Углы. Параллельные прямые

Прямое шоссе пересекает железную дорогу наискосок. Рельсы параллельны, дорога пересекает оба рельса, и в местах пересечения образуются восемь углов. Нужно ли инженеру измерять все восемь? Нет — только один. Остальные семь вычисляются по правилам этого урока. Начнём с самого угла, затем изучим углы, которые образуют пересекающиеся и параллельные прямые. На следующем уроке, «Треугольники», эти факты помогут доказать, что сумма углов треугольника равна 180°.

Угол, его измерение и виды

Углы измеряют в градусах. Угол, стороны которого образуют прямую, называют развёрнутым; если разделить его на 180 равных частей, каждая часть равна 1°. Полный оборот — 360°. Для большей точности градус делят на 60 минут: 1° = 60′, например, 37,5° = 37°30′. Угол измеряют транспортиром так:

1. 1
   Центр — в вершину

   Совмести центр транспортира с вершиной угла.

2. 2
   Нулевая линия — по стороне

   Направь нулевую линию транспортира по одной из сторон угла.

3. 3
   Нужная шкала

   Прочитай число, в котором вторая сторона пересекает шкалу, — по той шкале, которая начинается с 0 на первой стороне.

4. 4
   Проверь на глаз

   Если угол на вид острый, ответ должен быть меньше 90°: прочитать 130° вместо 50° — самая частая ошибка.

Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Почему? Каждый из углов ∠1 и ∠3 смежен с ∠2. Поэтому ∠1 = 180° − ∠2 и ∠3 = 180° − ∠2, то есть ∠1 = ∠3. Точно так же ∠2 = ∠4. Значит, из четырёх углов при пересечении двух прямых достаточно знать один: вертикальный ему угол равен ему, а два других смежны с ним.

Почему все четыре угла прямые? Угол, смежный с углом 90°, равен 180° − 90° = 90°, а вертикальные углы равны. Через любую точку плоскости проходит только одна прямая, перпендикулярная данной. Длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, называют расстоянием от точки до прямой — это самый короткий из отрезков, соединяющих точку с точками прямой.

Параллельные прямые и секущая

Прямая, пересекающая две другие прямые, называется секущей. Когда секущая c пересекает прямые a и b, в каждой точке пересечения образуются четыре угла — всего восемь. Углы 3, 4, 5, 6, лежащие между a и b, — внутренние, углы 1, 2, 7, 8 — внешние. Названия пар углов говорят об их расположении:

• Соответственные углы занимают одинаковое положение у каждого пересечения: 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8.
• Накрест лежащие углы — внутренние углы по разные стороны от секущей: 3 и 5, 4 и 6 (внешние накрест лежащие — 1 и 7, 2 и 8).
• Односторонние углы — внутренние углы по одну сторону от секущей: 3 и 6, 4 и 5.

Почему? Параллельные прямые имеют одинаковое направление: если сдвинуть прямую b вдоль c до совпадения с a, «крест» у нижнего пересечения станет точной копией верхнего — поэтому соответственные углы равны. (В курсе геометрии этот факт строго доказывается на основе аксиомы параллельных прямых.) Остальные два свойства следуют отсюда: ∠3 = ∠7 (соответственные) и ∠7 = ∠5 (вертикальные), значит, ∠3 = ∠5. А ∠6 смежен с ∠5, поэтому ∠3 + ∠6 = ∠5 + ∠6 = 180°.

Признаки параллельности прямых

Важен и обратный вопрос: как по углам узнать, что две прямые параллельны? Ведь продолжить прямые до бесконечности и проверить, что они не пересекаются, невозможно. Свойства верны и в обратную сторону — это признаки параллельности прямых.

Доказательство (для накрест лежащих углов). Пусть ∠3 = ∠5. Через точку пересечения a и c проведём прямую a′, параллельную b; по аксиоме параллельных такая прямая единственна. Так как a′ ∥ b, накрест лежащий угол между a′ и c равен ∠5, то есть ∠3. Значит, a и a′ выходят из этой точки по одну сторону от c под одним и тем же углом — они совпадают. Итак, a = a′, то есть a ∥ b. Два других признака сводятся к этому: из равенства соответственных углов через вертикальные углы получаем равенство накрест лежащих, а из суммы односторонних 180° — то же самое через смежные углы.

• Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны: односторонние углы 90° + 90° = 180°.
• Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой: иначе через их общую точку проходили бы две прямые, параллельные третьей, что противоречит аксиоме.

Угол между стрелками часов

Задачи о часах — хорошая тренировка на углы. Циферблат разделён на 12 равных частей по 360° : 12 = 30°. Минутная стрелка делает полный оборот за 60 минут, то есть поворачивается на 360° : 60 = 6° в минуту. Часовая стрелка поворачивается на 30° за час, то есть всего на 30° : 60 = 0,5° в минуту. В момент h:m минутная стрелка повёрнута от 12 на 6m градусов, а часовая — на 30h + 0,5m градусов. Угол между стрелками равен разности этих чисел.