Дифференциальные уравнения — Математика

В этом уроке ты узнаешь

Определять порядок дифференциального уравнения и проверять решение подстановкой
Решать уравнения с разделяющимися переменными и линейные уравнения первого порядка
Моделировать рост, радиоактивный распад и остывание
Решать уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами через характеристическое уравнение

Чай остывает, колония бактерий растёт, радиоактивные атомы распадаются, груз на пружине колеблется. Законы этих процессов говорят не о самой величине, а о скорости её изменения: «скорость остывания пропорциональна разности температур», «сила возвращает груз пропорционально смещению». Уравнение, в которое неизвестная функция входит вместе со своими производными, называется дифференциальным; решить его — значит предсказать будущее по закону изменения.

Что такое дифференциальное уравнение?

Определение

Обыкновенное дифференциальное уравнение

Уравнение, связывающее неизвестную функцию y(x) с её производными: F(x, y, y′, …, y⁽ⁿ⁾) = 0. Порядок уравнения — порядок старшей входящей в него производной. Решение — функция, обращающая уравнение в тождество. Общее решение уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных; начальные условия (задача Коши) выделяют одно частное решение.

y′ = 2x — уравнение первого порядка; интегрируя, получаем y = x² + C — целое семейство парабол. Условие y(0) = 1 выбирает из семейства одну параболу: y = x² + 1. y″ + y = 0 — уравнение второго порядка; его общее решение y = C₁ cos x + C₂ sin x зависит от двух постоянных.

Уравнения с разделяющимися переменными

dy/dx = f(x) · g(y) ⇒ ∫ dy / g(y) = ∫ f(x) dxdy/dx = f(x) · g(y) ⇒ ∫ dy / g(y) = ∫ f(x) dx

где:

f(x)множитель, зависящий только от x
g(y)множитель, зависящий только от y, g(y) ≠ 0

Всё, что содержит y, — влево, всё, что содержит x, — вправо, затем интегрируем обе части.

Разделяем переменные

а) Решите задачу dy/dx = x · y, y(0) = 2.
б) Найдите общее решение уравнения dy/dx = −x/y.

Показать решение

а) dy/y = x dx ⇒ ln|y| = x²/2 + C₀ ⇒ y = C · e^(x²/2).
y(0) = C = 2 ⇒ y = 2e^(x²/2).
Проверка: y′ = 2e^(x²/2) · x = x · y ✓.
б) y dy = −x dx ⇒ y²/2 = −x²/2 + C₀ ⇒ x² + y² = C: решения — окружности с центром в начале координат (сравните с y′ = −x/y из урока о производной).

Экспоненциальный рост, распад и остывание

dN/dt = k · N ⇒ N(t) = N₀ · eᵏᵗdN/dt = k · N ⇒ N(t) = N₀ · eᵏᵗ

где:

N₀начальное количество (при t = 0)
kконстанта скорости, 1/время: k > 0 — рост, k < 0 — убывание
tвремя

Скорость изменения пропорциональна самому количеству. Период полураспада (k < 0): T = ln 2 / |k|; время удвоения (k > 0): T = ln 2 / k.

Радиоуглерод

Период полураспада углерода-14 — около 5730 лет. Какая его доля останется через 11 460 лет? А через 1000 лет?

Показать решение

Так как k = −ln 2 / T, то eᵏᵗ = 2^(−t/T), т. е. N(t) = N₀ · (1/2)^(t/T).
11 460 = 2 · 5730 лет — два периода полураспада, остаётся 1/4.
1000 лет: (1/2)^(1000/5730) = 2^(−0,1745) ≈ 0,886, т. е. около 88,6%.
Радиоуглеродный метод проводит этот расчёт в обратную сторону: по измеренной доле находит t.

dT/dt = −k (T − Tₘ) ⇒ T(t) = Tₘ + (T₀ − Tₘ) · e⁻ᵏᵗdT/dt = −k (T − Tₘ) ⇒ T(t) = Tₘ + (T₀ − Tₘ) · e⁻ᵏᵗ

где:

Tₘтемпература окружающей среды (комнаты)
T₀начальная температура
kкоэффициент остывания, k > 0

Закон охлаждения Ньютона: разность температур убывает экспоненциально.

Чашка чая

Чай с температурой 90 °C оставили в комнате при 20 °C. Через 5 минут его температура 60 °C. Когда он остынет до 40 °C?

Показать решение

T(t) = 20 + 70e⁻ᵏᵗ.
60 = 20 + 70e⁻⁵ᵏ ⇒ e⁻⁵ᵏ = 4/7 ⇒ k = ln(7/4)/5 ≈ 0,112 мин⁻¹.
40 = 20 + 70e⁻ᵏᵗ ⇒ e⁻ᵏᵗ = 2/7 ⇒ t = ln 3,5 / k = 5 · ln 3,5 / ln 1,75 ≈ 11,2 мин.
Проверка здравым смыслом: первые 30 градусов ушли за 5 минут, следующие 20 — ещё примерно за 6: чем меньше разность, тем медленнее остывание.

Интерактив

Загрузка симуляции…

N(t) = C · eᵏᵗ (горизонтальная ось — время t). k > 0 — рост, кривая становится всё круче; k < 0 — убывание к 0; k = 0 — ничего не меняется. C — значение при t = 0.

Линейные уравнения первого порядка

y′ + p(x) · y = q(x), μ(x) = e^(∫ p(x) dx), y = (1/μ) · (∫ μ · q dx + C)y′ + p(x) · y = q(x), μ(x) = e^(∫ p(x) dx), y = (1/μ) · (∫ μ · q dx + C)

где:

p(x), q(x)заданные функции
μ(x)интегрирующий множитель

После умножения на μ левая часть становится производной произведения: (μ · y)′ = μ · q.

Почему это работает? При μ = e^(∫ p dx) имеем μ′ = p · μ. После умножения уравнения на μ левая часть становится μy′ + μ′y, а это по правилу произведения ровно (μ · y)′. Значит, достаточно одного интегрирования.

Интегрирующий множитель в действии

Решите задачу y′ + y = x, y(0) = 1.

Показать решение

p(x) = 1, значит, μ = eˣ.
(eˣ · y)′ = x eˣ ⇒ eˣ · y = ∫ x eˣ dx = x eˣ − eˣ + C (по частям).
y = x − 1 + C e⁻ˣ.
y(0) = −1 + C = 1 ⇒ C = 2: y = x − 1 + 2e⁻ˣ.
Проверка: y′ = 1 − 2e⁻ˣ, y′ + y = 1 − 2e⁻ˣ + x − 1 + 2e⁻ˣ = x ✓. При больших x слагаемое 2e⁻ˣ затухает и y ≈ x − 1.

Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

a · y″ + b · y′ + c · y = 0, y = eʳˣ ⇒ a · r² + b · r + c = 0

где:

a, b, cпостоянные коэффициенты, a ≠ 0
rкорень характеристического уравнения

Подстановка y = eʳˣ превращает дифференциальное уравнение в квадратное — характеристическое уравнение.

D = b² − 4ac	Корни	Общее решение
D > 0	действительные r₁ ≠ r₂	y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)
D = 0	кратный корень r₁ = r₂ = r	y = (C₁ + C₂x) eʳˣ
D < 0	комплексные r = α ± βi	y = eᵅˣ (C₁ cos βx + C₂ sin βx)

Три случая в зависимости от дискриминанта характеристического уравнения.

Три случая — три примера

а) y″ − 5y′ + 6y = 0
б) y″ + 4y′ + 4y = 0
в) y″ + 2y′ + 5y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0

Показать решение

а) r² − 5r + 6 = 0 ⇒ r = 2, r = 3: y = C₁e²ˣ + C₂e³ˣ.
б) r² + 4r + 4 = (r + 2)² = 0 ⇒ r = −2 (кратный корень): y = (C₁ + C₂x)e⁻²ˣ.
в) r² + 2r + 5 = 0, D = 4 − 20 = −16 ⇒ r = −1 ± 2i: y = e⁻ˣ(C₁ cos 2x + C₂ sin 2x).
y(0) = C₁ = 1; y′(0) = −C₁ + 2C₂ = 0 ⇒ C₂ = 1/2.
y = e⁻ˣ(cos 2x + (1/2) sin 2x) — затухающие колебания.

Гармонический осциллятор. Для груза массой m на пружине жёсткостью k второй закон Ньютона даёт m · x″ = −k · x, т. е. x″ + ω²x = 0, где ω = √(k/m). Характеристические корни r = ±iω (случай D < 0 при α = 0), поэтому x(t) = A cos(ωt + φ) — гармонические колебания. Математический маятник при малых углах подчиняется тому же уравнению θ″ + (g/L)θ = 0, ведь sin θ ≈ θ (вспомните урок о рядах!).

x″ + ω² x = 0 ⇒ x(t) = A cos(ωt + φ), ω = √(k/m), T = 2π/ω = 2π √(m/k)x″ + ω² x = 0 ⇒ x(t) = A cos(ωt + φ), ω = √(k/m), T = 2π/ω = 2π √(m/k)

где:

Aамплитуда, м
φначальная фаза, рад
ωциклическая частота, рад/с
Tпериод колебаний, с
m, kмасса (кг) и жёсткость пружины (Н/м)

Гармонические колебания: период не зависит от амплитуды.

Груз на пружине

Груз массой m = 0,5 кг подвешен на пружине жёсткостью k = 50 Н/м. Его оттягивают на 5 см и отпускают без начальной скорости. Найдите ω, T и x(t).

Показать решение

ω = √(50/0,5) = √100 = 10 рад/с.
T = 2π/10 ≈ 0,63 с.
Начальные условия x(0) = 0,05 м, x′(0) = 0 ⇒ A = 0,05 м, φ = 0: x(t) = 0,05 cos 10t (м).
Проверка: x″ = −5 cos 10t = −100 · x ✓.

Интерактив

Загрузка симуляции…

Затухающие колебания x(t) = A e^(−bt) cos ωt (решение уравнения m · x″ + c · x′ + k · x = 0 при слабом трении) и их огибающая A e^(−bt). b = 0 — незатухающие гармонические колебания; увеличивайте b — колебания затухают быстрее.

Главное

Дифференциальное уравнение связывает функцию с её производными; порядок — старшая производная, в общем решении столько постоянных, каков порядок.
С разделяющимися переменными: dy/dx = f(x)g(y) ⇒ ∫ dy/g(y) = ∫ f(x) dx.
N′ = kN ⇒ N = N₀eᵏᵗ; период полураспада T = ln 2/|k|; остывание: T(t) = Tₘ + (T₀ − Tₘ)e⁻ᵏᵗ.
y′ + p y = q: умножьте на μ = e^(∫ p dx), тогда (μy)′ = μq.
ay″ + by′ + cy = 0: решите ar² + br + c = 0; случаи D > 0, D = 0, D < 0 дают экспоненты, (C₁ + C₂x)eʳˣ или колебания.

Проверь себя

Вопросов: 10. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 10

Каков интегрирующий множитель для уравнения y′ + (2/x) · y = 1 (x > 0)?