнения, выделение полного квадрата, дискриминант и формула корней, формула через D/4 для чётного второго коэффициента, теорема Виета и обратная ей теорема, разложение квадратного трёхчлена на множители, биквадратные уравнения и текстовые задачи — с подробно разобранными примерами.

Проверь себя
В этом уроке ты узнаешь
  • Приводить квадратное уравнение к стандартному виду, называть коэффициенты a, b, c и решать неполные уравнения без формулы
  • Выводить формулу корней выделением полного квадрата и решать любое квадратное уравнение через дискриминант (через D/4 при чётном b)
  • Применять теорему Виета и обратную ей теорему, раскладывать квадратный трёхчлен на множители
  • Решать биквадратные уравнения, уравнения с заменой переменной и текстовые задачи, сводящиеся к квадратным уравнениям

Айсель хочет разбить во дворе прямоугольную клумбу площадью 24 м², длина которой на 2 м больше ширины. Если ширина равна x метров, то площадь равна x(x + 2), и получаем уравнение x(x + 2) = 24, то есть x² + 2x − 24 = 0. Способ из урока «Линейные уравнения» здесь не помогает: неизвестное возведено в квадрат, и перенести его в одну сторону недостаточно. В этом уроке ты научишься решать любое такое уравнение, а в конце мы найдём размеры клумбы Айсель.

Квадратные уравнения встречаются повсюду: в задачах на площадь и движение, в физике, в экономике. Для их решения понадобятся формулы (a ± b)² из урока «Формулы сокращённого умножения». А корни, которые ты научишься находить, в уроке «Квадратичная функция и её график» станут точками пересечения параболы с осью абсцисс.

Квадратное уравнение и его коэффициенты

Определение
Квадратное уравнение

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где x — неизвестное, a, b, c — данные числа, причём a ≠ 0. a называют первым (старшим) коэффициентом, b — вторым коэффициентом, c — свободным членом. Если бы a было равно 0, x² исчез бы и уравнение стало бы линейным, поэтому условие a ≠ 0 обязательно.

Уравнение не всегда дано в готовом виде. Чтобы верно прочитать коэффициенты, сначала раскрой скобки, перенеси все члены в левую часть, приведи подобные слагаемые и расположи члены по убыванию степеней x — это стандартный вид. Коэффициент берётся вместе со знаком: в уравнении 2x² − 3x + 1 = 0 b = −3, а не 3.

УравнениеСтандартный видabc
2x² − 3x + 1 = 02x² − 3x + 1 = 02−31
x² = 16x² − 16 = 010−16
5x − x² = 0−x² + 5x = 0−150
3x² = 12 − x3x² + x − 12 = 031−12
(x + 2)² = 3x + 10x² + x − 6 = 011−6
В последней строке (x + 2)² = x² + 4x + 4, затем 3x + 10 переносим влево: x² + 4x + 4 − 3x − 10 = x² + x − 6. Член с нулевым коэффициентом не пишут — тогда b = 0 или c = 0.
Определение
Неполное квадратное уравнение

Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю: ax² + bx = 0 (c = 0), ax² + c = 0 (b = 0) или ax² = 0. Такие уравнения быстрее решать без дискриминанта — разложением на множители или извлечением квадратного корня.

ax² + bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒ x₁ = 0, x₂ = −b/aax² + bx = 0 ⇒ x(ax + b) = 0 ⇒ x₁ = 0, x₂ = −b/a
где:
  • x(ax + b)общий множитель x вынесен за скобки
  • x₁ = 0при c = 0 всегда один из корней

Произведение равно нулю, только если один из множителей равен нулю. Поэтому уравнение с c = 0 всегда имеет два корня, и один из них — 0.

Уравнения с c = 0

Решите: 1) 5x² + 7x = 0; 2) 4x² = 9x.

Показать решение
1) Выносим общий множитель: x(5x + 7) = 0. Либо x = 0, либо 5x + 7 = 0 ⇒ x = −7/5 = −1,4.
Ответ: 0 и −1,4.
2) Переносим всё влево: 4x² − 9x = 0 ⇒ x(4x − 9) = 0 ⇒ x = 0 или x = 9/4 = 2,25.
Ответ: 0 и 2,25. Если бы мы разделили уравнение на x, то получили бы 4x = 9 и потеряли корень x = 0.
ax² + c = 0 ⇒ x² = −c/a; при −c/a > 0 x₁,₂ = ±√(−c/a)ax² + c = 0 ⇒ x² = −c/a; при −c/a > 0 x₁,₂ = ±√(−c/a)
где:
  • −c/a−c/aчисло, которому равен x²; его знак решает, сколько корней
  • ±два противоположных числа с одинаковым квадратом: √9 = 3, но у x² = 9 корни 3 и −3

−c/a > 0 — два противоположных корня; −c/a < 0 — корней нет, так как квадрат числа не бывает отрицательным; если и c = 0 (ax² = 0), единственный корень x = 0.

Уравнения с b = 0 и полный квадрат

Решите: 1) 2x² − 18 = 0; 2) 4x² + 25 = 0; 3) (x − 3)² = 16.

Показать решение
1) 2x² = 18 ⇒ x² = 9 ⇒ x = ±3. Ответ: −3 и 3.
2) 4x² = −25 ⇒ x² = −25/4 < 0. Квадрат не может быть отрицательным, поэтому корней нет.
3) Здесь под квадратом стоит x − 3: x − 3 = 4 или x − 3 = −4 ⇒ x = 7 или x = −1.
Раскрывать скобки не понадобилось — в следующем разделе эта идея станет ключом к любому квадратному уравнению.

Выделение полного квадрата и формула корней

Уравнение (x − 3)² = 16 мы решили в одно действие, потому что левая часть была полным квадратом. К такому виду можно привести любое квадратное уравнение: если к x² + 2px прибавить p², то по формуле (a + b)² = a² + 2ab + b² получится полный квадрат: x² + 2px + p² = (x + p)². Этот приём называется выделением полного квадрата.

  1. 1
    Раздели на a

    Если a ≠ 1, раздели обе части на a, чтобы коэффициент при x² стал равен 1.

  2. 2
    Перенеси свободный член вправо

    Слева пусть останутся только члены с x² и x.

  3. 3
    Прибавь квадрат половины

    Возьми половину коэффициента при x, возведи её в квадрат и прибавь к обеим частям.

  4. 4
    Сверни в квадрат

    Запиши левую часть как (x + p)² и вычисли правую.

  5. 5
    Извлеки корень

    Если правая часть неотрицательна, x + p = ±√(правая часть); если отрицательна — корней нет.

Решение выделением полного квадрата

Решите выделением полного квадрата: 1) x² + 6x − 7 = 0; 2) x² − 4x + 1 = 0.

Показать решение
1) x² + 6x = 7. Половина 6 — это 3, а 3² = 9: x² + 6x + 9 = 7 + 9 ⇒ (x + 3)² = 16.
x + 3 = 4 или x + 3 = −4 ⇒ x = 1 или x = −7.
2) x² − 4x = −1. Половина −4 — это −2, а (−2)² = 4: x² − 4x + 4 = −1 + 4 ⇒ (x − 2)² = 3.
x − 2 = ±√3 ⇒ x = 2 ± √3 (≈ 3,73 и ≈ 0,27). Корни могут быть иррациональными — это не значит, что ты ошибся.

Теперь проделаем те же шаги с буквами для уравнения ax² + bx + c = 0. Делим на a: x² + (b/a)x = −c/a. Прибавляем к обеим частям (b/(2a))²: (x + b/(2a))² = (b² − 4ac)/(4a²). Знаменатель 4a² всегда положителен, поэтому знак правой части определяет только числитель b² − 4ac. Извлекая корень и выражая x, получаем знаменитую формулу корней.

Определение
Дискриминант

Число D = b² − 4ac. Латинское discriminare означает «различать»: дискриминант позволяет узнать число корней ещё до решения уравнения.

D = b² − 4ac; x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a)D = b² − 4ac; x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a)
где:
  • Dдискриминант; его знак показывает число корней
  • a, b, cкоэффициенты стандартного вида вместе со знаками
  • ±два корня: один со знаком «+», другой со знаком «−»
  • 2aзнаменатель относится ко всему числителю: всё выражение −b ± √D делится на 2a

D > 0 — два различных корня; D = 0 — один корень (два равных корня) x = −b/(2a); D < 0 — действительных корней нет.

Три случая дискриминанта

Решите: 1) 2x² + 3x − 2 = 0; 2) 9x² − 6x + 1 = 0; 3) x² + 2x + 5 = 0.

Показать решение
1) a = 2, b = 3, c = −2. D = 3² − 4 · 2 · (−2) = 9 + 16 = 25 > 0, √D = 5.
x₁ = (−3 + 5)/4 = 1/2, x₂ = (−3 − 5)/4 = −2.
2) D = (−6)² − 4 · 9 · 1 = 36 − 36 = 0 — один корень: x = 6/18 = 1/3. Действительно, 9x² − 6x + 1 = (3x − 1)².
3) D = 2² − 4 · 1 · 5 = 4 − 20 = −16 < 0 — действительных корней нет.
Интерактив
Загрузка симуляции…
График y = x² + bx + c. Корни уравнения — точки, где кривая пересекает ось x: сначала это 2 и 3 для x² − 5x + 6 = 0. Увеличивай c: D = b² − 4c сначала уменьшается до нуля (кривая касается оси), потом становится отрицательным (кривая отрывается от оси, корней нет). Подробно график изучается в уроке «Квадратичная функция и её график».
Отрицательное a и иррациональные корни

Решите: 1) −x² + 4x + 5 = 0; 2) 3x² − 2x − 2 = 0.

Показать решение
1) Сначала умножаем уравнение на −1, чтобы a стало положительным: x² − 4x − 5 = 0. D = 16 + 20 = 36, √D = 6.
x = (4 ± 6)/2 ⇒ x₁ = 5, x₂ = −1.
2) D = (−2)² − 4 · 3 · (−2) = 4 + 24 = 28, √28 = 2√7.
x = (2 ± 2√7)/6 = (1 ± √7)/3, то есть x₁ ≈ 1,22, x₂ ≈ −0,55.
Оба слагаемых числителя и знаменатель мы сократили на 2.

Чётный второй коэффициент и приведённое уравнение

Когда b чётное (b = 2k), все числа в формуле делятся на 2, а D — на 4. Если сократить заранее, числа получаются меньше, а ошибок в вычислениях — меньше.

b = 2k: D/4 = k² − ac; x₁,₂ = (−k ± √(D/4)) / ab = 2k: D/4 = k² − ac; x₁,₂ = (−k ± √(D/4)) / a
где:
  • kполовина второго коэффициента, k = b/2 (со знаком)
  • D/4D/4дискриминант, делённый на четыре; его знак совпадает со знаком D
  • aв знаменателе теперь a, а не 2a

Формула получается из обычной делением числителя и знаменателя на 2: (−2k ± √(4(k² − ac)))/(2a) = (−k ± √(k² − ac))/a.

Три уравнения через D/4

Решите: 1) x² − 14x + 40 = 0; 2) 3x² + 8x − 3 = 0; 3) 5x² − 12x + 7 = 0.

Показать решение
1) k = −7: D/4 = 49 − 40 = 9, x = 7 ± 3 ⇒ 10 и 4.
2) k = 4: D/4 = 16 − 3 · (−3) = 16 + 9 = 25, x = (−4 ± 5)/3 ⇒ 1/3 и −3.
3) k = −6: D/4 = 36 − 35 = 1, x = (6 ± 1)/5 ⇒ 7/5 и 1.
Сравни: в уравнении 1) по обычной формуле D = 196 − 160 = 36 — числа заметно больше.
Определение
Приведённое квадратное уравнение

Квадратное уравнение с первым коэффициентом 1: x² + px + q = 0. Любое квадратное уравнение можно сделать приведённым, разделив его на a: 2x² − 6x + 4 = 0 ⇒ x² − 3x + 2 = 0.

x² + px + q = 0: x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)x² + px + q = 0: x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)
где:
  • pкоэффициент при x
  • qсвободный член

Словами: половина коэффициента при x с противоположным знаком плюс-минус корень из квадрата этой половины без свободного члена. Особенно удобно при чётном p.

Приведённые уравнения

Решите: 1) x² − 6x − 16 = 0; 2) x² + 10x + 21 = 0.

Показать решение
1) p/2 = −3: x = 3 ± √(9 + 16) = 3 ± 5 ⇒ 8 и −2.
2) p/2 = 5: x = −5 ± √(25 − 21) = −5 ± 2 ⇒ −3 и −7.
Оба ответа можно проверить по теореме Виета из следующего раздела: 8 + (−2) = 6, 8 · (−2) = −16.

Теорема Виета и разложение на множители

Сложим и перемножим два корня из формулы. В сумме слагаемые ±√D взаимно уничтожаются: x₁ + x₂ = (−b + √D)/(2a) + (−b − √D)/(2a) = −2b/(2a) = −b/a. В произведении работает формула (m + n)(m − n) = m² − n²: x₁ · x₂ = (b² − D)/(4a²) = 4ac/(4a²) = c/a. Эти соотношения носят имя французского математика XVI века Франсуа Виета.

x₁ + x₂ = −b/a; x₁ · x₂ = c/ax₁ + x₂ = −b/a; x₁ · x₂ = c/a
где:
  • x₁, x₂корни уравнения (нужно D ≥ 0)
  • −b/a−b/aсумма корней
  • c/ac/aпроизведение корней

Для приведённого уравнения x² + px + q = 0: x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q. Теорема имеет смысл, только если корни есть: у уравнения x² + x + 5 = 0 корней нет, значит, нет и корней с суммой −1.

Определение
Теорема, обратная теореме Виета

Если числа m и n таковы, что m + n = −p и m · n = q, то они являются корнями уравнения x² + px + q = 0. Это позволяет подбирать корни устно и составлять уравнение по данным корням.

Подбираем корни устно

С помощью теоремы Виета найдите корни уравнений: 1) x² − 11x + 30 = 0; 2) x² + 2x − 15 = 0; 3) x² + 9x + 20 = 0. 4) Составьте приведённое квадратное уравнение с корнями −2 и 5.

Показать решение
1) Сумма 11, произведение 30: 5 и 6 (5 + 6 = 11, 5 · 6 = 30).
2) Сумма −2, произведение −15. Произведение отрицательно, значит, корни разных знаков: 3 и −5.
3) Сумма −9, произведение 20. Произведение положительно, сумма отрицательна — оба корня отрицательны: −4 и −5.
4) p = −(−2 + 5) = −3, q = (−2) · 5 = −10 ⇒ x² − 3x − 10 = 0.
Вычисления без нахождения корней

1) x₁ и x₂ — корни уравнения x² − 5x + 3 = 0. Найдите x₁² + x₂² и 1/x₁ + 1/x₂.
2) Один из корней уравнения x² + px − 12 = 0 равен 3. Найдите второй корень и p.

Показать решение
1) D = 25 − 12 = 13 > 0 — корни есть, но они иррациональны. По теореме Виета x₁ + x₂ = 5, x₁x₂ = 3.
x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 25 − 6 = 19.
1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂) = 5/3.
2) x₁ · x₂ = −12 и x₁ = 3 ⇒ x₂ = −4. x₁ + x₂ = −p ⇒ −1 = −p ⇒ p = 1.

Квадратный трёхчлен — это выражение ax² + bx + c; его корни — корни уравнения ax² + bx + c = 0. По теореме Виета b = −a(x₁ + x₂) и c = a · x₁x₂; подставив, получаем ax² + bx + c = a(x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂) = a(x − x₁)(x − x₂).

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)
где:
  • aстарший коэффициент — он должен остаться перед скобками
  • x₁, x₂корни трёхчлена

При D = 0 ax² + bx + c = a(x − x₁)²; при D < 0 трёхчлен на линейные множители не раскладывается. Другие способы — вынесение общего множителя, группировка — в уроке «Разложение многочлена на множители».

Раскладываем на множители

Разложите на множители: 1) 2x² − 5x − 3; 2) −x² + x + 6. 3) Сократите дробь (x² − 4x + 3)/(x² − 1).

Показать решение
1) D = 25 + 24 = 49, x = (5 ± 7)/4 ⇒ x₁ = 3, x₂ = −1/2.
2x² − 5x − 3 = 2(x − 3)(x + 1/2) = (x − 3)(2x + 1).
2) Корни: −x² + x + 6 = 0 ⇒ x² − x − 6 = 0 ⇒ 3 и −2. Так как a = −1,
−x² + x + 6 = −(x − 3)(x + 2); множитель a = −1 терять нельзя.
3) x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3) (a + b + c = 0: корни 1 и 3), x² − 1 = (x − 1)(x + 1).
Дробь равна (x − 3)/(x + 1) при x ≠ ±1.
  1. 1
    Приведи к стандартному виду

    Раскрой скобки и перенеси все члены влево: ax² + bx + c = 0.

  2. 2
    Упрости

    Если у всех коэффициентов есть общий множитель, раздели на него; если a < 0, умножь уравнение на −1.

  3. 3
    Поищи короткий путь

    Неполное ли уравнение? Верно ли a + b + c = 0 или a − b + c = 0? Легко ли подобрать корни по Виету?

  4. 4
    Вычисли дискриминант

    D = b² − 4ac (при чётном b — D/4 = k² − ac). Если D < 0, действительных корней нет.

  5. 5
    Найди и проверь корни

    Примени формулу, затем проверь ответ по теореме Виета или подстановкой в уравнение.

Уравнения, сводящиеся к квадратным, и текстовые задачи

Определение
Биквадратное уравнение

Уравнение вида ax⁴ + bx² + c = 0 (a ≠ 0). Замена t = x² превращает его в квадратное уравнение at² + bt + c = 0. Так как t = x² не может быть отрицательным, оставляем только корни t ≥ 0.

  1. 1
    Найди повторяющееся выражение

    x², x² − 2x или другое выражение входит в уравнение и в квадрате, и в первой степени.

  2. 2
    Введи новую переменную

    Обозначь это выражение через t и запиши условие на t (для t = x² — t ≥ 0).

  3. 3
    Реши уравнение относительно t

    Через дискриминант, D/4 или по теореме Виета.

  4. 4
    Отбрось лишнее

    Отбрось значения t, не удовлетворяющие условию.

  5. 5
    Вернись к x

    Для каждого t найди x и проверь корни в исходном уравнении.

Биквадратные уравнения и замена

Решите: 1) x⁴ − 5x² + 4 = 0; 2) x⁴ + 3x² − 4 = 0; 3) (x² − 2x)² − 2(x² − 2x) − 3 = 0.

Показать решение
1) t = x² ≥ 0: t² − 5t + 4 = 0 ⇒ t = 1 или t = 4 (a + b + c = 0).
x² = 1 ⇒ x = ±1; x² = 4 ⇒ x = ±2. Ответ: −2, −1, 1, 2 — четыре корня.
2) t² + 3t − 4 = 0 ⇒ t = 1 или t = −4. t = −4 < 0 не подходит.
x² = 1 ⇒ x = ±1 — всего два корня.
3) t = x² − 2x: t² − 2t − 3 = 0 ⇒ t = 3 или t = −1 (a − b + c = 0).
x² − 2x = 3 ⇒ x² − 2x − 3 = 0 ⇒ x = 3, x = −1.
x² − 2x = −1 ⇒ (x − 1)² = 0 ⇒ x = 1.
Ответ: −1, 1, 3. Здесь t может быть отрицательным, ведь x² − 2x — не квадрат.

Уравнение в текстовой задаче составляют так же, как для линейных уравнений: выбирают неизвестное, записывают условие уравнением, решают. Новый только последний шаг: у квадратного уравнения часто два корня, но смыслу задачи могут подходить не оба — длина не бывает отрицательной, а число людей — дробным.

Три задачи

1) Клумба Айсель: площадь 24 м², длина на 2 м больше ширины. Найдите её размеры.
2) Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 132. Найдите эти числа.
3) В футбольном турнире каждая команда сыграла с каждой другой по одному разу; всего было сыграно 28 матчей. Сколько команд участвовало?

Показать решение
1) Пусть ширина x м: x(x + 2) = 24 ⇒ x² + 2x − 24 = 0. k = 1: D/4 = 1 + 24 = 25, x = −1 ± 5 ⇒ 4 и −6.
Ширина не может быть отрицательной, значит, ширина 4 м, длина 6 м. Проверка: 4 · 6 = 24.
2) n(n + 1) = 132 ⇒ n² + n − 132 = 0. D = 1 + 528 = 529 = 23², n = (−1 ± 23)/2 ⇒ 11 и −12.
−12 — не натуральное число. Ответ: 11 и 12.
3) Каждая из n команд сыграла n − 1 матч, но каждый матч так посчитан дважды: n(n − 1)/2 = 28 ⇒ n² − n − 56 = 0.
D = 1 + 224 = 225, n = (1 ± 15)/2 ⇒ 8 и −7. Ответ: 8 команд.
Проверь себя
  1. 1.Дискриминант уравнения x² − 3x − 4 = 0: D =
  2. 2.Сумма корней уравнения 2x² − 8x + 5 = 0 равна
  3. 3.Произведение корней уравнения 2x² − 8x + 5 = 0 равно
  4. 4.Больший корень уравнения x² − x − 6 = 0 равен
  5. 5.Число корней уравнения x⁴ − 10x² + 9 = 0:

Главное

  • Квадратное уравнение: ax² + bx + c = 0, a ≠ 0; коэффициенты читают из стандартного вида вместе со знаками.
  • Неполные уравнения: при c = 0 выноси x за скобки (x = 0 — всегда корень); при b = 0 найди x². Не дели на x.
  • D = b² − 4ac, x₁,₂ = (−b ± √D)/(2a): D > 0 — два корня, D = 0 — один корень, D < 0 — действительных корней нет.
  • При b = 2k: D/4 = k² − ac, x₁,₂ = (−k ± √(D/4))/a.
  • Виет: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a; при a + b + c = 0 корни 1 и c/a; ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
  • В биквадратном уравнении замена t = x² ≥ 0; в задаче отбрасывай корень, не подходящий по смыслу.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12
Чему равен коэффициент b в уравнении 3x² − 2x + 7 = 0?