Признаки делимости. Простые и составные числа

Мурад собрал 1236 наклеек. Можно ли поровну разделить их между 3 друзьями? А между 4? Между 5? Можно трижды выполнить деление, но тот, кто знает признаки делимости, ответит за несколько секунд, просто взглянув на цифры: да, да, нет. На этом уроке ты освоишь эти приёмы и, главное, поймёшь, почему они работают.

Этот урок продолжает урок «Натуральные числа и порядок действий»: мы по-прежнему работаем с натуральными числами 1, 2, 3, …, но теперь выясняем, какие из них делятся друг на друга без остатка. Делители, кратные и простые числа — основа следующего урока, «Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное», а затем и сокращения дробей.

Делители и кратные

Делителей у каждого числа конечное число: наименьший — 1, наибольший — само число. Кратных же бесконечно много: 7, 14, 21, 28, …, и наименьшее из них — само число. Делители находятся парами: равенство 36 = 4 · 9 даёт сразу два делителя — 4 и 9.

Делимость суммы и произведения

Числа 35 и 14 делятся на 7: 35 = 7 · 5, 14 = 7 · 2. Тогда 35 + 14 = 7 · 5 + 7 · 2 = 7 · (5 + 2) = 7 · 7, то есть сумма тоже делится на 7. Это видно и на предметах: если обе кучки можно разложить на группы по 7, то и вместе они раскладываются только на группы по 7. То же верно для разности. Если одно слагаемое делится на m, а другое нет, то сумма на m не делится: остаток второго слагаемого ничем не «восполнится».

Признаки делимости и почему они верны

Любое натуральное число можно разбить на число десятков и последнюю цифру: 2385 = 238 · 10 + 5. Число 10 делится на 2, на 5 и на 10, поэтому по правилу для произведения 238 · 10 тоже делится на эти числа. По правилу для суммы делимость всего числа зависит только от последней цифры. Так как 100 = 4 · 25, для делимости на 4 и на 25 та же идея приводит к двум последним цифрам: 3716 = 37 · 100 + 16.

Для делимости на 3 и на 9 последняя цифра ничего не говорит: 12 и 22 оканчиваются одной цифрой, но 12 делится на 3, а 22 — нет. Здесь работает другая идея: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1. Каждая разрядная единица ровно на 1 больше числа, делящегося на 9, поэтому число можно разложить по разрядам и собрать эти «лишние единицы» отдельно.

Простые и составные числа

2 — единственное чётное простое число: у любого другого чётного числа не меньше трёх делителей — 1, 2 и само число. Чтобы проверить, простое ли число, делим его по очереди на простые числа 2, 3, 5, 7, 11, … Перебирать все не нужно: если n = a · b и a ≤ b, то a · a ≤ n. Значит, у составного числа n обязательно есть простой делитель, квадрат которого не больше n.

Есть простой способ найти сразу все небольшие простые числа. Он связан с именем древнегреческого учёного Эратосфена: составные числа как будто «просеивают», а простые остаются. Этот способ называют решетом Эратосфена.

1. 1
   Выпиши числа

   Выпиши числа от 1 до 100 и вычеркни 1: оно не простое.

2. 2
   Оставь 2

   2 — первое простое число: обведи его и вычеркни каждое второе число после него: 4, 6, 8, …

3. 3
   3, 5 и 7

   Первое невычеркнутое число, 3, — простое: обведи его и вычеркни кратные 3. Затем сделай то же с 5 и 7. Кратные p достаточно вычёркивать начиная с p · p: для 7 — с 49, потому что 14, 21, …, 42 уже вычеркнуты.

4. 4
   Остановись

   Следующее простое число — 11, но 11 · 11 = 121 > 100, поэтому работа закончена: все невычеркнутые числа простые. До 100 их 25.

Разложение на простые множители

Составное число можно записать как произведение двух меньших множителей, составные из них — снова разложить и так далее, пока не останутся только простые числа. Получится разложение числа на простые множители. Основная теорема арифметики утверждает, что оно единственно: с чего бы ты ни начал, получатся те же простые множители, возможно, в другом порядке.

Найти разложение удобно двумя способами. В дереве множителей число раскладывают на любые два множителя, а затем продолжают каждую ветку отдельно; на концах веток остаются простые числа. При разложении столбиком проводят вертикальную черту, пишут число слева и каждый раз делят его на наименьший простой делитель: справа собираются простые множители, слева — частные.

1. 1
   Запиши число

   Проведи вертикальную черту и запиши число слева от неё.

2. 2
   Найди наименьший простой делитель

   С помощью признаков делимости проверь 2, 3, 5, 7, … и запиши справа от черты первое простое число, на которое делится число.

3. 3
   Запиши частное ниже

   Запиши результат деления слева, под числом, и повтори шаг 2.

4. 4
   Остановись на 1

   Когда слева получится 1, перемножь простые числа справа и запиши одинаковые множители степенью.

Теперь ты умеешь находить делители, проверять, простое ли число, и раскладывать его на простые множители. На следующем уроке, «Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное», разложение станет главным инструментом: сравнив разложения двух чисел, ты сразу найдёшь их НОД и НОК. Пригодится оно и в уроке «Десятичные дроби».