Перейти к содержанию
Educora
RU
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Моё обучениеEducora StudioНастройки
Продвинутый9–11 классы25 мин57 / 82

Многогранники: призма и пирамида

Элементы многогранника и теорема Эйлера, прямоугольный параллелепипед и куб (экзамен 9 класса), боковая и полная поверхность и объём призмы и пирамиды, положение основания высоты, сечения, усечённая пирамида и подобные тела — с заданиями в стиле ГЭЦ (DİM).

Проверь себя
В этом уроке ты узнаешь
  • Считать вершины, рёбра и грани многогранника и проверять их теоремой Эйлера
  • Находить площадь поверхности, объём и диагональ прямоугольного параллелепипеда и куба, решать задачи на отношение измерений
  • Вычислять боковую и полную поверхность и объём призмы и пирамиды; определять положение основания высоты (центр описанной или вписанной окружности)
  • Решать задания ГЭЦ (DİM) на сечения, усечённую пирамиду и подобные тела (k², k³) с полным решением

Спичечный коробок, кирпич, аквариум, египетские пирамиды, кристаллы соли — всё это многогранники. Сколько бумаги нужно, чтобы оклеить такую коробку, и сколько литров воды в неё войдёт? На этом уроке изучаем призму и пирамиду: их элементы, боковую и полную поверхность, объём, сечения и усечённую пирамиду. Инструменты предыдущего урока «Прямые и плоскости в пространстве» — перпендикуляр, наклонная, проекция, двугранный угол — работают здесь на каждом шаге. Задание по теме «Многогранники, их поверхность и объём» в 2026 году было и на II этапе вступительного экзамена (I и II группы), и на выпускном экзамене за 11 класс. А в программе выпускного экзамена за 9 класс единственное пространственное тело — прямоугольный параллелепипед и куб; им посвящён второй раздел урока.

Многогранник и его элементы. Теорема Эйлера

Определение
Многогранник

Тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников, называется многогранником. Эти многоугольники — его грани, их стороны — рёбра, их вершины — вершины многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие на одной грани, — диагональ. Многогранник выпуклый, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани; в школьных задачах все многогранники выпуклые.

В − Р + Г = 2
где:
  • Вчисло вершин
  • Рчисло рёбер
  • Гчисло граней

Теорема Эйлера верна для любого выпуклого многогранника — отличный способ проверить подсчёт.

МногогранникВершиныРёбраГрани
n-угольная призма2n3nn + 2
n-угольная пирамидаn + 12nn + 1
куб8126
треугольная призма695
шестиугольная пирамида7127
У призмы по n рёбер у каждого основания и n боковых рёбер (3n), у пирамиды n рёбер основания и n боковых (2n).
Вершины, рёбра, грани

1) У призмы 30 рёбер. Сколько у неё граней и вершин?
2) У пирамиды 14 рёбер. Сколько у неё вершин?
3) У выпуклого многогранника 12 вершин и 30 рёбер. Сколько у него граней?

Показать решение
1) 3n = 30 ⇒ n = 10, основание — десятиугольник. Граней: n + 2 = 12, вершин: 2n = 20. Проверка: 20 − 30 + 12 = 2. ✓
2) 2n = 14 ⇒ n = 7, вершин: n + 1 = 8.
3) Теорема Эйлера: 12 − 30 + Г = 2 ⇒ Г = 20. Это правильный икосаэдр.

Прямоугольный параллелепипед и куб (и экзамен 9 класса)

Призма, основание которой — параллелограмм, называется параллелепипедом. Его противоположные грани параллельны и равны, четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Параллелепипед, все грани которого — прямоугольники, называется прямоугольным; длины a, b, c трёх рёбер, выходящих из одной вершины, — его измерения (длина, ширина, высота). Прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами — куб.

S = 2(ab + bc + ca), V = a · b · c
где:
  • a, b, cизмерения параллелепипеда
  • Sплощадь полной поверхности (шести граней)
  • Vобъём

Шесть граней — три пары равных: ab, bc и ca. Объём — площадь основания, умноженная на высоту.

d² = a² + b² + c²
где:
  • dдиагональ параллелепипеда

«Теорема Пифагора в пространстве»: сначала диагональ основания AC² = a² + b², затем в прямоугольном треугольнике ACC₁: AC₁² = AC² + c².

ABCDA₁B₁C₁D₁abcd
d² = AC² + c² = a² + b² + c².
S = 6a², V = a³, d = a√3
где:
  • aребро куба

Для куба a = b = c. Диагональ грани равна a√2, диагональ куба — a√3.

Поверхность, объём и диагональ

1) Измерения прямоугольного параллелепипеда 3 см, 4 см и 12 см. Найдите его полную поверхность, объём и диагональ.
2) Диагональ куба равна 6√3 см. Найдите площадь его поверхности и объём.

Показать решение
1) S = 2(3 · 4 + 4 · 12 + 12 · 3) = 2(12 + 48 + 36) = 192 см²; V = 3 · 4 · 12 = 144 см³; d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 см.
2) a√3 = 6√3 ⇒ a = 6 см; S = 6 · 36 = 216 см², V = 6³ = 216 см³.
В стиле ГЭЦ (DİM): кодируемое задание

Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся как 2 : 3 : 6, а его объём равен 288 см³. Найдите диагональ параллелепипеда (в см).

Показать решение
Пусть измерения 2k, 3k, 6k. V = 2k · 3k · 6k = 36k³ = 288 ⇒ k³ = 8 ⇒ k = 2.
Измерения: 4 см, 6 см, 12 см.
d = √(16 + 36 + 144) = √196 = 14.
Ответ: 14. Любопытно: площадь поверхности этого параллелепипеда тоже 2(24 + 72 + 48) = 288 см².
Объём по площадям граней и литры

1) Площади трёх граней прямоугольного параллелепипеда равны 6 см², 10 см² и 15 см². Найдите его объём и измерения.
2) Сколько литров воды вмещает аквариум размером 50 см × 30 см × 40 см?
3) Ребро куба увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличатся его поверхность и объём?

Показать решение
1) ab = 6, bc = 15, ca = 10. Перемножим все три: (abc)² = 6 · 15 · 10 = 900 ⇒ V = abc = 30 см³. Затем a = 30 : 15 = 2, b = 30 : 10 = 3, c = 30 : 6 = 5 (см).
2) V = 50 · 30 · 40 = 60 000 см³ = 60 дм³ = 60 л (1 л = 1 дм³ = 1000 см³).
3) Поверхность пропорциональна a²: в 2² = 4 раза; объём — a³: в 2³ = 8 раз.

Призма: боковая и полная поверхность, объём и сечения

Определение
Призма

Многогранник, две грани которого (основания) — равные n-угольники в параллельных плоскостях, а остальные n граней (боковые) — параллелограммы, называется призмой. Призма, боковые рёбра которой перпендикулярны основанию, — прямая, иначе — наклонная. Прямая призма, основание которой — правильный многоугольник, называется правильной. Высота призмы — расстояние между основаниями: в прямой призме она равна боковому ребру, в наклонной h = l · sin φ (l — боковое ребро, φ — угол между боковым ребром и основанием).

Sбок = Pосн · h, Sполн = Sбок + 2S_осн, V = Sосн · h
где:
  • Pоснпериметр основания
  • Sоснплощадь основания
  • hвысота

Формула Sбок = Pосн · h — для прямой призмы: её боковые грани — прямоугольники высоты h. V = Sосн · h верна для любой призмы.

Правильные призмы

1) Сторона основания правильной треугольной призмы 6 см, высота 10 см. Найдите её боковую поверхность, полную поверхность и объём.
2) Сторона основания правильной шестиугольной призмы 2 см, высота 5 см. Найдите её боковую поверхность и объём.

Показать решение
1) Sосн = (√3/4) · 6² = 9√3 см²; Sбок = Pосн · h = 18 · 10 = 180 см²; Sполн = 180 + 2 · 9√3 = 180 + 18√3 см²; V = 9√3 · 10 = 90√3 см³.
2) Правильный шестиугольник делится на 6 равносторонних треугольников со стороной 2: Sосн = 6 · (√3/4) · 4 = 6√3 см². Sбок = 12 · 5 = 60 см², V = 6√3 · 5 = 30√3 см³.
В стиле ГЭЦ (DİM): закрытое задание

Основание прямой призмы — ромб с диагоналями 10 см и 24 см. Площадь боковой поверхности призмы 520 см². Найдите высоту призмы.
A) 8 см B) 10 см C) 12 см D) 13 см E) 5 см

Показать решение
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам: сторона a = √(5² + 12²) = 13 см, Pосн = 4 · 13 = 52 см.
Sбок = Pосн · h ⇒ 520 = 52 · h ⇒ h = 10 см.
Ответ: B. Вариант D — сторона ромба; если взять целые диагонали, сторона √(10² + 24²) = 26 и h = 5 (E). Бонус: V = ½ · 10 · 24 · 10 = 1200 см³.

Сечения призмы плоскостью. Сечение, параллельное основанию, — многоугольник, равный основанию. Сечение прямой призмы через два несоседних боковых ребра (диагональное сечение) — прямоугольник со сторонами, равными диагонали основания и высоте. Чтобы найти форму сечения, найди отрезок, по которому секущая плоскость пересекает каждую грань: параллельные грани она пересекает по параллельным отрезкам.

Наклонная призма и сечения куба

1) Боковое ребро наклонной призмы равно 10 см и образует с плоскостью основания угол 30°; площадь основания 12 см². Найдите объём призмы.
2) Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 4 см. Найдите площадь a) диагонального сечения AA₁C₁C; b) сечения, проходящего через точки A, B₁ и D₁.

Показать решение
1) Высота — не боковое ребро: h = 10 · sin 30° = 5 см. V = Sосн · h = 12 · 5 = 60 см³.
2a) AA₁C₁C — прямоугольник: AC = 4√2, AA₁ = 4 ⇒ S = 16√2 см².
2b) AB₁, B₁D₁ и AD₁ — диагонали граней куба, каждая 4√2. Сечение — равносторонний треугольник: S = (√3/4) · (4√2)² = (√3/4) · 32 = 8√3 см².

Пирамида: основание высоты, апофема, поверхность и объём

Определение
Пирамида

Многогранник, одна грань которого (основание) — n-угольник, а остальные n граней (боковые) — треугольники с общей вершиной S, называется пирамидой. Перпендикуляр SO из вершины на плоскость основания — высота. Пирамида, основание которой — правильный многоугольник, а основание высоты — центр этого многоугольника, называется правильной: её боковые рёбра равны, боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из вершины, называется апофемой (m).

SABCDOMhmrφ
Прямоугольный треугольник SOM: m² = h² + r², h = r · tg φ. φ — линейный угол двугранного угла между боковой гранью и основанием.
Sбок = ½ · Pосн · m, V = ⅓ · Sосн · h
где:
  • mапофема
  • hвысота пирамиды
  • Sоснплощадь основания

Формула боковой поверхности — для правильной пирамиды (у всех боковых граней высота m). Формула объёма верна для любой пирамиды: объём пирамиды — треть объёма призмы с тем же основанием и той же высотой. Например, куб делится на три равные четырёхугольные пирамиды с общей вершиной, объём каждой a³/3.

m² = h² + r², l² = h² + R²
где:
  • r, Rрадиусы вписанной и описанной окружностей основания (OM и OA)
  • lбоковое ребро

Два прямоугольных треугольника в правильной пирамиде: SOM (с апофемой) и SOA (с боковым ребром). Для квадрата r = a/2, R = a√2/2; для равностороннего треугольника r = a√3/6, R = a√3/3.

Правильные пирамиды

1) Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды 6 см, высота 4 см. Найдите её апофему, боковое ребро, боковую и полную поверхность, объём.
2) Сторона основания правильной треугольной пирамиды 6√3 см, боковое ребро 10 см. Найдите её объём.

Показать решение
1) r = 6/2 = 3, m = √(4² + 3²) = 5 см; R = 3√2, l = √(16 + 18) = √34 см. Sбок = ½ · 24 · 5 = 60 см², Sполн = 60 + 36 = 96 см², V = ⅓ · 36 · 4 = 48 см³.
2) R = a√3/3 = 6√3 · √3/3 = 6 см, h = √(10² − 6²) = 8 см. Sосн = (√3/4) · (6√3)² = 27√3 см². V = ⅓ · 27√3 · 8 = 72√3 см³.

Когда пирамида неправильная, главный вопрос — где лежит основание высоты. В заданиях ГЭЦ (DİM) повторяются два случая:

  • Если все боковые рёбра равны или все образуют с основанием равные углы, основание высоты — центр описанной около основания окружности (равные наклонные имеют равные проекции: OA = OB = OC = R). В прямоугольном треугольнике это середина гипотенузы, в прямоугольнике — точка пересечения диагоналей.
  • Если все боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы (или равны высоты боковых граней, проведённые из вершины), основание высоты — центр вписанной в основание окружности. Тогда h = r · tg φ и боковая поверхность Sбок = Sосн / cos φ.
  • Если одно боковое ребро перпендикулярно основанию, оно и есть высота; любую грань треугольной пирамиды можно принять за основание.
h = r · tg φ, Sбок = Sосн / cos φh = r · tg φ, Sбок = Sосн / cos φ
где:
  • φдвугранный угол между боковыми гранями и основанием (все равны)
  • rрадиус вписанной в основание окружности

Вторая формула — это S′ = S · cos φ из урока «Прямые и плоскости в пространстве»: основание — проекция боковой поверхности.

В стиле ГЭЦ (DİM): закрытое задание

Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см, все боковые рёбра образуют с плоскостью основания угол 45°. Найдите объём пирамиды.
A) 240 см³ B) 80 см³ C) 160 см³ D) 80√2 см³ E) 48 см³

Показать решение
Боковые рёбра образуют с основанием равные углы ⇒ основание высоты — центр описанной около прямоугольника окружности, то есть точка O пересечения диагоналей.
Диагональ √(36 + 64) = 10 см, R = OA = 5 см.
В треугольнике SOA ∠A = 45° ⇒ h = SO = OA · tg 45° = 5 см.
V = ⅓ · 6 · 8 · 5 = 80 см³.
Ответ: B. В A забыта ⅓; в C за высоту взята диагональ (10); в D за высоту взято боковое ребро (5√2).
Основание высоты: центр описанной и вписанной окружности

Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см.
1) Все боковые рёбра равны 13 см. Найдите объём пирамиды.
2) Все боковые грани образуют с основанием двугранные углы 45°. Найдите объём и боковую поверхность.
3) В другой пирамиде три боковых ребра при вершине попарно перпендикулярны и равны 3 см, 4 см и 5 см. Найдите объём.

Показать решение
Sосн = ½ · 6 · 8 = 24 см², гипотенуза 10 см.
1) Боковые рёбра равны ⇒ O — середина гипотенузы, R = 5. h = √(13² − 5²) = 12 см. V = ⅓ · 24 · 12 = 96 см³.
2) Двугранные углы равны ⇒ O — центр вписанной окружности. В прямоугольном треугольнике r = (a + b − c)/2 = (6 + 8 − 10)/2 = 2 см. h = r · tg 45° = 2 см, V = ⅓ · 24 · 2 = 16 см³. Sбок = Sосн / cos 45° = 24 : (√2/2) = 24√2 см².
3) Примем два перпендикулярных ребра (3 и 4) за катеты основания: третье ребро (5) перпендикулярно их плоскости и является высотой. V = ⅓ · (½ · 3 · 4) · 5 = 10 см³.

Параллельные сечения, усечённая пирамида и подобные тела

Пересечём пирамиду плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии h₁ от вершины. Сечение — многоугольник, подобный основанию с коэффициентом k = h₁ / h, а отсечённая маленькая пирамида подобна всей пирамиде. Часть под сечением — усечённая пирамида: её основания (площади S₁ и S₂) — подобные многоугольники в параллельных плоскостях, боковые грани — трапеции, высота — расстояние между основаниями. Высота боковой грани правильной усечённой пирамиды — её апофема.

S₁ / S₂ = k², V₁ / V₂ = k³S₁ / S₂ = k², V₁ / V₂ = k³
где:
  • kкоэффициент подобия (отношение соответственных линейных размеров)
  • S₁, S₂соответственные площади (сечений, поверхностей)
  • V₁, V₂объёмы подобных тел

Площади поверхностей подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия, а объёмы — как его куб; это верно для любых подобных тел (кубов, призм, пирамид, цилиндров, шаров).

Параллельное сечение и подобные тела

1) Высота пирамиды 12 см, площадь основания 72 см². Найдите площадь сечения, параллельного основанию и удалённого от вершины на 4 см.
2) Ту же пирамиду пересекли плоскостью, параллельной основанию, через середину высоты. Найдите объёмы малой пирамиды и усечённой пирамиды.
3) Объёмы двух подобных пирамид 8 см³ и 27 см³, полная поверхность меньшей 20 см². Найдите полную поверхность большей.

Показать решение
1) k = 4/12 = ⅓ ⇒ S = 72 · (⅓)² = 8 см².
2) Вся пирамида: V = ⅓ · 72 · 12 = 288 см³. k = ½ ⇒ малая пирамида 288 · (½)³ = 36 см³, усечённая 288 − 36 = 252 см³. Площадь сечения — четверть основания (18 см²), а объём — одна восьмая!
3) k³ = 27/8 ⇒ k = 3/2, k² = 9/4. Поверхность большей 20 · 9/4 = 45 см².
V = ⅓ · h · (S₁ + S₂ + √(S₁ · S₂)), Sбок = ½ · (P₁ + P₂) · m
где:
  • S₁, S₂площади оснований усечённой пирамиды
  • P₁, P₂периметры оснований
  • h, mвысота и (для правильной) апофема усечённой пирамиды

Формула объёма получается как разность объёмов двух пирамид; формула боковой поверхности — сумма площадей равных трапеций (для правильной усечённой пирамиды).

Усечённая пирамида

1) Площади оснований усечённой пирамиды 4 см² и 16 см², высота 6 см. Найдите её объём.
2) Стороны оснований правильной четырёхугольной усечённой пирамиды 2 см и 8 см, высота 4 см. Найдите её апофему, боковую и полную поверхность, объём.

Показать решение
1) V = ⅓ · 6 · (4 + 16 + √64) = 2 · 28 = 56 см³.
2) Расстояния от центров оснований до их сторон равны 1 и 4, разность 3. Апофема m = √(4² + 3²) = 5 см. Sбок = ½ · (8 + 32) · 5 = 100 см², Sполн = 100 + 4 + 64 = 168 см². V = ⅓ · 4 · (4 + 64 + √256) = ⅓ · 4 · 84 = 112 см³.
Проверка: усечённая пирамида — это пирамида высотой 16/3 см без пирамиды высотой 4/3 см: ⅓ · 64 · 16/3 − ⅓ · 4 · 4/3 = 1024/9 − 16/9 = 112. ✓
В стиле ГЭЦ (DİM): письменное задание (полное решение)

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 8 см, боковые грани образуют с плоскостью основания угол 60°. Найдите высоту, апофему, площадь полной поверхности и объём пирамиды. Запишите все шаги решения.

Показать решение
Решение.
1) O — центр квадрата ABCD, M — середина AB. SO ⊥ (ABC) и OM ⊥ AB, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах SM ⊥ AB. Значит, SM — апофема, а ∠SMO — линейный угол двугранного угла между боковой гранью и основанием: ∠SMO = 60°.
2) OM = 8/2 = 4 см (радиус вписанной в квадрат окружности).
3) В треугольнике SOM: h = SO = OM · tg 60° = 4√3 см; m = SM = OM / cos 60° = 4 : ½ = 8 см.
4) Sосн = 8² = 64 см²; Sбок = ½ · Pосн · m = ½ · 32 · 8 = 128 см² (проверка: Sосн / cos 60° = 64 : ½ = 128 ✓); Sполн = 128 + 64 = 192 см².
5) V = ⅓ · Sосн · h = ⅓ · 64 · 4√3 = 256√3/3 см³ ≈ 147,8 см³.
Ответ: h = 4√3 см; m = 8 см; Sполн = 192 см²; V = 256√3/3 см³.

Следующий урок — «Тела вращения: цилиндр, конус и шар». Там те же идеи переходят на круглые тела: цилиндр похож на призму, конус — на пирамиду (V = Sосн · h и V = ⅓ · Sосн · h), а комбинации многогранников с шаром сводятся к задаче планиметрии в осевом сечении.

Проверь себя: заполни пропуск
  1. 1.Диагональ прямоугольного параллелепипеда с измерениями 2, 3 и 6 равна .
  2. 2.У призмы 18 рёбер ⇒ её основание — -угольник.
  3. 3.Пирамида: S_осн = 27, h = 10 ⇒ V =
  4. 4.Объёмы подобных тел 8 : 27 ⇒ поверхности 4 :
  5. 5.Ребро куба увеличили в 3 раза ⇒ объём увеличился в раз.

Главное

  • Теорема Эйлера: В − Р + Г = 2; у n-угольной призмы 3n рёбер, у пирамиды 2n.
  • Прямоугольный параллелепипед: S = 2(ab + bc + ca), V = abc, d² = a² + b² + c²; куб: S = 6a², V = a³, d = a√3.
  • Призма: V = Sосн · h (любая), Sбок = Pосн · h (прямая); пирамида: V = ⅓ · Sосн · h, у правильной Sбок = ½ · Pосн · m.
  • Боковые рёбра равны ⇒ основание высоты — центр описанной окружности; двугранные углы равны ⇒ центр вписанной, Sбок = Sосн / cos φ.
  • Параллельные сечения и подобные тела: площади как k², объёмы как k³; усечённая пирамида: V = ⅓ · h · (S₁ + S₂ + √(S₁ · S₂)).

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12
Как вычисляется площадь боковой поверхности прямой призмы?