Действия с обыкновенными дробями

В этом уроке ты узнаешь

Складывать и вычитать дроби с одинаковыми и разными знаменателями, а также смешанные числа
Умножать дроби, сокращая до умножения, и делить, умножая на обратное число
Находить дробь от числа и число по его дроби
Вычислять выражения в несколько действий и решать текстовые задачи с дробями

Айсель печёт торт. По рецепту нужно 3/4 стакана сахара, а она хочет приготовить только половину порции. В кувшине 1/2 стакана молока, а по рецепту нужно 1 целая 1/3 стакана — сколько молока ещё добавить? Потом торт разрежут на 6 равных кусков, и гости съедят 2/3 торта — сколько это кусков? Одна кухня — четыре действия: сложение, вычитание, умножение и деление дробей.

Понадобятся все инструменты предыдущего урока «Обыкновенные дроби: смысл, сокращение и сравнение»: общий знаменатель, сокращение, переход от смешанного числа к неправильной дроби. Правило каждого действия мы сначала объясним на картинке или простом примере, чтобы его можно было понять, а не просто заучить.

Сложение и вычитание дробей

У дробей с одинаковыми знаменателями доли одного размера, поэтому их просто считают. Знаменатель — это «имя» долей, и он не меняется: как 2 яблока + 3 яблока = 5 яблок, так и 2 седьмых + 3 седьмых = 5 седьмых.

a/c ± b/c = (a ± b)/ca/c ± b/c = (a ± b)/c

где:

a, bчислители
cобщий знаменатель (не меняется)

При сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают (вычитают), а знаменатель оставляют прежним. Не забудь сократить ответ.

Одинаковые знаменатели

Вычислите: 1) 2/7 + 3/7; 2) 7/12 − 5/12; 3) 5/9 + 7/9.

Показать решение

1) (2 + 3)/7 = 5/7.
2) (7 − 5)/12 = 2/12 = 1/6 (сократили на 2).
3) (5 + 7)/9 = 12/9 = 4/3 = 1 целая 1/3.

Если знаменатели разные, доли разного размера: треть и четверть напрямую не сложить. Сначала приводим дроби к общему знаменателю (лучше всего — к НОК знаменателей), а потом складываем как дроби с одинаковыми знаменателями.

a/b ± c/d = (a · m ± c · n)/K, K = НОК(b; d), m = K : b, n = K : da/b ± c/d = (a · m ± c · n)/K, K = НОК(b; d), m = K : b, n = K : d

где:

Kнаименьший общий знаменатель
m, nдополнительные множители первой и второй дроби

Сначала приведи к общему знаменателю, затем сложи или вычти числители и в конце сократи ответ.

1
Найди общий знаменатель
Найди НОК знаменателей: для 5/6 + 3/8 это НОК(6; 8) = 24.
2
Преобразуй дроби
Дополнительные множители 24 : 6 = 4 и 24 : 8 = 3: 5/6 = 20/24, 3/8 = 9/24.
3
Сложи или вычти числители
20/24 + 9/24 = (20 + 9)/24 = 29/24.
4
Оформи ответ
Сократи и запиши неправильную дробь смешанным числом: 29/24 = 1 целая 5/24.

Разные знаменатели

Вычислите: 1) 1/4 + 1/6; 2) 7/10 − 4/15; 3) 1 − 3/8.

Показать решение

1) НОК(4; 6) = 12: 3/12 + 2/12 = 5/12.
2) НОК(10; 15) = 30: 21/30 − 8/30 = 13/30.
3) 1 = 8/8, значит, 8/8 − 3/8 = 5/8.

Смешанные числа складывают так: целые части — отдельно, дробные — отдельно. Если дробная часть получилась неправильной дробью, выделяем из неё целое и добавляем к целой части. При вычитании дробная часть уменьшаемого может оказаться меньше дробной части вычитаемого — тогда «занимаем» одну единицу: 1 = b/b.

q целых a/b = (q − 1) + (b + a)/bq целых a/b = (q − 1) + (b + a)/b

где:

qцелая часть (q ≥ 1)
a/ba/bдробная часть

«Занимаем» единицу: целая часть уменьшается на 1, а к дробной части добавляется b/b = 1. Например, 5 целых 1/4 = 4 целых 5/4.

Смешанные числа

Вычислите: 1) 3 целых 2/5 + 1 целая 4/5; 2) 5 целых 1/4 − 2 целых 3/4; 3) 6 − 2 целых 5/8; 4) молоко из начала урока: 1 целая 1/3 − 1/2.

Показать решение

1) Целые: 3 + 1 = 4; дроби: 2/5 + 4/5 = 6/5 = 1 целая 1/5. Всего: 4 + 1 целая 1/5 = 5 целых 1/5.
2) 1/4 < 3/4, занимаем единицу: 5 целых 1/4 = 4 целых 5/4. 4 целых 5/4 − 2 целых 3/4 = 2 целых 2/4 = 2 целых 1/2.
3) 6 = 5 целых 8/8, значит, 5 целых 8/8 − 2 целых 5/8 = 3 целых 3/8.
4) 1 целая 1/3 = 4/3 = 8/6, 1/2 = 3/6: 8/6 − 3/6 = 5/6 стакана молока.

Умножение дробей

Представим плитку шоколада, разделённую на 5 столбцов и 3 ряда, — 15 долек. 4/5 плитки — это 4 столбца. Возьмём 2/3 этих 4 столбцов: получится 2 ряда × 4 столбца = 8 долек, то есть 8/15 всей плитки. Значит, 2/3 · 4/5 = (2 · 4)/(3 · 5) = 8/15: числители считают взятые дольки, а знаменатели — все дольки.

a/b · c/d = (a · c)/(b · d)a/b · c/d = (a · c)/(b · d)

где:

a, cчислители
b, dзнаменатели

Числитель умножают на числитель, знаменатель — на знаменатель. Натуральное число n = n/1, поэтому n · a/b = (n · a)/b.

Умножение

Вычислите: 1) сахар из начала урока: 3/4 · 1/2; 2) 6 · 5/8; 3) 2 целых 1/2 · 1 целая 3/5.

Показать решение

1) (3 · 1)/(4 · 2) = 3/8 стакана сахара.
2) (6 · 5)/8 = 30/8 = 15/4 = 3 целых 3/4.
3) Сначала переходим к неправильным дробям: 5/2 · 8/5 = 40/10 = 4.

Заметь: 6 · 5/8 = 3 целых 3/4 < 6. При умножении на правильную дробь число уменьшается (мы берём только его часть), а при умножении на дробь больше 1 — увеличивается. Это удобный способ проверить ответ.

Взаимно обратные числа и деление дробей

Определение

Взаимно обратные числа

Два числа, произведение которых равно 1. Для дроби a/b обратная дробь — b/a: 3/4 · 4/3 = 1. Для натурального числа: 5 и 1/5. Чтобы найти число, обратное смешанному, сначала запиши его неправильной дробью: 1 целая 1/2 = 3/2, обратное — 2/3. У числа 0 обратного нет.

Деление отвечает на вопрос «сколько раз помещается?». Сколько половинок в 3 пиццах? 6, то есть 3 : 1/2 = 6 = 3 · 2. Сколько раз 3/8 помещается в 3/4? 3/4 = 6/8, значит, 2 раза: 3/4 : 3/8 = 2 = 3/4 · 8/3. В обоих случаях деление на дробь даёт тот же результат, что и умножение на обратную ей дробь.

a/b : c/d = a/b · d/c = (a · d)/(b · c)a/b : c/d = a/b · d/c = (a · d)/(b · c)

где:

c/dc/dделитель (c ≠ 0)
d/cd/cчисло, обратное делителю

Разделить на дробь — значит умножить на обратную ей дробь. Делимое не меняется, переворачивают только делитель.

Деление

Вычислите: 1) 3/4 : 3/8; 2) 4 : 2/3; 3) 5/6 : 10; 4) 3 целых 1/3 : 2 целых 1/2.

Показать решение

1) 3/4 · 8/3 = 24/12 = 2.
2) 4 · 3/2 = 12/2 = 6: в 4 дробь 2/3 помещается 6 раз.
3) 10 = 10/1, обратное число — 1/10: 5/6 · 1/10 = 5/60 = 1/12.
4) 10/3 : 5/2 = 10/3 · 2/5 = 20/15 = 4/3 = 1 целая 1/3.

Нахождение дроби от числа и числа по его дроби

Эти две задачи — зеркальное отражение друг друга. В первой известно целое и ищем часть: «Сколько составляют 3/5 от 40 км?» Во второй известна часть и ищем целое: «2/5 класса — это 12 учеников; сколько учеников в классе?» Ключ к обеим один: сначала находим одну долю (1/n).

m/n от A = A : n · m = A · m/nm/n от A = A : n · m = A · m/n

где:

Aцелое (известное число)
m/nm/nдробь, которую берут от числа

Чтобы найти дробь от числа, делим его на знаменатель и умножаем на числитель, то есть умножаем число на эту дробь.

Нахождение дроби от числа

1) Сколько километров составляют 3/5 от 40 км?
2) Сколько минут составляют 7/12 часа?
3) Торт из начала урока: сколько кусков составляют 2/3 от 6 кусков?

Показать решение

1) 40 : 5 · 3 = 8 · 3 = 24 км.
2) 60 : 12 · 7 = 5 · 7 = 35 минут.
3) 6 : 3 · 2 = 4 куска, то есть 6 · 2/3 = 4.

x = B : m/n = B : m · nx = B : m/n = B : m · n

где:

xискомое целое
Bизвестная часть целого
m/nm/nдробь, которую составляет эта часть

Чтобы найти число по его дроби, делим известную часть на эту дробь: делим на числитель и умножаем на знаменатель.

Нахождение числа по его дроби

1) 2/5 учеников класса, то есть 12 человек, ходят в шахматный кружок. Сколько учеников в классе?
2) Эльвин проехал 7/10 пути, то есть 21 км. Какова длина всего пути?

Показать решение

1) 12 учеников — это 2 части из 5 равных. Одна часть: 12 : 2 = 6, весь класс: 6 · 5 = 30 учеников. Коротко: 12 : 2/5 = 12 · 5/2 = 30.
Проверка: 2/5 от 30 — это 30 : 5 · 2 = 12.
2) 21 : 7 · 10 = 3 · 10 = 30 км. Проверка: 30 · 7/10 = 21.

Выражения в несколько действий и текстовые задачи

Порядок действий с дробями такой же, как с натуральными числами (см. урок «Натуральные числа и порядок действий»): сначала скобки, затем умножение и деление слева направо, потом сложение и вычитание. Перед умножением и делением переводи смешанные числа в неправильные дроби. В текстовых задачах целое — книгу, бассейн, класс, всю работу — часто принимают за 1.

Выражение в несколько действий

Вычислите: (2/3 + 1/6) · 12/5 − 1/2 : 3/4

Показать решение

1) Скобки: 2/3 + 1/6 = 4/6 + 1/6 = 5/6.
2) Умножение: 5/6 · 12/5 = 1 · 2 = 2 (сократили 5 и 5, 12 и 6).
3) Деление: 1/2 : 3/4 = 1/2 · 4/3 = 4/6 = 2/3.
4) Вычитание: 2 − 2/3 = 6/3 − 2/3 = 4/3 = 1 целая 1/3.

Читаем книгу

В первый день Айсель прочитала 1/3 книги, а во второй — 2/5 книги. Какая часть книги осталась непрочитанной? Сколько это страниц, если в книге 150 страниц?

Показать решение

За два дня прочитано: 1/3 + 2/5 = 5/15 + 6/15 = 11/15 книги.
Вся книга — это 1, осталось: 1 − 11/15 = 15/15 − 11/15 = 4/15.
4/15 от 150 страниц: 150 : 15 · 4 = 10 · 4 = 40 страниц.

Две трубы

Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, а вторая — за 3 часа. За сколько часов наполнят бассейн обе трубы вместе?

Показать решение

Примем весь бассейн за 1. За час первая труба наполняет 1/6 бассейна, а вторая — 1/3.
Вместе за час: 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 бассейна.
Весь бассейн: 1 : 1/2 = 2 часа.
Проверка: за 2 часа первая труба наполнит 2/6 = 1/3, а вторая — 2/3, вместе 1/3 + 2/3 = 1.
Ответ 6 + 3 = 9 часов абсурден: вместе трубы должны справиться быстрее, чем одна более быстрая труба (3 часа).

Проверь себя

1.3/5 + 1/5 =
2.5/6 − 1/4 =
3.3/4 · 8/9 =
4.2/5 : 4/15 =
5.3/8 от 24 =
6.3/4 числа равны 18. Число =

Теперь ты знаешь четыре действия с дробями. На следующем уроке, «Десятичные дроби», ты узнаешь особую запись дробей со знаменателями 10, 100, 1000 — через запятую; умения из этого урока понадобятся там, чтобы переводить обыкновенные дроби в десятичные.

Главное

При одинаковых знаменателях складывают или вычитают числители, а знаменатель не меняется; при разных дроби сначала приводят к НОК. Знаменатели никогда не складывают!
У смешанных чисел целые и дробные части складывают отдельно; при вычитании, если нужно, занимают единицу: 5 целых 1/4 = 4 целых 5/4.
При умножении числитель умножают на числитель, знаменатель — на знаменатель; сначала сокращай «крест-накрест», а смешанные числа переводи в неправильные дроби.
Разделить на дробь — значит умножить на обратную ей дробь: a/b : c/d = a/b · d/c; переворачивают только делитель.
Дробь от числа: A · m/n; число по его дроби: B : m/n. Если принять целое за 1, задачи про книгу, бассейн и работу решаются легко.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12

Как складывают дроби с одинаковыми знаменателями?