Перейти к содержанию
Educora
RU
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Моё обучениеEducora StudioНастройки
Начальный6 класс25 мин10 / 82

Действия с рациональными числами

Сложение чисел с одинаковыми и разными знаками (модель на координатной прямой), вычитание как сложение с противоположным числом, правила знаков при умножении и делении, степени отрицательных чисел — (−a)ⁿ и −aⁿ, законы и порядок действий, выражения в несколько действий и текстовые задачи с отрицательными обыкновенными и десятичными дробями.

Проверь себя
В этом уроке ты узнаешь
  • Складывать рациональные числа с одинаковыми и разными знаками, заменять вычитание сложением с противоположным числом
  • Определять знак произведения и частного, вычислять степени отрицательных чисел и различать (−a)ⁿ и −aⁿ
  • Упрощать вычисления с помощью законов действий и находить значения выражений в несколько действий в правильном порядке
  • Решать текстовые задачи о температуре, глубине и деньгах

В Габале в 7 утра было −5 °C. К полудню температура поднялась на 9 градусов, а вечером опустилась на 6 градусов. На телефонном счёте Эльвина был долг 3 маната (−3 маната); он пополнил счёт на 10 манатов, а потом потратил на звонки 8,5 маната. Какой стала температура вечером и каков теперь баланс Эльвина? Чтобы отвечать на такие вопросы, нужно уметь выполнять четыре действия с положительными и отрицательными числами, возводить в степень и соблюдать порядок действий.

На предыдущем уроке — «Положительные и отрицательные числа. Координатная прямая и модуль» — ты познакомился с координатной прямой, противоположными числами и модулем. Здесь они — основа каждого правила: при сложении модули складывают или вычитают, при вычитании на помощь приходит противоположное число. Действия с дробями ты знаешь по урокам «Действия с обыкновенными дробями» и «Десятичные дроби» — теперь к ним добавляется только знак.

Сложение чисел с одинаковыми и разными знаками

Представь сложение как движение по координатной прямой. Начинаем в точке первого слагаемого. Прибавить положительное число — значит сдвинуться вправо, отрицательное — влево; на сколько единиц сдвигаться, показывает модуль слагаемого. Например, 3 + (−5): из точки 3 сдвигаемся на 5 единиц влево и попадаем в −2.

−6−5−4−3−2−10123456+3−53 + (−5) = −2
Положительное слагаемое — сдвиг вправо, отрицательное — влево. Длина стрелки равна модулю слагаемого.
(−a) + (−b) = −(a + b)
где:
  • a, bположительные числа — модули слагаемых

Чтобы сложить числа с одинаковыми знаками, складывают их модули и ставят общий знак. На прямой мы дважды двигаемся в одну сторону; два долга вместе дают больший долг: (−3) + (−5) = −8.

Слагаемые с одинаковыми знаками

Вычислите: 1) (−3) + (−5); 2) (−2,4) + (−1,6); 3) (−1/3) + (−1/6); 4) −12 + (−7,5).

Показать решение
1) Модули: 3 + 5 = 8, знак «−»: −8.
2) 2,4 + 1,6 = 4, значит, −4.
3) 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2, значит, −1/2.
4) 12 + 7,5 = 19,5, значит, −19,5.

Когда знаки разные, два движения мешают друг другу: сдвиг влево «отменяет» часть пути, пройденного вправо. Результат зависит от того, какое движение длиннее, — «побеждает» слагаемое с большим модулем.

a + (−b) = a − b, если a ≥ b; a + (−b) = −(b − a), если a < b (a, b > 0)
где:
  • aположительное слагаемое
  • −bотрицательное слагаемое; b — его модуль

Чтобы сложить числа с разными знаками, из большего модуля вычитают меньший и ставят знак того слагаемого, модуль которого больше. Сумма противоположных чисел равна нулю: a + (−a) = 0.

  1. 1
    Сравни знаки

    Если знаки одинаковые, переходи к шагу 2, если разные — к шагу 3.

  2. 2
    Одинаковые знаки

    Сложи модули и поставь общий знак: (−4) + (−9) = −13.

  3. 3
    Разные знаки

    Из большего модуля вычти меньший: для (−9) + 4 получаем 9 − 4 = 5.

  4. 4
    Поставь знак

    Возьми знак слагаемого с большим модулем: у −9 модуль больше, ответ −5.

Слагаемые с разными знаками

Вычислите: 1) (−9) + 4; 2) 7,5 + (−10); 3) −3/4 + 5/6; 4) 2,8 + (−2,8).

Показать решение
1) 9 − 4 = 5, модуль больше у −9: −5.
2) 10 − 7,5 = 2,5, модуль больше у −10: −2,5.
3) Общий знаменатель 12: −9/12 + 10/12. 10 − 9 = 1, больший модуль у положительного 10/12: 1/12.
4) Сумма противоположных чисел: 0.

Вычитание — это сложение с противоположным числом

Определение
Разность

Разность чисел a и b — это такое число a − b, которое в сумме с b даёт a: (a − b) + b = a. Значит, вычитание — действие, обратное сложению.

Вычесть 2 из 5 — то же, что прибавить к 5 число −2: 5 − 2 = 5 + (−2) = 3, ведь в обоих случаях мы сдвигаемся от 5 на 2 единицы влево. Эта же идея работает, когда вычитают отрицательное число: 2 − (−6) = 2 + 6 = 8. Проверка по определению: 8 + (−6) = 2. На языке денег: если тебе списали долг в 6 манатов, ты стал на 6 манатов богаче.

a − b = a + (−b)
где:
  • aуменьшаемое
  • bвычитаемое
  • −bчисло, противоположное вычитаемому

Вычитание всегда можно заменить сложением: уменьшаемое не меняется, знак «−» становится «+», а вычитаемое заменяют противоположным числом. В частности: a − (−b) = a + b.

Вычитание

Вычислите: 1) 2 − (−6); 2) −5 − 3; 3) −4 − (−9); 4) −1,2 − 0,8; 5) 1/3 − 5/6.

Показать решение
1) 2 + 6 = 8.
2) −5 + (−3) = −8 (одинаковые знаки).
3) −4 + 9 = 5 (9 − 4 = 5, больший модуль у положительного 9).
4) −1,2 + (−0,8) = −2.
5) 2/6 − 5/6 = 2/6 + (−5/6) = −3/6 = −1/2.

Важное применение вычитания — разность двух величин: разница температур, разница высот, расстояние между двумя точками координатной прямой. На прошлом уроке мы отвечали на такие вопросы, считая единичные отрезки, а теперь можем вычислить это по одной формуле.

AB = |a − b|
где:
  • A(a), B(b)две точки координатной прямой
  • ABрасстояние между ними

Расстояние между двумя точками равно модулю разности их координат. Если из большей координаты вычесть меньшую, модуль не нужен: результат и так положителен.

Разность и расстояние

1) В Баку +6 °C, на Шахдаге −8 °C. Какова разница температур?
2) Найдите расстояние между точками A(−7) и B(−2).
3) Водолаз поднялся с глубины −18 м на палубу лодки, которая находится на 2 м выше уровня воды. На сколько метров он поднялся?

Показать решение
1) 6 − (−8) = 6 + 8 = 14 °C — тот же ответ, что на прошлом уроке мы получили подсчётом единиц.
2) AB = |−2 − (−7)| = |−2 + 7| = |5| = 5.
3) Из конечной высоты вычитаем начальную: 2 − (−18) = 2 + 18 = 20 м.

Умножение и деление: правила знаков

Умножение на положительное число — это повторное сложение: 3 · (−2) = (−2) + (−2) + (−2) = −6: три долга по 2 маната — это долг 6 манатов. А чему равно (−1) · (−2)? Посмотри на закономерность: 3 · (−2) = −6, 2 · (−2) = −4, 1 · (−2) = −2, 0 · (−2) = 0. Каждый раз, когда первый множитель уменьшается на 1, произведение увеличивается на 2. Чтобы закономерность не нарушилась, следующий шаг должен быть (−1) · (−2) = 2. Значит, произведение двух отрицательных чисел положительно.

(−a) · (−b) = a · b; (−a) · b = a · (−b) = −(a · b)
где:
  • a, bмодули множителей (a, b ≥ 0)

Произведение двух чисел с одинаковыми знаками положительно, с разными знаками — отрицательно. Модуль произведения равен произведению модулей множителей. Если один из множителей равен 0, произведение равно 0.

·+−
++−
−−+
Таблица знаков: строка — знак первого множителя, столбец — знак второго. Для деления она такая же.
Умножение

Вычислите: 1) (−4) · (−3); 2) (−2,5) · 4; 3) (−3/4) · (−8/9); 4) (−1) · (−1) · (−1) · 5; 5) (−2) · 5 · (−0,5) · (−1).

Показать решение
1) Одинаковые знаки: 4 · 3 = 12.
2) Разные знаки: 2,5 · 4 = 10, значит, −10.
3) Одинаковые знаки; сначала сокращаем: 3/4 · 8/9 = (1 · 2)/(1 · 3) = 2/3.
4) Слева направо: (−1) · (−1) = 1, 1 · (−1) = −1, (−1) · 5 = −5.
5) (−2) · 5 = −10, (−10) · (−0,5) = 5, 5 · (−1) = −5. Отрицательных множителей три — ответ отрицательный.

Деление — действие, обратное умножению: (−12) : 3 = −4, так как (−4) · 3 = −12. Поэтому знак частного определяют по тому же правилу. А на ноль делить нельзя: никакое число, умноженное на 0, не даст −12.

(−a) : (−b) = a : b; (−a) : b = a : (−b) = −(a : b), b ≠ 0
где:
  • aмодуль делимого
  • bмодуль делителя (не может быть нулём)

Частное чисел с одинаковыми знаками положительно, с разными знаками — отрицательно. При делении 0 на любое отличное от нуля число получается 0.

Деление

Вычислите: 1) (−20) : 5; 2) (−36) : (−4); 3) 1,8 : (−0,6); 4) (−3/5) : (−9/10); 5) 0 : (−7).

Показать решение
1) Разные знаки: 20 : 5 = 4, −4.
2) Одинаковые знаки: 36 : 4 = 9.
3) 1,8 : 0,6 = 18 : 6 = 3; знаки разные: −3.
4) Одинаковые знаки: 3/5 · 10/9 = 30/45 = 2/3.
5) 0.

Степень отрицательного числа: (−a)ⁿ и −aⁿ

Степень — это произведение одинаковых множителей: (−2)³ = (−2) · (−2) · (−2). Здесь три отрицательных множителя, значит, результат отрицательный: −8. А в (−2)⁴ отрицательных множителей четыре, и результат положительный: 16. Скобки очень важны: в записи (−2)⁴ в степень возводят число −2, а в записи −2⁴ — только 2, и потом берут противоположное число: −2⁴ = −(2 · 2 · 2 · 2) = −16.

(−a)ⁿ = aⁿ, если n чётное; (−a)ⁿ = −aⁿ, если n нечётное; −aⁿ = −(aⁿ)
где:
  • aмодуль основания степени
  • nпоказатель степени — натуральное число

Чётная степень отрицательного числа положительна, нечётная — отрицательна. В записи −aⁿ сначала вычисляют степень, а потом берут противоположное число: степень выполняется раньше, чем знак «−» перед ней.

Степени

Вычислите: 1) (−2)⁴ и −2⁴; 2) (−3)³; 3) (−1)¹⁰⁰ и (−1)¹⁰¹; 4) (−0,5)²; 5) (−2/3)³.

Показать решение
1) (−2)⁴ = 16 (четыре отрицательных множителя); −2⁴ = −(2⁴) = −16.
2) (−3)³ = (−3) · (−3) · (−3) = −27.
3) 100 — чётное: (−1)¹⁰⁰ = 1; 101 — нечётное: (−1)¹⁰¹ = −1.
4) (−0,5) · (−0,5) = 0,25.
5) Нечётная степень, знак «−»: 2³/3³ = 8/27, значит, −8/27.

Законы и порядок действий

Законы, известные тебе для натуральных чисел, верны и для всех рациональных чисел. Они сильно упрощают вычисления: можно отдельно сгруппировать положительные и отрицательные числа, поставить рядом числа, дающие в сумме 10, 100 или 0, вынести общий множитель за скобки.

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a · b = b · a; (a · b) · c = a · (b · c); a · (b + c) = a · b + a · c
где:
  • a, b, cлюбые рациональные числа

Переместительный, сочетательный и распределительный законы выполняются и для отрицательных чисел, обыкновенных и десятичных дробей. Для вычитания и деления переместительного закона нет.

Удобные вычисления с помощью законов

Вычислите удобным способом: 1) −17 + 45 + (−23) + 5; 2) (−25) · 7 · (−4); 3) −3,7 · 6 + (−3,7) · 4; 4) (−8) · (1/2 − 3/4).

Показать решение
1) Группируем отрицательные и положительные: (−17 + (−23)) + (45 + 5) = −40 + 50 = 10.
2) Переставляем множители: (−25) · (−4) · 7 = 100 · 7 = 700.
3) Распределительный закон: −3,7 · (6 + 4) = −3,7 · 10 = −37.
4) Раскрываем скобки: (−8) · 1/2 − (−8) · 3/4 = −4 − (−6) = −4 + 6 = 2. Проверка: 1/2 − 3/4 = −1/4 и (−8) · (−1/4) = 2.

Порядок действий тот же, что и для натуральных чисел (см. урок «Натуральные числа и порядок действий»), только на каждом шаге нужно следить за знаком. Отрицательное число, стоящее после знака действия, заключают в скобки: 5 · (−2), а не «5 · −2».

  1. 1
    Скобки

    Сначала выполни действия в скобках, начиная с самых внутренних.

  2. 2
    Степени

    Вычисли степени; не путай (−a)ⁿ и −aⁿ.

  3. 3
    Умножение и деление

    Слева направо; каждый раз сначала найди знак, потом модуль.

  4. 4
    Сложение и вычитание

    Замени каждое вычитание сложением с противоположным числом, затем складывай слева направо или сгруппируй отдельно положительные и отрицательные числа.

Выражения в несколько действий

Вычислите: 1) (−3) · 4 − (−10) : 2 + (−2)²; 2) (−1/2 + 1/3) · (−6) − (−2)³ : 4; 3) −0,5 · (−2,4 + 1,4)² − 3.

Показать решение
1) Степень: (−2)² = 4. Умножение: (−3) · 4 = −12. Деление: (−10) : 2 = −5.
−12 − (−5) + 4 = −12 + 5 + 4 = −3.
2) Скобки: −3/6 + 2/6 = −1/6. Степень: (−2)³ = −8.
(−1/6) · (−6) = 1; (−8) : 4 = −2.
1 − (−2) = 1 + 2 = 3.
3) Скобки: −2,4 + 1,4 = −1. Степень: (−1)² = 1.
−0,5 · 1 = −0,5; −0,5 − 3 = −3,5.
Текстовые задачи

1) Температура из начала урока: утром −5 °C, потом она поднялась на 9 градусов и опустилась на 6 градусов.
2) Счёт Эльвина: было −3 маната, он пополнил счёт на 10 манатов и потратил 8,5 маната.
3) Подводная лодка находилась на глубине −120 м. Она поднялась на 45 м, а затем опустилась на 30 м. На какой глубине она теперь?

Показать решение
1) Подъём — это «+», понижение — «−»: −5 + 9 − 6 = 4 − 6 = −2 °C.
2) −3 + 10 − 8,5 = 7 − 8,5 = −1,5 маната: Эльвин всё ещё должен 1,5 маната.
3) −120 + 45 − 30 = −75 − 30 = −105 м, то есть на 105 м ниже поверхности воды.
Средняя температура

Айсель неделю записывала утреннюю температуру: −3; −5; 0; 2; −1; −4; −3 °C. Найдите среднюю утреннюю температуру за неделю.

Показать решение
Среднее = сумма : количество чисел.
Группируем отрицательные: (−3) + (−5) + (−1) + (−4) + (−3) = −16; остальные: 0 + 2 = 2.
Сумма: −16 + 2 = −14.
Средняя температура: (−14) : 7 = −2 °C.
Интерактив
Загрузка симуляции…
Распредели выражения по знаку их значения. Подсказка: посчитай отрицательные множители, замени вычитание сложением.
Проверь себя
  1. 1.(−7) + 3 =
  2. 2.−6 − (−10) =
  3. 3.(−2,5) · (−4) =
  4. 4.(−48) : 6 =
  5. 5.(−1)¹⁵ =
  6. 6.−5² + (−5)² =

Теперь ты умеешь выполнять четыре действия и возводить в степень любые рациональные числа — целые, обыкновенные и десятичные дроби, положительные и отрицательные. В следующей теме, на уроке «Алгебраические выражения. Одночлены и многочлены», место чисел займут буквы: знак «−» перед скобками, отрицательные коэффициенты и приведение подобных слагаемых опираются именно на правила знаков этого урока.

Главное

  • При сложении чисел с одинаковыми знаками модули складывают и ставят общий знак; при разных знаках из большего модуля вычитают меньший и ставят знак числа с большим модулем.
  • Вычитание — это сложение с противоположным числом: a − b = a + (−b), в частности a − (−b) = a + b. Расстояние между двумя точками равно |a − b|.
  • При умножении и делении одинаковые знаки дают «+», разные — «−»; если отрицательных множителей чётное число, произведение положительно. На ноль делить нельзя.
  • (−a)ⁿ положительно при чётном n и отрицательно при нечётном; −aⁿ = −(aⁿ). Поэтому (−3)² = 9, а −3² = −9.
  • Переместительный, сочетательный и распределительный законы верны и для рациональных чисел; порядок: скобки → степени → умножение и деление → сложение и вычитание.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12
Как заменить вычитание сложением?