Перейти к содержанию
Educora
RU
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Моё обучениеEducora StudioНастройки
Продвинутый8 класс22 мин38 / 82

Линейные неравенства и их системы

Свойства неравенств, числовые промежутки и их обозначения, решение линейных неравенств, системы и двойные неравенства, подсчёт целых решений, простейшие неравенства с модулем, задачи о тарифах и бюджете.

Проверь себя
В этом уроке ты узнаешь
  • Записывать множество решений в виде промежутка и изображать его на числовой прямой
  • Применять свойства неравенств (в том числе менять знак при умножении на отрицательное число) и оценивать сумму, разность и произведение
  • Решать линейные неравенства, их системы и двойные неравенства, находить число целых решений
  • Решать неравенства |x − a| < b и |x − a| > b и составлять неравенства в задачах о тарифах и бюджете

Мобильный тариф: абонентская плата 5 манатов в месяц и 0,1 маната за каждую минуту разговора. Лейла не хочет тратить больше 12 манатов в месяц. Сколько она может говорить? Если x — число минут, то 5 + 0,1x ≤ 12, значит, 0,1x ≤ 7 и x ≤ 70. Ответ — не одно число, а целое множество: любое время от 0 до 70 минут. Вопросы со словами «не больше», «не меньше», «не более чем», «дешевле» приводят к неравенствам.

На уроке «Линейные уравнения» вы переносили слагаемые через знак равенства и делили на коэффициент при x. Линейные неравенства решаются почти так же — с одним важным отличием, о котором и пойдёт речь. Следующий урок, «Квадратные неравенства и метод интервалов», опирается на всё, что вы узнаете здесь.

Неравенство, его решения и числовые промежутки

Определение
Решение неравенства

Решение неравенства с переменной — значение переменной, при котором оно обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство — значит найти все его решения (множество решений) или доказать, что их нет. Неравенства с одинаковыми множествами решений называются равносильными.

Знаки < и > дают строгие неравенства, а ≤ («меньше или равно») и ≥ («больше или равно») — нестрогие. Например, x = 3 — решение неравенства x ≤ 3, но не решение неравенства x < 3. Решения линейного неравенства заполняют целый участок числовой прямой, поэтому их записывают в виде числовых промежутков.

НеравенствоОбозначениеНазваниеНа числовой прямой
a < x < b(a; b)интервалоба конца — выколотые точки
a ≤ x ≤ b[a; b]отрезокоба конца — закрашенные точки
a ≤ x < b[a; b)полуинтервалa закрашена, b выколота
x > a(a; +∞)открытый лучa выколота, штриховка вправо
x ≥ a[a; +∞)лучa закрашена, штриховка вправо
x ≤ a(−∞; a]лучa закрашена, штриховка влево
Квадратная скобка означает, что конец входит в промежуток, круглая — что не входит. Рядом с ∞ всегда круглая скобка: бесконечность — не число. Вся числовая прямая — это (−∞; +∞), пустое множество обозначают ∅.
Читаем и записываем промежутки

1) Запишите в виде промежутков: а) −2 < x ≤ 5; б) x ≥ −1; в) x < 4.
2) Запишите в виде неравенств: [0; 3) и (−∞; −2].
3) Какие целые числа принадлежат промежутку (−2; 3]? Принадлежат ли ему −2 и 3?

Показать решение
1) а) (−2; 5] — −2 не входит (круглая скобка), 5 входит (квадратная скобка); б) [−1; +∞); в) (−∞; 4).
2) [0; 3) ⇔ 0 ≤ x < 3; (−∞; −2] ⇔ x ≤ −2.
3) −2 не принадлежит, 3 принадлежит. Целые числа: −1, 0, 1, 2, 3 — всего 5 чисел.

Свойства неравенств

Откуда берутся правила? По определению a > b означает, что разность a − b положительна. Все свойства ниже следуют из этой одной идеи: если прибавить к a и b одно и то же число c, разность не изменится; если умножить на c, разность тоже умножится на c, а произведение c(a − b) сохраняет знак только при c > 0. При c < 0 произведение меняет знак — именно поэтому и меняется знак неравенства.

a < b ⇒ a + c < b + c; c > 0: ac < bc; c < 0: ac > bc
где:
  • a, bчасти неравенства
  • cчисло, которое прибавляют к обеим частям или на которое их умножают

Прибавление (вычитание) одного и того же числа и умножение (деление) на положительное число сохраняют знак. При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Применяем свойства

Известно, что a < b. Сравните: 1) a − 7 и b − 7; 2) 5a и 5b; 3) −2a и −2b; 4) 3 − a и 3 − b.

Показать решение
1) Вычитаем 7 из обеих частей: a − 7 < b − 7.
2) Умножаем на 5 > 0, знак сохраняется: 5a < 5b.
3) Умножаем на −2 < 0, знак меняется: −2a > −2b.
4) Сначала умножаем на −1: −a > −b, затем прибавляем 3: 3 − a > 3 − b.
Проверка: при a = 1, b = 4 получаем 3 − 1 = 2 и 3 − 4 = −1, и действительно 2 > −1.
a < b и c < d ⇒ a + c < b + d; при положительных a, b, c, d: ac < bd
где:
  • a < b, c < dдва неравенства одного знака (одного смысла)

Неравенства одного смысла можно почленно складывать, а с положительными частями — почленно перемножать. Почленно вычитать и делить нельзя: чтобы оценить a − b, сначала переходят от b к −b, а затем складывают.

Оценка суммы, разности и произведения

Известно, что 3 < x < 5 и 1 < y < 2. Оцените: 1) x + y; 2) x − y; 3) xy; 4) периметр P = 2(x + y) прямоугольника со сторонами x и y.

Показать решение
1) Складываем почленно: 3 + 1 < x + y < 5 + 2, то есть 4 < x + y < 7.
2) Сначала умножаем 1 < y < 2 на −1: −2 < −y < −1. Теперь складываем: 3 − 2 < x − y < 5 − 1, то есть 1 < x − y < 4.
3) Все части положительны, перемножаем почленно: 3 · 1 < xy < 5 · 2, то есть 3 < xy < 10.
4) Умножаем 4 < x + y < 7 на 2: 8 < P < 14.

Решение линейных неравенств. Задачи о тарифах и бюджете

Определение
Линейное неравенство

Неравенство вида ax > b (или ax < b, ax ≥ b, ax ≤ b), где a и b — числа, а x — переменная. К такому виду сводится любое неравенство, в котором x входит только в первой степени и не стоит в знаменателе.

  1. 1
    Раскрой скобки, избавься от дробей

    Если есть дроби, умножь обе части на положительный общий знаменатель — знак не меняется.

  2. 2
    Перенеси слагаемые

    Слагаемые с x перенеси в одну часть, числа — в другую, меняя их знаки.

  3. 3
    Приведи подобные

    Получи неравенство вида ax > b (или с другим знаком).

  4. 4
    Раздели на коэффициент

    Раздели на a. Если a < 0, поменяй знак!

  5. 5
    Запиши и проверь

    Запиши ответ промежутком; проверь в исходном неравенстве одно число из него и одно число вне его.

ax > b: при a > 0 x > b/a; при a < 0 x < b/a; при a = 0: x — любое число, если b < 0, и решений нет, если b ≥ 0ax > b: при a > 0 x > b/a; при a < 0 x < b/a; при a = 0: x — любое число, если b < 0, и решений нет, если b ≥ 0
где:
  • aкоэффициент при x
  • bсвободный член (число в правой части)
  • b/ab/aграничная точка — корень уравнения ax = b

При a = 0 неравенство принимает вид 0 · x > b — это числовое неравенство, не зависящее от x: оно верно либо при всех x, либо ни при одном.

Линейные неравенства

Решите неравенство: 1) 3(x − 2) − 5 ≤ 9 − x; 2) −2x + 7 > 1; 3) (x − 1)/2 − (x + 3)/3 < 1.

Показать решение
1) Раскрываем скобки: 3x − 6 − 5 ≤ 9 − x, то есть 3x − 11 ≤ 9 − x.
Переносим слагаемые: 3x + x ≤ 9 + 11, 4x ≤ 20, x ≤ 5. Ответ: (−∞; 5].
2) −2x > 1 − 7, −2x > −6. Делим на −2 и меняем знак: x < 3. Ответ: (−∞; 3).
3) Умножаем обе части на 6 (положительное число, знак сохраняется): 3(x − 1) − 2(x + 3) < 6.
3x − 3 − 2x − 6 < 6, x − 9 < 6, x < 15. Ответ: (−∞; 15); наибольшее целое решение — 14.
Особые случаи и наибольшее целое решение

1) 2(x + 3) > 2x + 1; 2) 3x − 4 ≥ 3(x + 1); 3) найдите наибольшее целое решение неравенства 5 − 3x ≥ 2x − 12.

Показать решение
1) 2x + 6 > 2x + 1 ⇒ 0 · x > −5, то есть 0 > −5 — верно при любом x. Ответ: x — любое число, (−∞; +∞).
2) 3x − 4 ≥ 3x + 3 ⇒ 0 · x ≥ 7 — неверно ни при каком x. Ответ: решений нет (∅).
3) 5 + 12 ≥ 2x + 3x ⇒ 17 ≥ 5x ⇒ x ≤ 3,4. Наибольшее целое число, не превосходящее 3,4, — это 3.

Чтобы перевести текстовую задачу на язык неравенств, обозначьте неизвестное, выразите через него обе части и выберите знак по словам: «не больше» ⇒ ≤, «не меньше» ⇒ ≥, «дешевле» ⇒ <. После решения оставьте только имеющие смысл значения: число минут, людей или тетрадей не может быть отрицательным, а тетради считаются только целыми числами.

Сравнение двух тарифов

Тариф A: 8 манатов в месяц и 0,05 маната за минуту. Тариф B: 2 маната в месяц и 0,15 маната за минуту. При каком числе минут разговора в месяц тариф A обойдётся Мураду дешевле?

Показать решение
Пусть x — число минут. Тариф A стоит 8 + 0,05x, тариф B — 2 + 0,15x.
A дешевле: 8 + 0,05x < 2 + 0,15x.
8 − 2 < 0,15x − 0,05x ⇒ 6 < 0,1x ⇒ x > 60.
Ответ: тариф A дешевле, если Мурад говорит больше 60 минут в месяц; ровно при 60 минутах оба стоят 11 манатов.
Бюджет

У Айсель 50 манатов. Она покупает сумку за 20 манатов, а остальное хочет потратить на тетради по 3,5 маната. Какое наибольшее число тетрадей она может купить?

Показать решение
Пусть она купит n тетрадей: 20 + 3,5n ≤ 50 ⇒ 3,5n ≤ 30 ⇒ n ≤ 60/7 ≈ 8,6.
n — целое число, поэтому не больше 8 тетрадей.
Проверка: с 8 тетрадями выходит 20 + 28 = 48 манатов, а с 9 было бы 51,5 маната.

Системы и двойные неравенства

Определение
Система неравенств

Несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно (записываются с фигурной скобкой { ). Решение системы удовлетворяет каждому неравенству, поэтому множество решений системы — пересечение множеств их решений: участок числовой прямой, где накладываются все штриховки.

a < b: {x > a; x > b} ⇔ x > b; {x < a; x < b} ⇔ x < a; {x > a; x < b} ⇔ a < x < b; {x < a; x > b} — решений нет
где:
  • a, bдве граничные точки, a < b

«Больше обоих» — больше большего; «меньше обоих» — меньше меньшего; «между» — интервал; если штриховки направлены в разные стороны друг от друга, решений нет.

Системы неравенств

Решите системы и найдите число их целых решений:
1) {2x − 1 > 3; 3x − 4 ≤ 11}
2) {x − 3 > 1; 2x < 6}
3) {3 − x < 5; 4x + 1 ≤ 13; x + 5 > 0}

Показать решение
1) 2x > 4 ⇒ x > 2; 3x ≤ 15 ⇒ x ≤ 5. Пересечение: (2; 5]. Целые решения: 3, 4, 5 — всего 3.
2) x > 4 и x < 3: ни одно число не может быть одновременно больше 4 и меньше 3. Ответ: решений нет.
3) −x < 2 ⇒ x > −2; 4x ≤ 12 ⇒ x ≤ 3; x > −5. «Больше −2 и больше −5» — значит, x > −2, поэтому (−2; 3]. Целые решения: −1, 0, 1, 2, 3 — всего 5.

Двойное неравенство m < ax + b < n — краткая запись системы из двух неравенств. Его можно решать, не разбивая на части: каждое действие выполняют сразу над всеми тремя частями. При делении на отрицательное число меняются оба знака, а результат для удобства переписывают от меньшего числа к большему.

Двойные неравенства

1) −1 ≤ 2x + 3 < 9; 2) −3 < 1 − 2x ≤ 5 (найдите также сумму целых решений).

Показать решение
1) Вычитаем 3 из каждой части: −4 ≤ 2x < 6. Делим каждую часть на 2: −2 ≤ x < 3, то есть x ∈ [−2; 3).
2) Вычитаем 1 из каждой части: −4 < −2x ≤ 4. Делим на −2 и меняем оба знака: 2 > x ≥ −2, то есть −2 ≤ x < 2, x ∈ [−2; 2). Целые решения: −2, −1, 0, 1; их сумма равна −2.
Средний балл: двойное неравенство

За первые три теста Эльвин получил 78, 90 и 82 балла. Каким должен быть четвёртый результат, чтобы средний балл за четыре теста был не меньше 85 (максимум — 100 баллов)?

Показать решение
(78 + 90 + 82 + x)/4 ≥ 85 ⇒ 250 + x ≥ 340 ⇒ x ≥ 90.
Балл не может быть больше 100, поэтому получаем систему {x ≥ 90; x ≤ 100}, то есть 90 ≤ x ≤ 100.

Простейшие неравенства с модулем

Вспомните урок «Положительные и отрицательные числа»: |x| — это расстояние от x до 0 на числовой прямой. Точно так же |x − a| — расстояние между точками x и a. Значит, |x − 3| < 2 спрашивает: какие точки находятся от точки 3 ближе чем на 2? Они заполняют интервал от 3 − 2 = 1 до 3 + 2 = 5. А |x − 3| > 2 спрашивает о точках, удалённых от 3 больше чем на 2: они лежат левее 1 и правее 5.

|x − a| < b ⇔ a − b < x < a + b; |x − a| > b ⇔ x < a − b или x > a + b (b > 0)
где:
  • |x − a|расстояние между x и a на числовой прямой
  • aцентр — точка, от которой отсчитывают расстояние
  • bдопустимое расстояние, b > 0

«Меньше» даёт один интервал вокруг a (как система), «больше» — два луча вне его (слово «или», объединение ∪). При ≤ и ≥ концы a ± b входят в ответ. Если b < 0, то неравенство |x − a| < b не имеет решений, а |x − a| > b верно при любом x, ведь расстояние не бывает отрицательным.

Неравенства с модулем

Решите: 1) |x − 3| < 2; 2) |x + 1| ≥ 4; 3) |2x − 1| ≤ 5; 4) |x − 4| < −1; 5) сколько целых решений имеет неравенство |x − 2| ≤ 3?

Показать решение
1) Центр 3, расстояние 2: 1 < x < 5, то есть (1; 5).
2) |x + 1| = |x − (−1)|: центр −1, расстояние 4. x ≤ −1 − 4 = −5 или x ≥ −1 + 4 = 3: (−∞; −5] ∪ [3; +∞).
3) −5 ≤ 2x − 1 ≤ 5 ⇒ −4 ≤ 2x ≤ 6 ⇒ −2 ≤ x ≤ 3, то есть [−2; 3].
4) Модуль никогда не бывает отрицательным, поэтому не может быть меньше −1: решений нет.
5) −3 ≤ x − 2 ≤ 3 ⇒ −1 ≤ x ≤ 5; целые числа от −1 до 5: 5 − (−1) + 1 = 7.
Интерактив
Загрузка симуляции…
График в форме буквы V — это y = |x − a|, горизонтальная прямая — y = b. Где «галочка» ниже прямой, там |x − a| < b; где выше — там |x − a| > b. Сначала a = 3 и b = 2: график ниже прямой между x = 1 и x = 5. Опусти b ниже нуля и посмотри, почему тогда у неравенства |x − a| < b нет решений.

Главное

  • При умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный; прибавление числа и умножение на положительное число знак сохраняют.
  • Квадратная скобка включает конец, круглая — нет; рядом с ∞ всегда круглая скобка.
  • При a = 0 неравенство 0 · x > b верно либо при всех x, либо ни при одном.
  • Решение системы — пересечение множеств решений; в двойном неравенстве каждое действие выполняют над всеми тремя частями.
  • При b > 0: |x − a| < b ⇔ a − b < x < a + b; |x − a| > b ⇔ x < a − b или x > a + b.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12
Что происходит со знаком неравенства при делении обеих частей на −4?