Окружность: хорды, касательные, центральные и вписанные углы

Археологи нашли небольшой осколок древней тарелки. Как узнать размер всей тарелки? Достаточно провести на краю осколка две хорды и построить к ним серединные перпендикуляры: они пересекутся в центре тарелки. На этом уроке мы изучим такие «скрытые» свойства окружности: хорды и касательные, центральные и вписанные углы, окружности, описанные около треугольника и вписанные в него.

На уроке «Длина окружности и площадь круга» мы познакомились с окружностью, радиусом, диаметром и длиной дуги. Здесь нашими главными инструментами будут равные треугольники (урок «Признаки равенства треугольников») и подобные треугольники (урок «Подобные треугольники»).

Хорды и диаметры

Соединим центр O с концами A и B хорды: так как OA = OB = R, треугольник AOB равнобедренный, и его высота OH является и медианой. Отсюда три свойства: диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам; серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр; равные хорды равноудалены от центра. А из прямоугольного треугольника OAH получаем формулу, связывающую длину хорды с её расстоянием до центра.

Как найти центр разбитой тарелки — серединный перпендикуляр к любой хорде проходит через центр:

1. 1
   Две хорды

   Возьми на дуге три точки A, B, C и проведи хорды AB и BC.

2. 2
   Серединные перпендикуляры

   Построй циркулем и линейкой серединные перпендикуляры к AB и BC (как на уроке «Признаки равенства треугольников»).

3. 3
   Центр

   Точка O их пересечения — центр, а OA — радиус.

Касательная и её свойства

Обозначим через d расстояние от центра до прямой. Если d < R, прямая пересекает окружность в двух точках — это секущая; если d > R, общих точек нет; если d = R, общая точка ровно одна — прямая касается окружности. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания: если бы радиус OA не был перпендикулярен прямой, перпендикуляр из O к прямой был бы короче OA, то есть меньше R, и прямая пересекла бы окружность в двух точках. Из точки P вне окружности можно провести две касательные. В прямоугольных треугольниках PAO и PBO OA = OB = R, а гипотенуза PO общая, значит, они равны (по гипотенузе и катету).

Центральные и вписанные углы

Доказательство (простой случай: сторона угла CB — диаметр, то есть центр O лежит на ней). OA = OC, поэтому треугольник AOC равнобедренный и ∠OAC = ∠OCA. Угол AOB — внешний угол этого треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: ∠AOB = 2∠ACB. В общем случае проведём из C диаметр CD: если O лежит внутри угла, диаметр делит его на две части, для каждой верен простой случай, и равенства складываются; если O вне угла, их вычитают. Два важных следствия: вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны; вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой (полуокружность — 180°, половина — 90°).

Отрезки хорд, секущих и касательных

Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке P. В △APC и △DPB ∠APC = ∠DPB (вертикальные), а ∠CAB = ∠CDB — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу CB. По первому признаку подобия △APC ∼ △DPB, откуда AP / DP = CP / BP, то есть AP · PB = CP · PD. То же рассуждение работает для секущих, проведённых из точки P вне окружности; когда одна секущая превращается в касательную, две её точки пересечения сливаются и произведение становится квадратом касательной.

Вписанные и описанные окружности

Окружность, проходящая через вершины треугольника, называется описанной около него. Её центр равноудалён от вершин, значит, это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам (все три пересекаются в одной точке). Окружность, касающаяся всех трёх сторон, — вписанная в треугольник; её центр равноудалён от сторон, то есть это точка пересечения биссектрис. Почему три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке? Пусть серединные перпендикуляры к AB и BC пересекаются в точке O: тогда OA = OB и OB = OC, значит, OA = OC и O лежит и на третьем серединном перпендикуляре. Для биссектрис то же рассуждение проводится с расстояниями до сторон. В остроугольном треугольнике O лежит внутри треугольника, в прямоугольном — в середине гипотенузы, в тупоугольном — вне треугольника.

Если все вершины четырёхугольника лежат на окружности, он называется вписанным. Его противоположные углы (например, A и C) вместе опираются на всю окружность, поэтому ∠A + ∠C = ½ · 360° = 180°. Четырёхугольник, все стороны которого касаются окружности, называется описанным; так как два отрезка касательных из каждой вершины равны, суммы противоположных сторон равны. Верны и обратные утверждения (для выпуклых четырёхугольников).