- Определять sin, cos и tg в прямоугольном треугольнике
- Знать значения тригонометрических функций для 30°, 45° и 60°
- Вычислять неизвестную сторону или высоту
- Видеть синус и косинус на единичной окружности
Как измерить высоту Девичьей башни в Баку, не поднимаясь на неё? Достаточно встать на некотором расстоянии, измерить угол, под которым видна вершина, и применить тригонометрию. Тригонометрия изучает связь между углами и сторонами треугольника; её каждый день используют в инженерном деле, астрономии и навигации.
Синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике
Возьмём острый угол α прямоугольного треугольника. Катет, лежащий напротив угла, называют противолежащим, а катет, являющийся стороной угла, — прилежащим. Отношения сторон зависят только от угла, а не от размеров треугольника, поэтому у них есть особые названия.
- aпротиволежащий катет — катет напротив угла α
- bприлежащий катет — катет, образующий угол α
- cгипотенуза
Кроме того, tg α = sin α / cos α. Так как гипотенуза — самая длинная сторона, для острого угла 0 < sin α < 1 и 0 < cos α < 1.
Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4, гипотенуза — 5. Найдите синус, косинус и тангенс угла α, лежащего против катета длиной 3.
Показать решениеСкрыть решение
sin α = 3/5 = 0,6
cos α = 4/5 = 0,8
tg α = 3/4 = 0,75
Особые углы
| α | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| sin α | 1/2 | √2/2 | √3/2 |
| cos α | √3/2 | √2/2 | 1/2 |
| tg α | √3/3 | 1 | √3 |
Эльвин стоит в 40 м от башни и видит её вершину под углом 35°. Его глаза находятся на высоте 1,5 м от земли. Какова высота башни? (tg 35° ≈ 0,70)
Показать решениеСкрыть решение
tg 35° = x / 40 ⇒ x = 40 · tg 35° ≈ 40 · 0,70 = 28 м.
Прибавляем высоту глаз: 28 + 1,5 = 29,5 м — это совпадает с известной высотой башни.
Лестница длиной 6 м образует с землёй угол 60°. На какой высоте находится её верхний конец?
Показать решениеСкрыть решение
h = 6 · sin 60° = 6 · √3/2 = 3√3 ≈ 5,2 м.
Основное тождество и единичная окружность
Это тождество следует из теоремы Пифагора. Например, если для острого угла sin α = 0,6, то cos α = √(1 − 0,36) = √0,64 = 0,8.
Окружность с центром в начале координат и радиусом 1 называют единичной окружностью. Точка на ней, повёрнутая на угол α от оси x, имеет координаты (cos α; sin α). Такое определение задаёт синус и косинус любого угла, даже большего 90°: например, cos 120° = −1/2.
Главное
- Синус и косинус — отношение катета к гипотенузе, тангенс — отношение катетов: sin α = a/c, cos α = b/c, tg α = a/b.
- sin 30° = cos 60° = 1/2, sin 45° = cos 45° = √2/2, tg 45° = 1.
- Основное тождество: sin²α + cos²α = 1.
- На единичной окружности точка имеет координаты (cos α; sin α).
Проверь себя
Вопросов: 10. Каждый правильный ответ приносит XP.