Перейти к содержанию
Educora
RU
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Моё обучениеEducora StudioНастройки
Продвинутый7–9 классы25 мин33 / 82

Основы статистики: данные, диаграммы, среднее, медиана и мода

Сбор данных и таблица частот; столбчатые, круговые и линейные диаграммы, гистограмма; среднее и среднее взвешенное, медиана, мода, размах, дисперсия и стандартное отклонение; выбросы и обманчивые графики.

Проверь себя
В этом уроке ты узнаешь
  • Сводить данные в таблицу частот и выбирать подходящую диаграмму (столбчатую, круговую, линейную, гистограмму)
  • Находить среднее (в том числе взвешенное), медиану, моду и размах
  • Вычислять дисперсию и стандартное отклонение небольшого набора данных и объяснять их смысл
  • Понимать, когда медиана лучше среднего, и распознавать обманчивые графики

Лейла и её одноклассники провели опрос о себе: рост, любимый вид спорта, число книг, прочитанных летом. Получились сотни чисел и слов — и в таком беспорядочном виде они ничего не говорят. Статистика учит собирать данные, сводить их в таблицы и диаграммы и описывать несколькими числами: средним, медианой, разбросом. Это помогает и критически читать графики в новостях. Переход от данных к случайности — в уроке «Основы теории вероятностей».

Сбор данных и таблица частот

Данные получают из опросов, наблюдений и измерений. Качественные (категориальные) данные — это названия или метки: вид спорта, город, цвет. Количественные (числовые) данные — числа, с которыми можно выполнять вычисления: балл, рост, число братьев и сестёр. Количество значений в наборе данных обозначают n.

Определение
Частота и относительная частота

Частота f значения — сколько раз оно встречается в данных. Относительная частота w = f/n — его доля во всех данных (дробью или в процентах).

wᵢ = fᵢ / n, f₁ + f₂ + … + fₖ = n, w₁ + w₂ + … + wₖ = 1wᵢ = fᵢ / n, f₁ + f₂ + … + fₖ = n, w₁ + w₂ + … + wₖ = 1
где:
  • fᵢчастота i-го значения
  • wᵢотносительная частота i-го значения
  • nчисло всех значений
  • kчисло различных значений

Две суммы — готовая проверка: если частоты в сумме не дают n, какое-то значение пропущено или посчитано дважды.

  1. 1
    Выпишите значения

    Выпишите все возможные значения в столбик (числа — по возрастанию).

  2. 2
    Отмечайте чёрточками

    Пройдите по данным один раз: для каждого ответа поставьте чёрточку возле его значения и вычеркните ответ.

  3. 3
    Подсчитайте частоты

    Сосчитайте чёрточки — это частоты. Проверьте, что их сумма равна n.

  4. 4
    Найдите доли

    Разделите каждую частоту на n, для процентов умножьте на 100. Сумма долей должна быть 1 (100%).

Книги, прочитанные летом

20 учеников спросили, сколько книг они прочитали летом: 2, 1, 3, 0, 2, 2, 4, 1, 2, 3, 1, 2, 0, 3, 2, 1, 4, 2, 3, 1. Составьте таблицу частот с относительными частотами.

Показать решение
n = 20.
0 книг: f = 2, w = 2/20 = 0,10 (10%)
1 книга: f = 5, w = 0,25 (25%)
2 книги: f = 7, w = 0,35 (35%)
3 книги: f = 4, w = 0,20 (20%)
4 книги: f = 2, w = 0,10 (10%)
Проверка: 2 + 5 + 7 + 4 + 2 = 20 и 10% + 25% + 35% + 20% + 10% = 100%.

Диаграммы: какой рисунок для каких данных

ДиаграммаДля чего подходитПример
Столбчатая диаграммасравнение категорий или частот; столбцы стоят отдельночисло прочитанных книг
Круговая диаграммачасти одного целого (100%)любимые виды спорта
Линейный графикизменение во временитемпература в течение дня
Гистограммачисловые данные, сгруппированные в равные интервалы; столбцы стоят вплотнуюрост учеников
α = 360° · f / nα = 360° · f / n
где:
  • αугол сектора категории
  • fчастота категории
  • nчисло всех ответов

Круговая диаграмма — это таблица частот в виде круга: угол каждого сектора — его доля от 360°, а сумма всех углов равна 360°.

Углы круговой диаграммы

40 учеников назвали любимый вид спорта: футбол — 14, баскетбол — 8, волейбол — 6, плавание — 7, шахматы — 5. Найдите угол и процент каждого сектора.

Показать решение
На каждого ученика приходится 360° : 40 = 9°.
Футбол: 14 · 9° = 126° (35%)
Баскетбол: 8 · 9° = 72° (20%)
Волейбол: 6 · 9° = 54° (15%)
Плавание: 7 · 9° = 63° (17,5%)
Шахматы: 5 · 9° = 45° (12,5%)
Проверка: 126° + 72° + 54° + 63° + 45° = 360°.
Интерактив
Загрузка симуляции…
Этот опрос придуман для примера. Нажмите на сектор, чтобы увидеть его долю p = a/Σ · 100%.

Гистограмма нужна для числовых данных с большим числом разных значений, например роста. Значения группируют в равные интервалы, значение на границе относят к правому интервалу, а высота каждого столбца — частота интервала. В отличие от столбчатой диаграммы столбцы гистограммы рисуют вплотную: интервалы идут друг за другом без промежутков.

Интерактив
Загрузка симуляции…
Данные придуманы для примера. Столбцы — это интервалы [145; 150), [150; 155) …; в тетради рисуйте столбцы гистограммы вплотную.
Читаем гистограмму

По гистограмме выше: 1) сколько учеников ниже 155 см? 2) какой процент учеников имеет рост не меньше 165 см? 3) в каком интервале больше всего учеников?

Показать решение
1) Первые два столбца: 2 + 5 = 7 учеников.
2) Последние два столбца: 4 + 2 = 6; 6/30 = 0,2 = 20%.
3) Самый высокий столбец: [155; 160), 9 учеников.

Меры центра: среднее, медиана, мода

x̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / nx̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n
где:
  • x̄среднее арифметическое (читается «икс с чертой»)
  • x₁, …, xₙзначения данных
  • nчисло значений

Среднее — это «честная доля»: если все значения сложить вместе и разделить поровну, каждому достанется x̄. Значит, сумма всех значений равна n · x̄ — ключ к задачам с неизвестным значением.

Среднее арифметическое

1) Лейла набрала за 7 тестов 9, 6, 8, 10, 9, 5, 9 баллов. Найдите среднее.
2) Средний балл Мурада за 4 теста равен 7. Сколько баллов ему нужно за пятый тест, чтобы среднее за 5 тестов стало 7,4?
3) Среднее пяти чисел равно 12. Одно из них, 20, вычеркнули. Чему равно среднее оставшихся?

Показать решение
1) (9 + 6 + 8 + 10 + 9 + 5 + 9) : 7 = 56 : 7 = 8.
2) Нужная сумма: 5 · 7,4 = 37. Уже набрано: 4 · 7 = 28. Пятый тест: 37 − 28 = 9 баллов.
3) Сумма 5 · 12 = 60; без 20 остаётся 40 на 4 числа: 40 : 4 = 10.
x̄ = (x₁f₁ + x₂f₂ + … + xₖfₖ) / (f₁ + f₂ + … + fₖ)x̄ = (x₁f₁ + x₂f₂ + … + xₖfₖ) / (f₁ + f₂ + … + fₖ)
где:
  • xᵢразличные значения
  • fᵢих частоты или веса

Среднее взвешенное используют для таблицы частот и тогда, когда значения имеют разный вес. Если веса даны в процентах и в сумме дают 100%, просто сложите произведения x · w: x̄ = x₁w₁ + … + xₖwₖ.

Среднее взвешенное

1) По таблице частот о книгах найдите среднее число книг, прочитанных учеником летом.
2) Четвертной балл складывается так: домашние задания (в среднем 9) — 20%, короткие тесты (в среднем 7) — 30%, итоговый тест (8) — 50%. Чему равен четвертной балл?
3) В одном классе 20 учеников со средним баллом 80, в другом — 30 учеников со средним баллом 70. Каков средний балл обоих классов вместе?

Показать решение
1) x̄ = (0 · 2 + 1 · 5 + 2 · 7 + 3 · 4 + 4 · 2) / 20 = 39/20 = 1,95 книги.
2) 0,2 · 9 + 0,3 · 7 + 0,5 · 8 = 1,8 + 2,1 + 4 = 7,9.
3) Сумма всех баллов: 20 · 80 + 30 · 70 = 1600 + 2100 = 3700; учеников 50: 3700 : 50 = 74. (Простое среднее чисел 80 и 70, то есть 75, — ошибка: во втором классе учеников больше.)
Определение
Медиана

Серединное значение упорядоченных по возрастанию данных: половина значений не больше его, половина — не меньше.

Me = xₖ₊₁ (n = 2k + 1); Me = (xₖ + xₖ₊₁) / 2 (n = 2k)Me = xₖ₊₁ (n = 2k + 1); Me = (xₖ + xₖ₊₁) / 2 (n = 2k)
где:
  • x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ xₙданные, упорядоченные по возрастанию
  • nчисло значений: нечётное (2k + 1) или чётное (2k)

Me — медиана. Нечётное n: значение на месте (n + 1)/2. Чётное n: среднее двух серединных значений. Всегда сначала упорядочьте!

Определение
Мода

Значение, которое встречается чаще всего. Мод может быть две и больше или не быть вовсе (если все значения встречаются одинаково часто). Из трёх мер только мода годится и для качественных данных.

Медиана и мода

Найдите медиану или моду:
1) медиану ряда 1, 4, 6, 9, 20;
2) медиану ряда 3, 8, 5, 10, 7, 2;
3) медиану и моду по таблице частот о книгах;
4) моду ряда 2, 3, 3, 5, 7, 7 и моду опроса о спорте.

Показать решение
1) Ряд уже упорядочен, n = 5, 3-е значение: Me = 6 (а среднее равно 8).
2) Упорядочим: 2, 3, 5, 7, 8, 10; n = 6 чётное: Me = (5 + 7) : 2 = 6.
3) n = 20, нужны 10-е и 11-е значения. Накопленные частоты: 0 книг — места 1–2, 1 книга — 3–7, 2 книги — 8–14. Оба значения равны 2: Me = 2. Мода тоже 2 (f = 7).
4) 3 и 7 встречаются по два раза: две моды, 3 и 7. Мода опроса — футбол; среднее и медиана здесь не имеют смысла.

Разброс: размах, дисперсия, стандартное отклонение

Два баскетболиста набирают в среднем по 12 очков за игру. Последние пять игр Мурада: 10, 12, 14, 12, 12; Эльвина: 4, 20, 12, 6, 18. Средние одинаковы, но Мурад играет ровно, а у Эльвина то густо, то пусто. Меры центра этого различия не видят — его измеряют меры разброса.

R = xₘₐₓ − xₘᵢₙ
где:
  • Rразмах ряда
  • xₘₐₓ, xₘᵢₙнаибольшее и наименьшее значения

Размах находится быстро, но зависит только от двух крайних значений, поэтому один выброс сильно его меняет.

D = ((x₁ − x̄)² + (x₂ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²) / n, σ = √DD = ((x₁ − x̄)² + (x₂ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²) / n, σ = √D
где:
  • Dдисперсия — среднее квадратов отклонений
  • σсреднее квадратичное (стандартное) отклонение
  • xᵢ − x̄отклонение значения от среднего

Просто сложить отклонения нельзя — их сумма всегда равна 0, поэтому их возводят в квадрат. σ измеряется в тех же единицах, что и данные, и показывает типичное удаление значений от среднего. Для выборок в вузовской статистике делят не на n, а на n − 1.

  1. 1
    Найдите среднее

    Вычислите x̄.

  2. 2
    Запишите отклонения

    Для каждого значения xᵢ − x̄; их сумма должна быть 0 (проверка).

  3. 3
    Возведите в квадрат

    Возведите каждое отклонение в квадрат и сложите квадраты.

  4. 4
    Разделите на n, извлеките корень

    Сумма : n = дисперсия D; σ = √D.

Мурад и Эльвин

Найдите размах, дисперсию и стандартное отклонение очков Мурада (10, 12, 14, 12, 12) и Эльвина (4, 20, 12, 6, 18).

Показать решение
У обоих x̄ = 60 : 5 = 12.
Мурад: R = 14 − 10 = 4. Отклонения −2, 0, 2, 0, 0; квадраты 4, 0, 4, 0, 0, сумма 8. D = 8 : 5 = 1,6, σ = √1,6 ≈ 1,26.
Эльвин: R = 20 − 4 = 16. Отклонения −8, 8, 0, −6, 6; квадраты 64, 64, 0, 36, 36, сумма 200. D = 200 : 5 = 40, σ = √40 ≈ 6,32.
Вывод: очки Мурада обычно отличаются от среднего на 1–2, а Эльвина — примерно на 6.

Выбросы, среднее или медиана, обманчивые графики

Определение
Выброс

Значение, сильно удалённое от большинства остальных. Это может быть ошибка (опечатка, неисправное измерение) или реальный, но необычный случай — проверьте, прежде чем удалять.

Влияние выброса

В небольшой фирме месячные зарплаты 5 сотрудников: 700, 700, 800, 900 и 4400 манатов (последняя — директора). Найдите среднее и медиану, затем пересчитайте их без директора.

Показать решение
Со всеми: среднее = 7500 : 5 = 1500, медиана = 800.
Без директора: среднее = 3100 : 4 = 775, медиана = (700 + 800) : 2 = 750.
Один выброс сдвинул среднее на 725 манатов, а медиану — всего на 50. «Типичную» зарплату лучше описывает медиана: четверо из пяти сотрудников получают намного меньше 1500 манатов.
ПоказательКогда выбиратьПримеры
Среднеечисловые данные, примерно симметричные, без выбросовбаллы за тест, рост, температура
Медиананесимметричные данные или данные с выбросамизарплаты, цены квартир, время ожидания
Модакачественные данные или вопрос «что популярнее всего»любимый вид спорта, самый ходовой размер обуви в магазине

График может быть верным по числам и всё же создавать ложное впечатление. Основные приёмы обманчивых графиков:

  • Обрезанная ось: вертикальная ось столбчатой диаграммы начинается не с 0, и маленькие различия выглядят огромными.
  • Неравномерная шкала: одинаковые шаги на оси означают разные величины или интервалы гистограммы разной ширины.
  • Картинки, увеличенные в двух направлениях: фигура вдвое выше и вдвое шире имеет вчетверо большую площадь, и рост в 2 раза выглядит как рост в 4 раза.
  • Подобранный промежуток времени или нет единиц и источника: показаны только годы, подтверждающие вывод, или числа невозможно проверить.
Интерактив
Загрузка симуляции…
Данные придуманы для примера. Вертикальная ось начинается с 1000, а не с 0, поэтому столбец 2024 года кажется в 3,5 раза выше столбца 2021 года, хотя число учеников выросло всего на (1070 − 1020) : 1020 ≈ 4,9%. Откройте таблицу, чтобы увидеть настоящие числа.
Быстрая практика
  1. 1.Среднее арифметическое чисел 3, 5 и 10 равно .
  2. 2.Медиана ряда 1, 2, 8, 9 равна .
  3. 3.Мода ряда 4, 7, 7, 2, 4, 7 равна .
  4. 4.Размах ряда 12, 5, 19, 8 равен .
  5. 5.Категория с 25% ответов получает на круговой диаграмме сектор в °.

Главное

  • В таблице частот сумма частот равна n, а сумма относительных частот — 1 (100%).
  • Столбчатая диаграмма — категории, круговая — части целого (α = 360° · f/n), линейный график — изменение во времени, гистограмма — сгруппированные числовые данные.
  • Среднее = сумма : n; среднее взвешенное = Σ x·f : Σ f; сумма всех значений равна n · x̄.
  • Медиана — середина упорядоченных данных (при чётном n — среднее двух серединных), мода — самое частое значение, размах = max − min.
  • Дисперсия — среднее квадратов отклонений; σ = √D показывает типичное удаление значений от среднего.
  • При выбросах или несимметричных данных выбирайте медиану; прежде чем верить графику, проверьте оси, шкалу и площади.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12
Какая диаграмма лучше всего покажет, как менялась температура воздуха в течение дня?