Перейти к содержанию
Educora
RU
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Моё обучениеEducora StudioНастройки
Продвинутый10–11 классы25 мин66 / 82

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Задачи на оптимизацию

Чем экстремум отличается от наибольшего (наименьшего) значения, теорема Вейерштрасса, алгоритм «критические точки внутри + концы отрезка» и задачи на оптимизацию: площадь, объём коробки, банка, расстояние и прибыль — с пошаговыми решениями.

Проверь себя
В этом уроке ты узнаешь
  • Объяснять, чем экстремум отличается от наибольшего и наименьшего значений функции на множестве
  • Находить наибольшее и наименьшее значения на отрезке по алгоритму, а на промежутке с единственной критической точкой — по знаку производной
  • Переводить текстовую задачу в функцию одной переменной с её областью определения
  • Решать задачи на оптимизацию площади, объёма, расхода материала, расстояния и прибыли и записывать в ответ искомую величину с единицами измерения

Лейла хочет сделать из квадратного листа картона со стороной 12 см открытую коробку для бусин: вырезать по углам одинаковые квадраты и загнуть края. Если вырезать маленькие квадраты, коробка выйдет мелкой; если большие — от дна почти ничего не останется. Лучший размер где-то посередине, и производная находит его точно. На прошлом уроке мы искали экстремумы — «вершины» и «впадины» графика. Теперь вопрос шире: какое наибольшее и наименьшее значения функция принимает на целом отрезке и как выбрать лучший вариант в реальной задаче?

Экстремум и наибольшее значение: в чём разница?

Максимум (экстремум) — понятие локальное: f(x₀) сравнивают только со значениями в близких точках. Наибольшее значение — понятие глобальное: его сравнивают со значениями во всех точках данного множества. Представьте горный маршрут: на пути несколько вершин, но самой высокой точкой всего маршрута может оказаться одна из них — или конец пути, если тропа заканчивается на вершине.

Определение
Наибольшее и наименьшее значения

Пусть x₀ ∈ X. Если f(x) ≤ f(x₀) для всех x из множества X, то число M = f(x₀) называют наибольшим значением функции f на X. Если f(x) ≥ f(x₀) для всех x ∈ X, то m = f(x₀) — наименьшее значение. Обозначения: M = max f(x), m = min f(x) (x ∈ X).

ПризнакЭкстремумНаибольшее / наименьшее значение
С чем сравниваютсо значениями в близких точкахсо значениями во всех точках множества
Сколькомаксимумов и минимумов может быть несколькоодно число (может достигаться в нескольких точках)
На конце отрезка [a; b]не бывает: точка экстремума — внутренняя точкачасто достигается именно там
Зависит от промежутка?нетда: измените промежуток — и ответ может измениться
Локальное и глобальное: два разных вопроса

Например, у функции f(x) = x + 4/x максимум в точке x = −2 равен −4, а минимум в точке x = 2 равен 4: максимум меньше минимума! Противоречия нет — каждый из них сравнивают только с соседними значениями.

Непрерывная функция на отрезке: теорема и алгоритм

Теорема Вейерштрасса (школьная формулировка): функция, непрерывная на отрезке [a; b], принимает на нём своё наибольшее и наименьшее значения. Наглядно: у графика, нарисованного от x = a до x = b без отрыва карандаша от бумаги, есть самая высокая и самая низкая точки. Важны оба условия. На интервале (0; 1) функция f(x) = x не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения: её значения сколь угодно близко подходят к 0 и 1, но не достигают их. На отрезке [0; π] функция tg x не является непрерывной (при x = π/2 она не определена) и принимает сколь угодно большие значения.

Где может находиться наибольшее значение? Если оно достигается во внутренней точке x₀, то x₀ — ещё и точка максимума, и по необходимому условию из прошлого урока f′(x₀) = 0 или f′(x₀) не существует, то есть x₀ — критическая точка. Иначе оно достигается на конце отрезка — в точке a или b. С наименьшим значением то же самое. Значит, кандидатов немного, и их достаточно просто сравнить — схема знаков не нужна.

M = max {f(a); f(x₁); …; f(xₖ); f(b)}, m = min {f(a); f(x₁); …; f(xₖ); f(b)}
где:
  • a, bконцы отрезка
  • x₁, …, xₖкритические точки внутри интервала (a; b)
  • M, mнаибольшее и наименьшее значения f на отрезке [a; b]

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на отрезке функции выбирают среди её значений на концах и в критических точках внутри отрезка.

  1. 1
    Проверьте функцию

    Функция f должна быть непрерывна на [a; b]: весь отрезок входит в область определения.

  2. 2
    Найдите производную

    Найдите f′(x) и по возможности разложите её на множители.

  3. 3
    Критические точки

    Решите уравнение f′(x) = 0 и найдите точки, где f′ не существует. Оставьте только те, что лежат внутри (a; b), остальные отбросьте.

  4. 4
    Вычислите значения

    Вычислите f в оставшихся точках и на обоих концах — в a и b.

  5. 5
    Выберите и запишите ответ

    Наибольшее из чисел — M, наименьшее — m. В ответ пишут значение, а не точку: «наибольшее значение равно 10 (при x = −1)».

Четыре кандидата

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5 на отрезке [−2; 4]. Как изменится ответ на отрезке [−2; 6]?

Показать решение
1) f — многочлен, он непрерывен везде.
2) f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x + 1)(x − 3).
3) Критические точки x = −1 и x = 3 — обе лежат внутри (−2; 4).
4) f(−2) = −8 − 12 + 18 + 5 = 3; f(−1) = −1 − 3 + 9 + 5 = 10; f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22; f(4) = 64 − 48 − 36 + 5 = −15.
5) Наибольшее значение 10 (при x = −1), наименьшее значение −22 (при x = 3).
На отрезке [−2; 6]: f(6) = 216 − 108 − 54 + 5 = 59, поэтому наибольшим значением станет 59 — оно достигается на конце x = 6, где никакого максимума нет.
Ещё три отрезка

Найдите наибольшее и наименьшее значения: 1) f(x) = x + 4/x на [1; 4]; 2) f(x) = sin x + cos x на [0; π/2]; 3) f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 1 на [0; 3].

Показать решение
1) Точка x = 0 не входит в [1; 4], f непрерывна. f′(x) = 1 − 4/x² = (x² − 4)/x² = 0 → x = ±2; отрезку принадлежит только x = 2. f(1) = 5, f(2) = 4, f(4) = 5. Наибольшее значение 5 (на обоих концах), наименьшее 4 (при x = 2).
2) f′(x) = cos x − sin x = 0 → tg x = 1 → x = π/4. f(0) = 1, f(π/4) = √2/2 + √2/2 = √2 ≈ 1,41, f(π/2) = 1. Наибольшее значение √2, наименьшее 1.
3) f′(x) = 6x² − 6x − 12 = 6(x + 1)(x − 2). Точка x = −1 не принадлежит [0; 3] — отбрасываем её (f(−1) = 8 дало бы ложное «наибольшее значение»!). f(0) = 1, f(2) = 16 − 12 − 24 + 1 = −19, f(3) = 54 − 27 − 36 + 1 = −8. Наибольшее значение 1, наименьшее −19.

Короткий путь: если f′ сохраняет знак на всём отрезке, функция монотонна и ответ — на концах. Для возрастающей функции m = f(a), M = f(b), для убывающей — наоборот.

Монотонные функции

Найдите наибольшее и наименьшее значения: 1) f(x) = x³ + 3x − 2 на [−1; 2]; 2) f(x) = 5 − 2x − x³ на [0; 2]; 3) f(x) = x² − 6x + 1 на [0; 2].

Показать решение
1) f′(x) = 3x² + 3 > 0 — f возрастает. m = f(−1) = −1 − 3 − 2 = −6, M = f(2) = 8 + 6 − 2 = 12.
2) f′(x) = −2 − 3x² < 0 — f убывает. M = f(0) = 5, m = f(2) = 5 − 4 − 8 = −7.
3) f′(x) = 2x − 6 = 0 → x = 3, но эта точка лежит вне [0; 2]; на отрезке f′ < 0, f убывает. M = f(0) = 1, m = f(2) = 4 − 12 + 1 = −7.

Если промежуток не отрезок — (a; b), (0; +∞), — теорема ничего не гарантирует. Но действует другое надёжное правило: если у непрерывной функции на промежутке единственная критическая точка x₀ и производная меняет в ней знак с «−» на «+», то f(x₀) — наименьшее значение на всём промежутке: до x₀ функция убывает, после — возрастает. Если знак меняется с «+» на «−», f(x₀) — наибольшее значение. Именно так решается большинство задач на оптимизацию.

Единственная критическая точка

1) Найдите наименьшее значение функции f(x) = x² + 16/x на промежутке (0; +∞). 2) Найдите наибольшее значение функции g(x) = 3x − x³ на промежутке (0; +∞).

Показать решение
1) f′(x) = 2x − 16/x² = (2x³ − 16)/x² = 0 → x³ = 8 → x = 2. При 0 < x < 2 f′ < 0, при x > 2 f′ > 0 — единственная критическая точка является точкой минимума. Наименьшее значение f(2) = 4 + 8 = 12. Наибольшего значения нет: f(x) → +∞ при x → 0 и при x → +∞.
2) g′(x) = 3 − 3x² = 3(1 − x)(1 + x) = 0 → x = 1 (x = −1 не входит в промежуток). При 0 < x < 1 g′ > 0, при x > 1 g′ < 0 — максимум. Наибольшее значение g(1) = 3 − 1 = 2. Наименьшего значения нет: g(x) → −∞ при x → +∞.

Задачи на оптимизацию: от условия к функции

Определение
Задача на оптимизацию

Задача, в которой нужно найти вариант, при котором некоторая величина (площадь, объём, затраты, прибыль) наибольшая или наименьшая. На языке математики — найти наибольшее или наименьшее значение функции одной переменной на её области определения.

Производная справляется с вычислениями за несколько строк; главная работа — перевести условие в функцию одной переменной. Действуйте каждый раз по одному плану.

  1. 1
    Переменная

    Выберите величину, которую можно менять, обозначьте её через x и укажите единицы измерения.

  2. 2
    Функция

    Выразите оптимизируемую величину (площадь, объём, затраты…) через x; лишние буквы исключите с помощью условия.

  3. 3
    Область определения

    Найдите её из смысла задачи: длины положительны, вырез не может быть больше половины листа и т. д.

  4. 4
    Производная

    Найдите производную и критические точки в области определения.

  5. 5
    Проверка

    На отрезке сравните со значениями на концах; при единственной критической точке проверьте знак f′ слева и справа от неё.

  6. 6
    Ответ

    Ответьте именно на вопрос задачи (размеры, объём, цена…) и укажите единицы.

Наибольшая площадь

Мурад хочет огородить прямоугольный сад забором длиной 40 м. Какими должны быть размеры сада, чтобы его площадь была наибольшей?

Показать решение
Переменная: одна сторона x м, другая (40 − 2x)/2 = 20 − x м.
Функция: S(x) = x(20 − x) = 20x − x².
Область определения: 0 < x < 20.
Производная: S′(x) = 20 − 2x = 0 → x = 10.
Проверка: при x < 10 S′ > 0, при x > 10 S′ < 0 — единственная критическая точка является точкой максимума.
Ответ: 10 м × 10 м, то есть квадрат; S = 100 м². Вообще, среди прямоугольников с данным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.
Забор вдоль стены

Эльвин хочет огородить у стены сарая прямоугольный выгул для кур. У него 60 м сетки, а вдоль стены сетка не нужна. Какими должны быть размеры выгула, чтобы его площадь была наибольшей?

Показать решение
Переменная: каждая сторона, перпендикулярная стене, равна x м; тогда сторона, параллельная стене, равна 60 − 2x м.
Функция: S(x) = x(60 − 2x) = 60x − 2x².
Область определения: 0 < x < 30.
Производная: S′(x) = 60 − 4x = 0 → x = 15.
Проверка: при переходе через x = 15 знак S′ меняется с «+» на «−» — максимум.
Ответ: 15 м × 30 м (вдоль стены 30 м); S = 450 м².
Заметьте: на этот раз ответ не квадрат — сторона вдоль стены вдвое длиннее. Если бы те же 60 м сетки пошли на все четыре стороны, лучшим был бы квадрат 15 м × 15 м площадью всего 225 м²: стена удваивает площадь.

Очень часто встречается сумма x + k/x: одно слагаемое растёт вместе с x, другое убывает. Производная показывает, где они уравновешиваются.

f(x) = x + k/x (x > 0): f′(x) = 1 − k/x² = 0 → x = √k, fₘᵢₙ = f(√k) = 2√kf(x) = x + k/x (x > 0): f′(x) = 1 − k/x² = 0 → x = √k, fₘᵢₙ = f(√k) = 2√k
где:
  • kположительная постоянная
  • xположительная переменная
  • 2√kнаименьшее значение суммы

При x < √k f′ < 0, при x > √k f′ > 0 — единственная критическая точка даёт наименьшее значение. В точке оптимума слагаемые равны: x = k/x = √k.

Формула x + k/x в деле

1) При каком положительном x сумма x + 9/x наименьшая и чему равно это наименьшее значение? 2) Площадь прямоугольного участка должна быть 36 м². При каких размерах забор будет самым коротким? 3) Найдите по формуле наименьшее значение x + 4/x на отрезке [1; 4].

Показать решение
1) f′(x) = 1 − 9/x² = 0 → x = 3. При x < 3 f′ < 0, при x > 3 f′ > 0 — минимум. Наименьшее значение 3 + 9/3 = 6 = 2√9.
2) Одна сторона x м, другая 36/x м; периметр P(x) = 2(x + 36/x), x > 0. По формуле (k = 36) x = 6, P = 2 · 2√36 = 24 м. Ответ: квадрат 6 м × 6 м, 24 м забора.
3) k = 4, √4 = 2 лежит на [1; 4], значит, наименьшее значение 2√4 = 4 (при x = 2) — как и выше. Наибольшее значение по-прежнему дают концы.
V(x) = x(a − 2x)², 0 < x < a/2; V′(x) = (a − 2x)(a − 6x) = 0 → x = a/6, Vₘₐₓ = 2a³/27V(x) = x(a − 2x)², 0 < x < a/2; V′(x) = (a − 2x)(a − 6x) = 0 → x = a/6, Vₘₐₓ = 2a³/27
где:
  • aсторона квадратного листа
  • xсторона квадратов, вырезанных по углам (высота коробки)
  • a − 2xсторона дна коробки
  • Vобъём коробки

Открытая коробка из квадратного листа: вырезайте по углам квадраты со стороной a/6.

Коробка Лейлы

Лейла вырезает по углам картонного листа 12 см × 12 см одинаковые квадраты и загибает края, получая открытую коробку. Какой должна быть сторона вырезанного квадрата, чтобы объём коробки был наибольшим, и чему равен этот объём? Затем по формуле найдите ответ для листов со стороной 30 см и 18 см.

Показать решение
Переменная: сторона вырезанного квадрата x см — это и высота коробки.
Функция: дно — квадрат со стороной 12 − 2x, поэтому V(x) = x(12 − 2x)².
Область определения: 0 < x < 6 (при x = 6 от дна ничего не остаётся).
Производная: V′(x) = (12 − 2x)² − 4x(12 − 2x) = (12 − 2x)(12 − 6x) = 0 → x = 2 или x = 6; x = 6 не входит в область определения.
Проверка: V′(1) = 10 · 6 = 60 > 0, V′(3) = 6 · (−6) = −36 < 0 — максимум.
Ответ: вырезать квадраты со стороной 2 см; коробка 8 см × 8 см × 2 см, V = 2 · 8² = 128 см³.
По формуле: a = 30 см → x = 5 см, V = 5 · 20² = 2000 см³; a = 18 см → x = 3 см, V = 3 · 12² = 432 см³.
Интерактив
Загрузка симуляции…
Объём коробки V(x) = x(12 − 2x)² при 0 ≤ x ≤ 6. График поднимается от 0, достигает 128 при x = 2 и снова опускается до 0 при x = 6. Двигайте прямую y = c: при c < 128 она пересекает график в двух точках (две разные коробки одного объёма), при c = 128 лишь касается вершины, а при c > 128 не встречает график — коробки больше не бывает.
V = πr²h → h = V/(πr²); S(r) = 2πr² + 2V/r; S′(r) = 4πr − 2V/r² = 0 → r³ = V/(2π), h = 2rV = πr²h → h = V/(πr²); S(r) = 2πr² + 2V/r; S′(r) = 4πr − 2V/r² = 0 → r³ = V/(2π), h = 2r
где:
  • rрадиус основания
  • hвысота цилиндра
  • Vзаданный объём
  • Sплощадь полной поверхности: два основания 2πr² и боковая поверхность 2πrh

Закрытый цилиндр заданного объёма требует меньше всего материала, когда его высота равна диаметру.

Цилиндрическая банка

Закрытая цилиндрическая консервная банка должна иметь объём 250π см³ (≈ 785 см³). При каких радиусе и высоте на неё уйдёт меньше всего металла? Затем решите задачу для банки объёмом 54π см³.

Показать решение
Переменная: радиус r см, r > 0.
Функция: из πr²h = 250π получаем h = 250/r²; S(r) = 2πr² + 2πr · 250/r² = 2πr² + 500π/r.
Производная: S′(r) = 4πr − 500π/r² = 0 → r³ = 125 → r = 5.
Проверка: при r < 5 S′ < 0, при r > 5 S′ > 0 — единственная критическая точка является точкой минимума.
Ответ: r = 5 см, h = 250/25 = 10 см = 2r; S = 50π + 100π = 150π ≈ 471 см².
Для 54π см³: r³ = 27 → r = 3 см, h = 6 см, S = 18π + 36π = 54π ≈ 170 см².
Ближайшая точка параболы

Найдите точку параболы y = x², ближайшую к точке A(3; 0), и это расстояние. Затем решите ту же задачу для точки B(6; 3).

Показать решение
Переменная: точка параболы M(x; x²).
Функция: квадрат расстояния g(x) = MA² = (x − 3)² + (x² − 0)² = x⁴ + x² − 6x + 9. Когда наименьшее MA, наименьшее и MA², а в MA² нет корня — дифференцировать проще.
Производная: g′(x) = 4x³ + 2x − 6 = 2(x − 1)(2x² + 2x + 3). Множитель 2x² + 2x + 3 всегда положителен (дискриминант 4 − 24 < 0), поэтому x = 1 — единственная критическая точка.
Проверка: g′ меняет знак с «−» на «+» — это наименьшее значение.
Ответ: M(1; 1), MA = √(4 + 1) = √5 ≈ 2,24.
Для B(6; 3): g(x) = (x − 6)² + (x² − 3)², g′(x) = 4x³ − 10x − 12 = 2(x − 2)(2x² + 4x + 3), снова единственная критическая точка x = 2. Ответ: M(2; 4), MB = √(16 + 1) = √17 ≈ 4,12.
R(p) = p · q(p), Π(p) = (p − c) · q(p)
где:
  • pцена одного товара (в манатах)
  • q(p)количество товара, проданного по этой цене
  • cсебестоимость одного товара
  • R, Πвыручка и прибыль

Выручка — это цена, умноженная на количество проданного; прибыль — выручка за вычетом себестоимости всех проданных товаров.

Лучшая цена мороженого

Киоск на Бакинском бульваре продаёт мороженое. Наблюдения показывают, что при цене p манатов за порцию в день продаётся q = 200 − 40p порций, а каждая порция обходится киоску в 1 манат. 1) При какой цене выручка наибольшая? 2) При какой цене прибыль наибольшая? 3) Как изменится ответ, если порция будет обходиться киоску в 2 маната?

Показать решение
Область: число проданных порций не может быть отрицательным: 200 − 40p ≥ 0 → p ≤ 5, поэтому работаем на отрезке [0; 5].
1) R(p) = p(200 − 40p) = 200p − 40p², R′(p) = 200 − 80p = 0 → p = 2,5 маната. R(2,5) = 2,5 · 100 = 250 манатов (на концах R(0) = R(5) = 0).
2) Π(p) = (p − 1)(200 − 40p) = −40p² + 240p − 200, Π′(p) = 240 − 80p = 0 → p = 3 маната. На концах Π(0) = −200 и Π(5) = 0, а Π(3) = 2 · 80 = 160 манатов — наибольшая прибыль; в день продаётся 80 порций.
3) Π(p) = (p − 2)(200 − 40p), Π′(p) = 280 − 80p = 0 → p = 3,5 маната, Π = 1,5 · 60 = 90 манатов.
Наибольшая выручка и наибольшая прибыль достигаются при разных ценах: продать больше — ещё не значит заработать больше.

Полезные приёмы и типичные ошибки

Быстрая тренировка
  1. 1.f(x) = x² − 4x на отрезке [0; 5]: наибольшее значение =
  2. 2.Наименьшее значение x + 25/x при x > 0 =
  3. 3.Наибольшая открытая коробка из квадратного листа со стороной 24 см: сторона вырезаемых квадратов = см
  4. 4.Закрытый цилиндр объёмом 16π см³ с наименьшим расходом материала: радиус = см

Этим уроком завершается модуль «Производная и её применения». Идеи критических точек, знаков и концов отрезка продолжаются на университетском уровне в уроке «Применения производной» модуля «Математический анализ» — вместе с выпуклостью, правилом Лопиталя и связанными скоростями.

Главное

  • Экстремум — понятие локальное (сравнение с близкими точками), наибольшее и наименьшее значения — глобальные (сравнение со всеми точками множества).
  • Функция, непрерывная на [a; b], принимает наибольшее и наименьшее значения — в критической точке внутри отрезка или на его конце.
  • Алгоритм: f′ → критические точки внутри (a; b) → значения в них и на концах a, b → выбрать наибольшее и наименьшее.
  • У монотонной функции ответ — на концах; если на промежутке единственная критическая точка, знак f′ показывает, даёт она наибольшее или наименьшее значение.
  • Оптимизация: переменная → функция → область определения → производная → проверка → ответ с единицами.
  • Полезные результаты: периметр задан — квадрат; x + k/x ≥ 2√k; коробка из листа — x = a/6; банка — h = 2r.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12
Где функция, непрерывная на отрезке [a; b], может принимать наибольшее значение?