Теорема Пифагора

Связь между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника, квадратный корень и применение теоремы в жизни.

В этом уроке ты узнаешь

Различать катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника
Понимать, что такое квадратный корень
Находить неизвестную сторону по теореме Пифагора
Проверять, является ли треугольник прямоугольным

Мурад приставляет к стене лестницу длиной 13 м. Нижний конец лестницы находится в 5 м от стены. На какую высоту достанет верхний конец лестницы? Это можно узнать без измерений, одним расчётом — благодаря теореме Пифагора, которой больше двух тысяч лет.

Прямоугольный треугольник и квадратный корень

Определение

Катеты и гипотенуза

В прямоугольном треугольнике две стороны, образующие прямой угол, называют катетами (a и b), а сторону, лежащую против прямого угла, — гипотенузой (c). Гипотенуза всегда самая длинная сторона.

Определение

Арифметический квадратный корень

√a — неотрицательное число, квадрат которого равен a. Например, √25 = 5, так как 5² = 25; √144 = 12; √2 ≈ 1,41. Из отрицательного числа квадратный корень не извлекают.

Формулировка теоремы

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. На языке геометрии: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

a² + b² = c²

где:

a, bкатеты
cгипотенуза

Отсюда: c = √(a² + b²), a = √(c² − b²).

Интерактив

Загрузка симуляции…

Меняй катеты и убедись, что сумма площадей малых квадратов всегда равна площади большого.

Находим гипотенузу

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите гипотенузу.

Показать решение

c² = a² + b² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
c = √100 = 10 см.

Лестница Мурада

Нижний конец лестницы длиной 13 м стоит в 5 м от стены. На какую высоту достаёт лестница?

Показать решение

Стена, земля и лестница образуют прямоугольный треугольник; лестница — гипотенуза: c = 13, a = 5.
b² = c² − a² = 169 − 25 = 144.
b = √144 = 12 м.

Диагональ футбольного поля

Размеры футбольного поля 105 м и 68 м. Каково расстояние по прямой от одного угла поля до противоположного?

Показать решение

Диагональ делит поле на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой.
d² = 105² + 68² = 11 025 + 4624 = 15 649.
d = √15 649 ≈ 125 м.

Обратная теорема: прямоугольный ли треугольник?

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то треугольник прямоугольный. Тройки натуральных чисел вроде 3, 4, 5 или 5, 12, 13, образующие прямоугольный треугольник, называют пифагоровыми тройками.

Проверим

Являются ли прямоугольными треугольники со сторонами а) 7 см, 24 см, 25 см; б) 6 см, 7 см, 9 см?

Показать решение

Проверяем, взяв наибольшую сторону за гипотенузу.
а) 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25² — да, прямоугольный.
б) 6² + 7² = 36 + 49 = 85, 9² = 81, 85 ≠ 81 — нет.

Главное

В прямоугольном треугольнике: a² + b² = c², где c — гипотенуза.
Гипотенуза — самая длинная сторона, лежащая против прямого угла.
Катет: a = √(c² − b²); гипотенуза: c = √(a² + b²).
Если a² + b² = c², то треугольник прямоугольный (обратная теорема).

Проверь себя

Вопросов: 10. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 10

Как называется сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла?