Перейти к содержанию
Educora
RU
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Моё обучениеEducora StudioНастройки
Средний6–7 классы22 мин12 / 82

Алгебраические выражения. Одночлены и многочлены

Переменные и значение выражения, члены и коэффициенты, подобные слагаемые и раскрытие скобок; стандартный вид и степень одночлена; сложение, вычитание и умножение многочленов — с подробно разобранными примерами.

Проверь себя
В этом уроке ты узнаешь
  • Записывать условие задачи алгебраическим выражением и находить его значение
  • Раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые
  • Приводить одночлен к стандартному виду и находить его степень
  • Складывать, вычитать и умножать многочлены

Посадка в такси стоит 1 манат, а каждый километр — 0,6 маната. Сколько стоит поездка на 5 км? А на 12 км? Вместо того чтобы каждый раз считать заново, можно один раз записать общее правило: 1 + 0,6x, где x — число километров. Теперь цену любой поездки мы находим за секунду: достаточно подставить число вместо x. Такая запись с буквами — алгебраическое выражение, и на таких выражениях строится вся алгебра.

На этом уроке мы разберём основные правила работы с алгебраическими выражениями: как записать выражение, как найти его значение и упростить его, а затем — как складывать, вычитать и умножать одночлены и многочлены. На каждом шаге понадобятся правила знаков из урока «Действия с рациональными числами» и порядок действий из урока «Натуральные числа и порядок действий». Следующий урок, «Формулы сокращённого умножения», превращает самые частые произведения многочленов в готовые формулы.

Переменная и значение выражения

Определение
Переменная и алгебраическое выражение

Величину, которая может принимать разные значения и обозначается буквой (x, y, a, n, …), называют переменной. Запись из чисел, переменных, знаков действий и скобок — это алгебраическое выражение: 1 + 0,6x, 2a² − 3a + 1, 3(x − y). Если подставить вместо переменной число и выполнить действия, получится значение выражения.

Чтобы перевести задачу на язык выражений, «переводим» слова в знаки действий по одному. «Больше на» означает сложение, «меньше на» — вычитание, «в … раз больше» и «удвоенное» — умножение, «половина» — деление на два. Следи за порядком слов: «квадрат суммы x и y» и «сумма квадратов x и y» — совершенно разные выражения.

СловамиВыражение
на 3 больше, чем xx + 3
на 5 меньше, чем xx − 5
в 4 раза больше, чем x4x
половина xx/2
квадрат суммы x и y(x + y)²
сумма квадратов x и yx² + y²
три последовательных натуральных числа, меньшее из которых nn, n + 1, n + 2
Закрой правый столбец и попробуй сначала сам записать каждое выражение.
  1. 1
    Подставь

    Замени каждую переменную её значением. Отрицательные числа и дроби бери в скобки: при a = −2 запись a² превращается в (−2)².

  2. 2
    Порядок действий

    Сначала скобки, затем возведение в степень, потом умножение и деление, в конце сложение и вычитание.

  3. 3
    Проверь смысл

    Проверь, имеет ли ответ смысл: цена поездки не может быть отрицательной, а длина должна быть положительной.

Значение выражения

а) Сколько стоят поездки на такси на 5 км и на 12 км (1 + 0,6x)?
б) Найдите значение выражения 2a² − 3a + 1 при a = −2.
в) Найдите значение выражения x²y − xy² при x = 2, y = −3.

Показать решение
а) x = 5: 1 + 0,6 · 5 = 1 + 3 = 4 маната.
x = 12: 1 + 0,6 · 12 = 1 + 7,2 = 8,2 маната.
б) 2 · (−2)² − 3 · (−2) + 1 = 2 · 4 + 6 + 1 = 15.
Обрати внимание: (−2)² = 4 и −3 · (−2) = +6.
в) 2² · (−3) − 2 · (−3)² = 4 · (−3) − 2 · 9 = −12 − 18 = −30.
От задачи к выражению

а) Ширина прямоугольника x см, а длина на 3 см больше ширины. Выразите периметр через x и вычислите его при x = 5.
б) Запишите сумму трёх последовательных натуральных чисел, меньшее из которых n, и вычислите её при n = 10.

Показать решение
а) Длина: x + 3 (см). Периметр — это две ширины и две длины:
P = 2(x + x + 3) (см).
x = 5: P = 2(5 + 5 + 3) = 2 · 13 = 26 см.
б) Числа: n, n + 1, n + 2. Сумма: n + (n + 1) + (n + 2).
n = 10: 10 + 11 + 12 = 33.
Оба выражения мы упростим в следующем разделе — и тогда станет видно, почему эта сумма всегда делится на 3.

Подобные слагаемые и раскрытие скобок

В выражении 3x + 5 слагаемые 3x и 5 — это члены выражения, а число 3 — коэффициент при x. Вычитание читают как прибавление отрицательного числа: члены выражения 4a − 7b — это 4a и −7b, коэффициент при b равен −7. Знак умножения между числом и буквой не пишут: 3 · x = 3x, a · b = ab. Если коэффициент равен 1 или −1, остаётся только знак: 1 · x = x, −1 · x = −x.

Определение
Подобные слагаемые

Слагаемые с одинаковой буквенной частью: 5x и −2x, 3ab и ab, 4y² и y². Чтобы привести подобные слагаемые, складывают их коэффициенты, а буквенную часть оставляют без изменений: 5x − 2x = 3x. Причина — распределительный закон: 5x − 2x = (5 − 2)x. Так же, как 5 яблок − 2 яблока = 3 яблока.

a(b + c) = ab + aca(b − c) = ab − ac
где:
  • aмножитель перед скобками (число, переменная или выражение)
  • b, cчлены в скобках

Распределительный закон умножения: множитель перед скобками умножается на каждый член в скобках. Слева направо формула раскрывает скобки, справа налево — выносит общий множитель за скобки: 5x − 2x = (5 − 2)x = 3x.

+(a − b + c) = a − b + c−(a − b + c) = −a + b − c
где:
  • a, b, cлюбые члены в скобках

Если перед скобками стоит «+», знаки членов в скобках сохраняются. Если стоит «−», знаки всех членов меняются на противоположные, ведь «−» означает умножение на −1: −(x − 7) = (−1) · x + (−1) · (−7) = −x + 7.

Раскрываем скобки

Раскройте скобки:
1) −4(x − 5)
2) 0,5(6a + 8b − 2)
3) −(2a − 3b + 1)
4) x(3 − y)

Показать решение
1) (−4) · x + (−4) · (−5) = −4x + 20 (минус на минус даёт плюс).
2) 0,5 · 6a + 0,5 · 8b − 0,5 · 2 = 3a + 4b − 1.
3) Перед скобками «−», меняем все знаки: −2a + 3b − 1.
4) x · 3 − x · y = 3x − xy (коэффициент пишем первым: x · 3 = 3x).
  1. 1
    Раскрой скобки

    Раскрой все скобки по распределительному закону и правилу знаков.

  2. 2
    Сгруппируй подобные

    Подчеркни подобные слагаемые одинаково (например, члены с x — одной чертой, числа — двумя); бери каждый член вместе с его знаком.

  3. 3
    Приведи подобные

    Сложи коэффициенты в каждой группе и запиши результат по убыванию степеней.

  4. 4
    Проверь

    Вычисли значения исходного и упрощённого выражений при одном и том же числе: они должны совпасть.

Упрощаем выражения

1) Упростите выражение 3(2x − 4) − (x − 7) и найдите его значение при x = 3.
2) Упростите выражение 2(3a − b) − 3(a − 2b) + 4 и вычислите его при a = 1, b = −2.
3) Упростите выражения из предыдущего примера: P = 2(x + x + 3) и n + (n + 1) + (n + 2).

Показать решение
1) 6x − 12 − x + 7 = (6x − x) + (−12 + 7) = 5x − 5.
x = 3: 5 · 3 − 5 = 10. Проверка: 3(6 − 4) − (3 − 7) = 6 + 4 = 10.
2) 6a − 2b − 3a + 6b + 4 = 3a + 4b + 4.
a = 1, b = −2: 3 + 4 · (−2) + 4 = −1. Проверка: 2(3 + 2) − 3(1 + 4) + 4 = 10 − 15 + 4 = −1.
3) P = 2(2x + 3) = 4x + 6; при x = 5 снова получаем 26 см.
n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3(n + 1): сумма в 3 раза больше среднего числа, поэтому всегда делится на 3.

Одночлены и их стандартный вид

Простейшие «кирпичики» алгебраических выражений — произведения без знаков сложения и вычитания между частями: 5x, −3a²b, 0,5xy³. Умение узнавать и перемножать их — основа работы с многочленами.

Определение
Одночлен, стандартный вид и степень

Произведение чисел, переменных и их степеней с натуральными показателями называют одночленом: 5x, −3a²b, 0,5xy³, 7, x. Одночлен записан в стандартном виде, если в нём только один числовой множитель — коэффициент, стоящий на первом месте, а каждая переменная встречается один раз, в виде степени: 6x²y вместо 3x · 2xy. Сумму показателей степеней всех переменных одночлена стандартного вида называют степенью одночлена.

Например, у одночлена −3a²b коэффициент −3, степень 2 + 1 = 3; у 0,5xy³ коэффициент 0,5, степень 1 + 3 = 4; у x коэффициент 1, степень 1 (x = x¹). Число, отличное от нуля, например 7, — одночлен нулевой степени: в нём нет переменных.

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ(ab)ⁿ = aⁿbⁿ
где:
  • a, bчисла или переменные (основания степеней)
  • m, nнатуральные числа (показатели степеней)

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: x² · x³ = (x · x) · (x · x · x) = x⁵. При возведении степени в степень показатели перемножаются: (x²)³ = x² · x² · x² = x⁶. При возведении произведения в степень в эту степень возводится каждый множитель: (2x)³ = 2³x³ = 8x³. Подробно эти правила разбираются на уроке «Степень с целым показателем и её свойства».

  1. 1
    Числа

    Перемножь все числовые множители вместе с их знаками — получится коэффициент.

  2. 2
    Буквы

    Объедини одинаковые буквы в одну степень, складывая показатели (a² · a = a³).

  3. 3
    Запись и степень

    Запиши коэффициент первым, буквы — в алфавитном порядке; сложив показатели, найди степень.

Приводим к стандартному виду

Приведите одночлен к стандартному виду, укажите его коэффициент и степень:
1) 3x · (−2)xy²
2) 0,5a²b · 4ab³
3) (−2x²y)³
4) −a · (−b) · (−3ab)

Показать решение
1) 3 · (−2) = −6; x · x = x²: −6x²y², коэффициент −6, степень 2 + 2 = 4.
2) 0,5 · 4 = 2; a² · a = a³; b · b³ = b⁴: 2a³b⁴, степень 3 + 4 = 7.
3) (−2)³ · (x²)³ · y³ = −8x⁶y³, степень 6 + 3 = 9.
4) Три отрицательных множителя — произведение отрицательно: (−1) · (−1) · (−3) = −3; a · a = a², b · b = b²: −3a²b², степень 4.

Многочлены: сложение и вычитание

Определение
Многочлен и его степень

Сумму одночленов называют многочленом: 3x² − 5x + 2, a² + 2ab + b², 4x − 1. Одночлены, из которых он состоит, — члены многочлена, а член без переменной называют свободным членом. Многочлен имеет стандартный вид, если все его члены — одночлены стандартного вида и подобные члены приведены. Наибольшая из степеней его членов — степень многочлена.

Стандартный вид многочлена

Приведите многочлен к стандартному виду и найдите его степень:
1) 3x² − 5x + 2x² + 4x − 1
2) 2ab + a² − 3ab + b² − a²
3) 3x²y − 5x⁴ + 2

Показать решение
1) (3x² + 2x²) + (−5x + 4x) − 1 = 5x² − x − 1, степень 2.
2) (a² − a²) + (2ab − 3ab) + b² = b² − ab, степень 2. Члены a² и −a² взаимно уничтожились.
3) Подобных членов нет, многочлен уже стандартного вида. Степени членов: 3x²y → 3, −5x⁴ → 4, 2 → 0. Степень многочлена — 4: наибольшая степень, а не степень первого члена!

Для сложения и вычитания многочленов новые правила не нужны: заключаем каждый многочлен в скобки, раскрываем скобки и приводим подобные — как в шагах упрощения выше. Единственная опасность — при вычитании: перед вычитаемым многочленом стоит «−», и он меняет знаки всех его членов.

Сложение и вычитание

Даны A = 3x² − 5x + 2 и B = x² − 2x − 7.
1) Найдите A + B.
2) Найдите A − B.
3) Стороны треугольника равны 2x + 1, 3x − 2 и x + 4 см. Найдите его периметр и вычислите его при x = 3.

Показать решение
1) (3x² − 5x + 2) + (x² − 2x − 7) = 3x² − 5x + 2 + x² − 2x − 7 = 4x² − 7x − 5.
2) (3x² − 5x + 2) − (x² − 2x − 7) = 3x² − 5x + 2 − x² + 2x + 7 = 2x² − 3x + 9.
Проверка при x = 1: A = 0, B = −8; A + B = −8 и 4 − 7 − 5 = −8; A − B = 8 и 2 − 3 + 9 = 8.
3) P = (2x + 1) + (3x − 2) + (x + 4) = 6x + 3 (см).
x = 3: 6 · 3 + 3 = 21 см. Интересно: при x = 3 каждая сторона равна 7 см — треугольник равносторонний.

Умножение многочленов

Чтобы умножить одночлен на многочлен, применяем распределительный закон: умножаем одночлен на каждый член многочлена и складываем результаты. Каждое такое произведение — произведение двух одночленов: коэффициенты перемножаются, показатели одинаковых букв складываются.

Умножение одночлена на многочлен

1) Найдите произведение −2x(3x² − x + 4).
2) Найдите произведение 3ab(a − 2b + 1).
3) Упростите выражение x(x − 4) − 2x(3 − x).

Показать решение
1) −2x · 3x² − 2x · (−x) − 2x · 4 = −6x³ + 2x² − 8x.
2) 3ab · a + 3ab · (−2b) + 3ab · 1 = 3a²b − 6ab² + 3ab.
3) x² − 4x − 6x + 2x² = 3x² − 10x. Во втором произведении −2x · (−x) = +2x².
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
где:
  • a, bчлены первого многочлена
  • c, dчлены второго многочлена

Каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго, затем приводятся подобные. Причина — дважды применённый распределительный закон: (a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d). При большем числе членов правило то же: 2 члена · 3 члена = 6 произведений.

acbcadbdabcd
Площадь всего прямоугольника равна (a + b)(c + d), а сумма площадей четырёх частей — ac + bc + ad + bd. Каждая часть — одно произведение «член · член», ни одно нельзя забыть.
  1. 1
    Умножь каждый член на каждый

    Умножь первый член первого многочлена на все члены второго, затем второй член и так далее. Каждый член бери со своим знаком.

  2. 2
    Посчитай произведения

    При умножении многочлена из m членов на многочлен из n членов до приведения подобных должно получиться m · n произведений: 2 · 2 = 4, 2 · 3 = 6.

  3. 3
    Приведи подобные и проверь

    Приведи подобные, запиши результат в стандартном виде и проверь подстановкой числа.

Умножение многочлена на многочлен

Запишите произведение в стандартном виде:
1) (x + 3)(x − 5)
2) (3x − 2y)(x + 4y)
3) (2a − 1)(a² + 3a − 4)

Показать решение
1) x · x + x · (−5) + 3 · x + 3 · (−5) = x² − 5x + 3x − 15 = x² − 2x − 15.
2) 3x² + 12xy − 2xy − 8y² = 3x² + 10xy − 8y².
3) 2 · 3 = 6 произведений: 2a³ + 6a² − 8a − a² − 3a + 4 = 2a³ + 5a² − 11a + 4.
Проверка при a = 2: (4 − 1)(4 + 6 − 4) = 3 · 6 = 18 и 16 + 20 − 22 + 4 = 18.
Рассуждаем с многочленами

1) Докажите, что значение выражения (n + 1)(n + 4) − n(n + 5) не зависит от n.
2) Сторона квадратного сада равна x м. Одну сторону удлинили на 3 м, а другую укоротили на 2 м. Увеличилась ли площадь сада?

Показать решение
1) n² + 4n + n + 4 − n² − 5n = 4. Каким бы ни было n, ответ равен 4. Проверка при n = 10: 11 · 14 − 10 · 15 = 154 − 150 = 4.
2) Новая площадь: (x + 3)(x − 2) = x² − 2x + 3x − 6 = x² + x − 6 (м²).
Старая площадь x², разность: (x² + x − 6) − x² = x − 6.
При x > 6 площадь увеличилась, при x = 6 не изменилась, при x < 6 уменьшилась. Например, x = 10: 13 · 8 = 104 > 100; x = 4: 7 · 2 = 14 < 16.
Проверь себя: заполни пропуск
  1. 1.5x − 8x + 2x =
  2. 2.−(4a − 3) = + 3
  3. 3.2x² · 3x³ = · x⁵
  4. 4.(−3a²)² = · a⁴
  5. 5.(x + 2)(x + 5) = x² + + 10
  6. 6.(x − 4)(x + 1) = x² − 3x −

Главное

  • Чтобы найти значение выражения, подставь число вместо переменной (отрицательное — в скобках) и соблюдай порядок действий.
  • Приводить можно только подобные слагаемые: коэффициенты складывают, буквенную часть сохраняют.
  • Множитель умножается на каждый член в скобках; «−» перед скобками меняет все знаки внутри.
  • При умножении одночленов коэффициенты перемножают, а показатели одинаковых оснований складывают: 2x² · 3x³ = 6x⁵. Степень одночлена — сумма показателей.
  • При умножении многочленов каждый член умножается на каждый: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd; проверяй результат подстановкой x = 1.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12
Чему равен коэффициент при x в выражении 5x − 3?