Перейти к содержанию
Educora
RU
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Моё обучениеEducora StudioНастройки
Продвинутый9 класс25 мин40 / 82

Квадратные неравенства и метод интервалов

Решение квадратных неравенств с помощью эскиза параболы (D > 0, D = 0, D < 0), метод интервалов для произведений и частных, множители чётной степени, дробно-рациональные неравенства, системы линейных и квадратных неравенств, область определения выражений с корнями и дробями.

Проверь себя
В этом уроке ты узнаешь
  • Решать квадратные неравенства с помощью эскиза параболы во всех трёх случаях дискриминанта
  • Применять метод интервалов к произведениям и частным, в том числе с множителями чётной степени
  • Правильно решать дробно-рациональные неравенства, не умножая на знаменатель
  • Решать системы линейных и квадратных неравенств и находить область определения выражений с корнями и дробями

Мяч бросили вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Через t секунд его высота примерно равна h = 20t − 5t² метров. Когда мяч находится выше 15 м? Нужно решить неравенство 20t − 5t² > 15. Делим на −5 (знак меняется): t² − 4t + 3 < 0, то есть (t − 1)(t − 3) < 0. Мяч выше 15 м между t = 1 и t = 3 секундами, то есть 2 секунды. На этом уроке вы научитесь решать такие неравенства в несколько строк.

Из прошлых уроков понадобятся три вещи: решение линейных неравенств и запись промежутков («Линейные неравенства и их системы»), нахождение корней через дискриминант и разложение ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) («Квадратные уравнения»), а также форма параболы («Квадратичная функция и её график»).

Квадратное неравенство и парабола

Определение
Квадратное неравенство

Неравенство вида ax² + bx + c > 0 (или < 0, ≥ 0, ≤ 0), где a ≠ 0. Решить его — значит найти все x, при которых квадратный трёхчлен ax² + bx + c имеет нужный знак.

Значение ax² + bx + c — это высота параболы y = ax² + bx + c в точке x. Значит, трёхчлен положителен там, где парабола лежит выше оси x, и отрицателен там, где она ниже. Точный график для этого не нужен, достаточно двух фактов: куда направлены ветви (знак a) и где парабола пересекает ось (корни, найденные через дискриминант D = b² − 4ac).

При a > 0ax² + bx + c > 0ax² + bx + c < 0
D > 0: два корня x₁ < x₂, парабола пересекает осьx < x₁ или x > x₂x₁ < x < x₂
D = 0: один корень x₀, парабола касается осивсе x ≠ x₀решений нет
D < 0: корней нет, вся парабола выше осилюбое xрешений нет
Если a < 0, умножьте неравенство на −1 (поменяв знак) и пользуйтесь этой таблицей. При ≥ и ≤ добавьте корни: например, при D = 0 неравенство ax² + bx + c ≥ 0 верно при всех x, а ax² + bx + c ≤ 0 — только при x = x₀.
a > 0, x₁ < x₂: a(x − x₁)(x − x₂) > 0 ⇔ x < x₁ или x > x₂; a(x − x₁)(x − x₂) < 0 ⇔ x₁ < x < x₂
где:
  • x₁, x₂корни квадратного трёхчлена
  • aстарший коэффициент (коэффициент при x²)

Почему: при x > x₂ обе скобки положительны; между корнями x − x₁ > 0, но x − x₂ < 0; при x < x₁ обе отрицательны, и произведение снова положительно. Запомните для a > 0: «между корнями минус, снаружи плюс».

  1. 1
    Сделай a > 0

    Перенеси всё влево, чтобы справа остался 0. Если a < 0, умножь на −1 и поменяй знак.

  2. 2
    Найди корни

    Реши уравнение ax² + bx + c = 0 (через дискриминант, по теореме Виета или разложением на множители).

  3. 3
    Сделай эскиз

    Нарисуй ось x, отметь корни и проведи через них параболу ветвями вверх. Координаты и вершина не нужны.

  4. 4
    Прочитай ответ

    Для > 0 возьми участки выше оси, для < 0 — ниже. При ≥ и ≤ включи и корни (закрашенные точки).

Два корня: D > 0

Решите: 1) x² − 2x − 3 > 0; 2) −x² + 5x − 6 ≥ 0; 3) 2x² − x − 1 ≤ 0; 4) x² > 5x.

Показать решение
1) D = 4 + 12 = 16, x = (2 ± 4)/2, то есть x₁ = −1, x₂ = 3. a = 1 > 0, нужно «> 0» — вне корней: (−∞; −1) ∪ (3; +∞).
2) Умножаем на −1 и меняем знак: x² − 5x + 6 ≤ 0. Корни 2 и 3 (2 + 3 = 5, 2 · 3 = 6). Между корнями, вместе с корнями: [2; 3].
3) D = 1 + 8 = 9, x = (1 ± 3)/4, то есть x₁ = −1/2, x₂ = 1. Между корнями, вместе с корнями: [−1/2; 1].
4) Делить на x нельзя! x² − 5x > 0 ⇒ x(x − 5) > 0, корни 0 и 5, вне корней: (−∞; 0) ∪ (5; +∞).
Один корень или ни одного: D = 0, D < 0

Решите: 1) x² − 6x + 9 > 0; 2) x² − 6x + 9 ≤ 0; 3) x² + 2x + 5 > 0; 4) x² + 2x + 5 < 0; 5) −x² + 4x − 4 ≥ 0.

Показать решение
1) x² − 6x + 9 = (x − 3)², D = 0. Квадрат положителен везде, кроме x = 3: (−∞; 3) ∪ (3; +∞).
2) (x − 3)² ≤ 0 возможно, только если (x − 3)² = 0: x = 3.
3) D = 4 − 20 = −16 < 0 и a = 1 > 0: вся парабола выше оси, неравенство верно при любом x.
4) Тот же трёхчлен, но «< 0»: решений нет.
5) Умножаем на −1: x² − 4x + 4 ≤ 0, то есть (x − 2)² ≤ 0: x = 2.
Интерактив
Загрузка симуляции…
Сначала y = x² − 2x − 3 = (x + 1)(x − 3): график выше оси при x < −1 и x > 3 — это решение неравенства x² − 2x − 3 > 0. Поставь c = 1: y = (x − 1)², парабола касается оси (D = 0). Увеличь c ещё: парабола отрывается от оси (D < 0), и трёхчлен положителен везде. Сделай a отрицательным и посмотри, как знаки меняются местами.

Метод интервалов

Эскиз параболы удобен для квадратного трёхчлена. Для произведения нескольких множителей, например (x + 3)(x − 1)(x − 4), применяют метод интервалов. Множитель x − a отрицателен левее a и положителен правее. Поэтому знак всего произведения может меняться только в нулях множителей, а между соседними нулями он постоянен. Достаточно один раз определить знак на каждом интервале.

f(x) = (x − x₁)(x − x₂)…(x − xₙ), x₁ < x₂ < … < xₙ: на (xₙ; +∞) f(x) > 0, при переходе через каждый нуль знак меняется
где:
  • x₁, …, xₙразличные нули множителей в порядке возрастания
  • f(x)произведение линейных множителей

Правее наибольшего нуля все скобки положительны, поэтому и произведение положительно; при переходе через нуль меняет знак ровно одна скобка. Это верно, когда все множители имеют вид (x − a), то есть коэффициент при x положителен.

  1. 1
    Справа 0, слева множители

    Перенеси всё в одну часть и разложи на множители. Каждый множитель запиши в виде (x − a): замени (a − x) на −(x − a) и поменяй знак.

  2. 2
    Найди нули

    Найди нули числителя и знаменателя. Нули знаменателя никогда не входят в ответ.

  3. 3
    Отметь их на прямой

    Отметь нули в порядке возрастания: при ≤ и ≥ нули числителя закрашены, остальные выколоты.

  4. 4
    Расставь знаки

    В крайний правый интервал поставь «+», затем чередуй знаки справа налево; в нуле множителя чётной степени знак сохраняй.

  5. 5
    Запиши ответ

    Объедини интервалы с нужным знаком с помощью ∪.

Произведения

Решите: 1) (x + 3)(x − 1)(x − 4) < 0; 2) x³ − 4x ≥ 0; 3) (2 − x)(x + 5) > 0.

Показать решение
1) Нули: −3, 1, 4. Знаки справа налево: (4; +∞) «+», (1; 4) «−», (−3; 1) «+», (−∞; −3) «−». Нужен «−»: (−∞; −3) ∪ (1; 4).
2) x³ − 4x = x(x² − 4) = x(x − 2)(x + 2). Нули −2, 0, 2; знаки справа: +, −, +, −. Нужен «+» и нули: [−2; 0] ∪ [2; +∞).
3) 2 − x = −(x − 2), поэтому −(x − 2)(x + 5) > 0 ⇒ (x − 2)(x + 5) < 0 (умножили на −1 и поменяли знак). Нули −5 и 2, нужен «−»: (−5; 2). Проверка: при x = 0 (2 − 0)(0 + 5) = 10 > 0 — верно.

Кратные множители: чётные и нечётные степени

В выражении (x − 3)²(x + 1) множитель (x − 3) повторяется дважды. Квадрат никогда не бывает отрицательным, поэтому (x − 3)² не меняет знак в точке x = 3 — там он просто обращается в нуль. Правило: при переходе через нуль множителя чётной степени (2, 4, …) знак сохраняется, а нечётной степени (1, 3, …) — меняется.

(x − a)ⁿ: n чётное ⇒ в точке a знак не меняется; n нечётное ⇒ в точке a знак меняется
где:
  • nстепень множителя (сколько раз он повторяется)
  • aнуль множителя

Правило действует и для нулей знаменателя: множитель (x − 2)² в знаменателе не меняет знак в точке 2, но 2 всё равно не входит в ответ.

Множители чётной степени

Решите: 1) (x − 3)²(x + 1) > 0; 2) (x − 3)²(x + 1) ≥ 0; 3) (x − 3)²(x + 1) < 0; 4) (x + 2)³(x − 5)⁴ ≤ 0.

Показать решение
Нули первых трёх: −1 (нечётная степень) и 3 (чётная степень). Знаки справа: (3; +∞) «+»; в точке 3 знак сохраняется, (−1; 3) «+»; в −1 меняется, (−∞; −1) «−».
1) «+» без нулей: (−1; 3) ∪ (3; +∞) — точку 3 выкалываем, ведь там произведение равно 0.
2) «+» и нули: [−1; 3] ∪ [3; +∞) = [−1; +∞).
3) «−»: (−∞; −1).
4) Нули −2 (степень 3, нечётная) и 5 (степень 4, чётная). Знаки: (5; +∞) «+», (−2; 5) «+», (−∞; −2) «−». Нужен «−» или 0: (−∞; −2] ∪ {5} — изолированную точку 5 очень легко потерять!

Дробно-рациональные неравенства

Частное f/g имеет тот же знак, что и произведение f · g, ведь деление и умножение подчиняются одинаковым правилам знаков. Поэтому дробное неравенство тоже решают методом интервалов — с одним дополнительным условием: знаменатель не может быть равен нулю. Никогда нельзя умножать обе части на знаменатель, содержащий x: неизвестно, положителен он или отрицателен, а значит, неизвестно, нужно ли менять знак.

f(x)/g(x) > 0 ⇔ f(x) · g(x) > 0; f(x)/g(x) ≥ 0 ⇔ f(x) · g(x) ≥ 0 и g(x) ≠ 0f(x)/g(x) > 0 ⇔ f(x) · g(x) > 0; f(x)/g(x) ≥ 0 ⇔ f(x) · g(x) ≥ 0 и g(x) ≠ 0
где:
  • f(x)числитель
  • g(x)знаменатель, g(x) ≠ 0

Сначала приведите неравенство к виду «дробь ∨ 0»: перенесите всё влево и соберите в одну дробь. Затем примените метод интервалов к нулям числителя и знаменателя.

Дробные неравенства

Решите: 1) (x + 2)(x − 1)/(x − 4) ≤ 0; 2) 1/x < 2; 3) (x + 3)/(x − 2) ≥ 1; 4) (x − 1)²/(x + 3) ≤ 0.

Показать решение
1) Нули: −2 и 1 (числитель, входят, так как знак ≤) и 4 (знаменатель, всегда выкалывается). Знаки справа: +, −, +, −. Проверка: при x = 0 (2 · (−1))/(−4) = 1/2 > 0 — на (−2; 1) действительно «+». Ответ: (−∞; −2] ∪ [1; 4).
2) 1/x − 2 < 0 ⇒ (1 − 2x)/x < 0. Умножаем на −1: (2x − 1)/x > 0. Нули 0 и 1/2, нужен «+»: (−∞; 0) ∪ (1/2; +∞).
3) (x + 3)/(x − 2) − 1 ≥ 0 ⇒ (x + 3 − x + 2)/(x − 2) ≥ 0 ⇒ 5/(x − 2) ≥ 0. Числитель 5 положителен, значит, x − 2 > 0: (2; +∞).
4) Числитель (x − 1)² не бывает отрицательным, знаменатель равен нулю при −3. Знаки: (1; +∞) «+», (−3; 1) «+» (в точке 1 чётная степень), (−∞; −3) «−». Нужен «−» или 0: (−∞; −3) ∪ {1}.

Системы и область определения

В системе из линейных и квадратных неравенств решите каждое неравенство отдельно, изобразите все ответы над одной числовой прямой и возьмите участок, где они все накладываются, — точно так же, как в линейных системах.

Смешанные системы

Решите: 1) {x² − 5x + 4 ≤ 0; 2x − 5 > 0}; 2) {x² − x − 6 < 0; x² ≥ 1} и найдите число целых решений.

Показать решение
1) x² − 5x + 4 ≤ 0: корни 1 и 4, между ними: [1; 4]. 2x − 5 > 0: x > 5/2. Пересечение: (5/2; 4] (целые решения 3 и 4).
2) x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2) < 0: (−2; 3). x² ≥ 1: x ≤ −1 или x ≥ 1. Общая часть: (−2; −1] ∪ [1; 3). Целые решения: −1, 1, 2 — всего 3.
Определение
Область определения

Область определения выражения — множество всех значений x, при которых оно имеет смысл (может быть вычислено). Для выражений с корнями и дробями область определения находят, решая неравенства.

√A ⇒ A ≥ 0; деление на B ⇒ B ≠ 0; A/√C ⇒ C > 0√A ⇒ A ≥ 0; деление на B ⇒ B ≠ 0; A/√C ⇒ C > 0
где:
  • Aподкоренное выражение квадратного корня
  • Bзнаменатель
  • Cвыражение под корнем в знаменателе: и ≥ 0, и ≠ 0, то есть > 0

Запишите по условию для каждого корня и каждого знаменателя и решите их вместе как систему.

Находим область определения

Найдите область определения: 1) y = √(6 − 2x); 2) y = √(x² − 4x − 5); 3) y = 1/√(12 + x − x²); 4) y = √(x + 3)/(x² − 4); 5) y = √((x − 2)/(x + 4)).

Показать решение
1) 6 − 2x ≥ 0 ⇒ x ≤ 3: (−∞; 3].
2) x² − 4x − 5 = (x − 5)(x + 1) ≥ 0 ⇒ (−∞; −1] ∪ [5; +∞).
3) 12 + x − x² > 0 ⇒ x² − x − 12 < 0 ⇒ (x − 4)(x + 3) < 0 ⇒ (−3; 4).
4) x + 3 ≥ 0 и x² − 4 ≠ 0: x ≥ −3, x ≠ −2, x ≠ 2 ⇒ [−3; −2) ∪ (−2; 2) ∪ (2; +∞).
5) (x − 2)/(x + 4) ≥ 0: нули −4 (знаменатель) и 2 (числитель); «+» снаружи: (−∞; −4) ∪ [2; +∞).
Проверь себя: заполни пропуск
  1. 1.x² − 16 < 0 ⇒ < x < 4
  2. 2.(x − 1)(x − 7) ≤ 0 ⇒ 1 ≤ x ≤
  3. 3.x² − 10x + 25 ≤ 0 ⇒ x =
  4. 4.(x + 3)/(x − 6) < 0 ⇒ −3 < x <
  5. 5.Область определения y = √(8 − 2x): x ≤
  6. 6.Число целых решений неравенства x² − 4x − 5 < 0:

Главное

  • При a > 0 трёхчлен ax² + bx + c отрицателен между корнями и положителен вне их; если a < 0, сначала умножьте на −1 и поменяйте знак.
  • D = 0: (x − x₀)² > 0 при всех x ≠ x₀, а ≤ 0 только при x₀; D < 0 и a > 0: трёхчлен положителен при любом x.
  • Метод интервалов: нули по возрастанию, справа «+», затем чередование; в нуле множителя чётной степени знак сохраняется.
  • Никогда не умножайте на знаменатель с x: приводите неравенство к виду «дробь ∨ 0»; нули знаменателя всегда выкалываются.
  • Область определения: подкоренное выражение ≥ 0, знаменатель ≠ 0, выражение под корнем в знаменателе > 0 — условия решают вместе как систему.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12
Где отрицателен трёхчлен ax² + bx + c при a > 0 и D > 0?