- Складывать, умножать и делить комплексные числа в алгебраической форме
- Переходить между алгебраической, тригонометрической и показательной формами
- Возводить в степень и извлекать корни n-й степени по формуле Муавра
- Решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом
В уроке о квадратных уравнениях отрицательный дискриминант означал «корней нет»: у x² + 1 = 0 нет действительных решений, ведь квадрат действительного числа не бывает отрицательным. В XVI веке итальянские математики, в том числе Кардано и Бомбелли, заметили, что формулы для кубических уравнений иногда проходят через квадратные корни из отрицательных чисел, даже когда итоговый ответ — обычное действительное число. Они решили всё равно считать с такими числами, и сегодня комплексные числа — повседневный инструмент электротехники, обработки сигналов, теории управления и квантовой физики.
Мнимая единица и алгебраическая форма
Число i, для которого i² = −1. Комплексное число — выражение вида z = a + bi, где a и b действительны; множество всех комплексных чисел обозначают ℂ.
- a = Re zдействительная часть
- b = Im zмнимая часть (действительное число, без i!)
- iмнимая единица
Действительные числа — это комплексные числа с b = 0; числа с a = 0, например 3i, называют чисто мнимыми. Два комплексных числа равны, только если равны и их действительные, и их мнимые части. В отличие от действительных, комплексные числа нельзя сравнивать: неравенство вида 2 + i < 3 не имеет смысла.
Действия и сопряжённое число
Комплексные числа складывают и вычитают по частям, а умножают как обычные скобки, заменяя i² на −1:
- a, b, c, dдействительные числа
- −bdполучается из bi · di = bd · i² = −bd
- z̄число, сопряжённое к z = a + bi: у мнимой части меняется знак
- a² + b²всегда неотрицательное действительное число
На плоскости сопряжённое число — отражение z относительно действительной оси.
- c − diчисло, сопряжённое знаменателю
- c² + d²действительный знаменатель, он должен быть ненулевым
Чтобы разделить, числитель и знаменатель умножают на число, сопряжённое знаменателю: i из знаменателя исчезает.
Геометрически сложение комплексных чисел — это сложение векторов (правило параллелограмма), а |z₁ − z₂| — расстояние между точками z₁ и z₂. Например, равенство |z − 2| = 1 задаёт окружность радиуса 1 с центром в точке 2. Так комплексные числа превращают планиметрию в алгебру.
z₁ = 3 + 2i, z₂ = 1 − 4i. Найдите z₁ + z₂, z₁ − z₂, z₁z₂ и z₁/z₂.
Показать решениеСкрыть решение
z₁ − z₂ = (3 − 1) + (2 + 4)i = 2 + 6i.
z₁z₂ = 3 − 12i + 2i − 8i² = 3 − 10i + 8 = 11 − 10i.
z₁/z₂ = (3 + 2i)(1 + 4i) / (1² + 4²) = (3 + 12i + 2i + 8i²)/17 = (−5 + 14i)/17 = −5/17 + (14/17)i.
Проверка: z₂ · (−5 + 14i)/17 = (−5 + 14i + 20i − 56i²)/17 = (51 + 34i)/17 = 3 + 2i ✓.
Модуль, аргумент, тригонометрическая и показательная формы
Изобразим z = a + bi точкой (a; b) комплексной плоскости: горизонтальная ось — действительная, вертикальная — мнимая. Расстояние до начала координат — модуль r = |z|, а угол, отсчитанный от положительной действительной полуоси, — аргумент φ = arg z. Тогда a = r cos φ и b = r sin φ.
- rмодуль: расстояние от 0 до z
- φаргумент (угол), обычно −π < φ ≤ π
- a, bдействительная и мнимая части
- r(cos φ + i sin φ)тригонометрическая форма
- r · e^(iφ)показательная форма
- eоснование натурального логарифма, e ≈ 2,718
- φугол в радианах
Формула Эйлера. Она следует из степенных рядов eˣ, cos x и sin x: подставим x = iφ в eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + … и сгруппируем действительные и мнимые слагаемые — получатся в точности ряды cos φ и i sin φ.
- r₁, r₂модули
- φ₁, φ₂аргументы
Умножить — значит перемножить модули и сложить углы: умножение на i — это поворот на 90°.
Запишите z = 1 + i√3 и w = −1 − i в тригонометрической и показательной формах.
Показать решениеСкрыть решение
z = 2(cos 60° + i sin 60°) = 2e^(iπ/3).
w: r = √(1 + 1) = √2; cos φ = −1/√2, sin φ = −1/√2 — оба отрицательны, значит, φ в III четверти: φ = −3π/4 (−135°).
w = √2(cos(−135°) + i sin(−135°)) = √2 · e^(−3iπ/4).
Формула Муавра и корни
- nцелое число
- rⁿмодуль степени
- nφаргумент степени
Формула Муавра следует из (e^(iφ))ⁿ = e^(inφ). При n = 2 она сразу даёт формулы двойного угла: (cos φ + i sin φ)² = cos²φ − sin²φ + 2i sin φ cos φ, значит, cos 2φ = cos²φ − sin²φ и sin 2φ = 2 sin φ cos φ.
Вычислите (1 + i)¹⁰.
Показать решениеСкрыть решение
(1 + i)¹⁰ = (√2)¹⁰ · (cos(10·45°) + i sin(10·45°)) = 32 · (cos 450° + i sin 450°).
450° = 360° + 90°, поэтому cos 450° = 0, sin 450° = 1 ⇒ (1 + i)¹⁰ = 32i.
Раскрывать десять скобок пришлось бы гораздо дольше.
- wₖкорни n-й степени из z = r·e^(iφ)
- ⁿ√rобычный арифметический корень из модуля
- kномер корня
У ненулевого комплексного числа ровно n различных корней n-й степени; они лежат в вершинах правильного n-угольника с центром в 0.
Решения уравнения zⁿ = 1 — корни n-й степени из единицы e^(2πik/n). При n = 3 это 1 и −1/2 ± (√3/2)i, при n = 4 — 1, i, −1, −i. При n ≥ 2 их сумма равна 0: правильный многоугольник «уравновешен» относительно начала координат. Корни из единицы лежат в основе быстрого преобразования Фурье, которое используют в обработке звука и изображений.
Найдите все комплексные решения уравнения z³ = 8.
Показать решениеСкрыть решение
Аргументы: (0 + 2πk)/3 = 0°, 120°, 240° при k = 0, 1, 2.
w₀ = 2, w₁ = 2(cos 120° + i sin 120°) = −1 + i√3, w₂ = 2(cos 240° + i sin 240°) = −1 − i√3.
Проверка: (−1 + i√3)³ = (2e^(i·2π/3))³ = 8e^(i·2π) = 8 ✓. Три корня образуют равносторонний треугольник.
Квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом
- a, b, cдействительные коэффициенты уравнения ax² + bx + c = 0
- Dдискриминант
- √(−D)обычный квадратный корень из положительного числа
Решите уравнение x² − 4x + 13 = 0.
Показать решениеСкрыть решение
x = (4 ± 6i)/2 = 2 ± 3i.
Проверка для 2 + 3i: (2 + 3i)² − 4(2 + 3i) + 13 = (4 + 12i − 9) − 8 − 12i + 13 = 0 ✓.
Корни сопряжены: сумма 4 = −b/a, произведение (2 + 3i)(2 − 3i) = 4 + 9 = 13 = c/a — как и по теореме Виета.
У многочлена с действительными коэффициентами невещественные корни всегда идут сопряжёнными парами a ± bi. А по основной теореме алгебры каждый многочлен степени n ≥ 1 имеет ровно n комплексных корней с учётом кратности: в ℂ любое алгебраическое уравнение разрешимо.
import cmath
z1, z2 = 3 + 2j, 1 - 4j
print(z1 * z2)
print(z1 / z2)
print((1 + 1j) ** 10)
print(cmath.polar(1 + 1j))
print(cmath.exp(1j * cmath.pi) + 1)▸ Ожидаемый результат
(11-10j) (-0.29411764705882354+0.8235294117647058j) 32j (1.4142135623730951, 0.7853981633974483) 1.2246467991473532e-16j
j). polar возвращает пару (r, φ): √2 и π/4. Последняя строка даёт 1,2 · 10⁻¹⁶i вместо 0: равенство e^(iπ) + 1 = 0 точное, но число π в компьютере округлено.Главное
- i² = −1; z = a + bi, a = Re z, b = Im z; степени i повторяются с периодом 4.
- Умножай как скобки, заменяя i² = −1; при делении умножай на сопряжённое знаменателю; z·z̄ = a² + b².
- |z| = √(a² + b²); φ находят из cos φ = a/r и sin φ = b/r, следя за четвертью.
- Эйлер: e^(iφ) = cos φ + i sin φ, поэтому z = r·e^(iφ); при умножении модули перемножаются, углы складываются.
- Муавр: (r·e^(iφ))ⁿ = rⁿ·e^(inφ); у уравнения zⁿ = w n корней, лежащих на окружности.
- При D < 0 x = (−b ± i√(−D))/(2a) — пара сопряжённых корней.
Проверь себя
Вопросов: 10. Каждый правильный ответ приносит XP.