Периметр и площадь многоугольников

Семья Эльвина хочет постелить ламинат в комнате 5 м на 4 м и прибить плинтус вдоль стен. Количество ламината зависит от площади комнаты, а длина плинтуса — от её периметра. Кто перепутает эти величины, либо зря потратит деньги, либо посреди ремонта снова побежит в магазин. На этом уроке ты научишься отличать периметр от площади, переводить единицы площади и применять формулы площадей основных многоугольников — не зазубривая их, а понимая, откуда берётся каждая.

Периметр

Для периметра не нужна особая формула — достаточно сложить все стороны. Но когда стороны равны, сложение превращается в умножение и получаются короткие формулы. У прямоугольника две длины и две ширины, у квадрата четыре равные стороны, а у правильного многоугольника (все стороны и все углы которого равны) с n сторонами — n равных сторон.

Площадь и единицы площади

Все формулы площади опираются на два простых свойства. Во-первых, равные фигуры имеют равные площади: если разрезать фигуру и переложить части по-другому, площадь не изменится. Во-вторых, если фигура разбита на несколько частей, её площадь равна сумме площадей частей. Ниже мы выведем каждую формулу из площади прямоугольника именно с помощью этих двух свойств.

Когда единица длины увеличивается в 10 раз, обе стороны единичного квадрата увеличиваются в 10 раз, поэтому единица площади увеличивается в 10 · 10 = 100 раз. Например, 1 дм = 10 см, поэтому в 1 дм² помещается 10 рядов по 10 квадратиков площадью 1 см², то есть 100 штук. Для земельных участков есть особые единицы: ар (в быту «сотка») — площадь квадрата со стороной 10 м, а гектар — площадь квадрата со стороной 100 м.

Прямоугольник, квадрат и параллелограмм

Выложим прямоугольник 5 см на 3 см квадратиками по 1 см²: в каждом ряду 5 квадратиков, рядов 3 — всего 5 · 3 = 15. Значит, площадь равна 15 см². То же рассуждение годится для любых сторон (и для дробных: тогда считаем более мелкие квадратики, например мм²). Квадрат — это прямоугольник с равными сторонами, поэтому его площадь a · a = a². Отсюда и название второй степени числа — «квадрат».

Периметр и площадь не определяют друг друга. У Мурада есть 20 м сетки для забора, и он хочет огородить прямоугольный огород. В каждом варианте периметр равен 20 м, а площадь сильно меняется:

Теперь параллелограмм. Опустим из вершины B высоту BH на основание AD. Она отрезает прямоугольный треугольник ABH. Перенесём этот треугольник на другой край, к стороне DC, — получится прямоугольник HBCK со сторонами a и h. Ничего не пропало и ничего не добавилось, поэтому площади равны: S = a · h. Высота параллелограмма — это расстояние между противоположными сторонами, а наклонная сторона на площадь не влияет.

Треугольник, ромб и трапеция

Возьмём копию произвольного треугольника ABC, повернём её на 180° и приложим к стороне BC. Два равных треугольника вместе образуют параллелограмм ABDC с основанием a и высотой h. Его площадь равна a · h, а треугольник — ровно его половина. У прямоугольного треугольника это видно ещё проще: он — половина прямоугольника со сторонами, равными катетам, разрезанного по диагонали.

Из урока «Четырёхугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и трапеция» мы знаем, что диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Проведём через вершины ромба прямые, параллельные диагоналям, — получится прямоугольник со сторонами d₁ и d₂. Диагонали делят его на 8 равных прямоугольных треугольников, и 4 из них лежат внутри ромба. Значит, ромб — ровно половина этого прямоугольника: S = ½ · d₁ · d₂. Ромб — ещё и параллелограмм, поэтому верна и формула S = a · h.

Разобьём трапецию диагональю AC на два треугольника. У треугольника ACD основание AD = a, у треугольника ABC основание BC = b. Высоты у них одинаковые — это высота трапеции h, ведь основания параллельны. Складываем площади: S = ½ · a · h + ½ · b · h = (a + b)/2 · h. Выражение (a + b)/2 — средняя линия трапеции, поэтому кратко S = m · h.

Составные фигуры и задачи на ремонт

Комнаты, участки и детали редко имеют форму простой фигуры. Тогда пользуемся вторым свойством площади: разбиваем фигуру на знакомые части или достраиваем её до большого прямоугольника и вычитаем лишнее. Оба способа должны дать один и тот же ответ — это заодно и хорошая проверка.

1. 1
   1. Нарисуй и подпиши размеры

   Отметь на рисунке длину каждой стороны. Недостающие стороны найди как разность или сумму противоположных сторон.

2. 2
   2. Разбей или дострой

   Разбей фигуру на прямоугольники, треугольники, трапеции или начерти описанный прямоугольник и отметь недостающие части.

3. 3
   3. Найди площадь каждой части

   Примени нужную формулу; все длины должны быть в одних единицах.

4. 4
   4. Сложи или вычти

   При разбиении сложи площади, при достраивании вычти недостающие части из площади большого прямоугольника.

5. 5
   5. Проверь

   Проверь ответ другим способом и убедись, что единица квадратная. Периметр считай отдельно, вдоль границы.

На этом уроке мы вывели все формулы площади из одного прямоугольника. На уроке «Теорема Пифагора» ты увидишь знаменитую связь между площадями квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, а окружность и круг изучаются на уроке «Длина окружности и площадь круга» — и площадь круга тоже получится из формулы параллелограмма.