Векторы — Математика

В этом уроке ты узнаешь

Находить координаты и длину вектора
Складывать, вычитать и умножать векторы на число в координатах и геометрически
Находить угол и проверять перпендикулярность с помощью скалярного произведения

Лодка пересекает Куру: она плывёт перпендикулярно берегу со скоростью 4 м/с, а течение сносит её вниз со скоростью 3 м/с. Какова настоящая скорость лодки? Не 4 + 3 = 7 м/с, а 5 м/с! Одного числа мало, важно и направление. Величины, у которых есть и значение, и направление, — скорость, сила, перемещение — описываются векторами; масса и температура — просто числа (скалярные величины).

Вектор и его координаты

Определение

Вектор

Направленный отрезок: у него есть начало, конец, длина (модуль) и направление. Вектор AB⃗ начинается в точке A и заканчивается в точке B; вектор обозначают и одной буквой: a⃗. Векторы одинаковой длины и одного направления равны; векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называют коллинеарными.

AB⃗ = (x₂ − x₁; y₂ − y₁)

где:

A(x₁; y₁)начало вектора
B(x₂; y₂)конец вектора

Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вычитают координаты начала («конец минус начало»). Правило работает и в пространстве.

|a⃗| = √(x² + y²)

где:

x, yкоординаты вектора a⃗
|a⃗|длина (модуль) вектора

Это теорема Пифагора. В пространстве у вектора три координаты и |a⃗| = √(x² + y² + z²): например, длина вектора (2; 3; 6) равна √(4 + 9 + 36) = 7.

Координаты и длина

Даны точки A(1; −2) и B(4; 2). Найдите координаты и длину вектора AB⃗.

Показать решение

«Конец минус начало»: AB⃗ = (4 − 1; 2 − (−2)) = (3; 4).
|AB⃗| = √(3² + 4²) = √25 = 5.
Это и есть расстояние между точками A и B.

Действия с векторами

a⃗ ± b⃗ = (x₁ ± x₂; y₁ ± y₂) k · a⃗ = (k · x₁; k · y₁)

где:

a⃗ = (x₁; y₁), b⃗ = (x₂; y₂)данные векторы
kчисло (скаляр)

Векторы складывают и вычитают покоординатно; при умножении на число каждая координата умножается на это число.

Геометрически векторы складывают по правилу треугольника (начало b⃗ совмещают с концом a⃗) или по правилу параллелограмма (диагональ из общего начала). При k > 0 вектор k · a⃗ сонаправлен с a⃗, при k < 0 направлен противоположно, а его длина равна |k| · |a⃗|.

a⃗ ∥ b⃗ ⇔ x₁ / x₂ = y₁ / y₂ ⇔ x₁y₂ − x₂y₁ = 0a⃗ ∥ b⃗ ⇔ x₁ / x₂ = y₁ / y₂ ⇔ x₁y₂ − x₂y₁ = 0

где:

x₁, y₁, x₂, y₂координаты векторов a⃗ и b⃗

Координаты коллинеарных векторов пропорциональны: b⃗ = k · a⃗. Вторая запись работает и тогда, когда какая-то координата равна нулю.

Действия и коллинеарность

a⃗ = (2; −1), b⃗ = (−3; 4).
а) Найдите вектор 2a⃗ − b⃗ и его длину.
б) При каком m вектор c⃗ = (m; 3) коллинеарен a⃗?

Показать решение

а) 2a⃗ = (4; −2). 2a⃗ − b⃗ = (4 − (−3); −2 − 4) = (7; −6).
|2a⃗ − b⃗| = √(49 + 36) = √85 ≈ 9,22.
б) Координаты должны быть пропорциональны: m/2 = 3/(−1) ⇒ m = −6.
Проверка: c⃗ = (−6; 3) = −3 · a⃗ — вектор c⃗ направлен противоположно a⃗.

Скалярное произведение

a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos φ

где:

φугол между векторами, 0° ≤ φ ≤ 180°
|a⃗|, |b⃗|длины векторов

Скалярное произведение — не вектор, а число (скаляр), отсюда и название. a⃗ · a⃗ = |a⃗|².

a⃗ · b⃗ = x₁x₂ + y₁y₂ cos φ = (x₁x₂ + y₁y₂) / (|a⃗| · |b⃗|)a⃗ · b⃗ = x₁x₂ + y₁y₂ cos φ = (x₁x₂ + y₁y₂) / (|a⃗| · |b⃗|)

где:

x₁, y₁, x₂, y₂координаты векторов a⃗ и b⃗

В координатах скалярное произведение — сумма произведений соответствующих координат. В пространстве добавляется z₁z₂.

a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ a⃗ · b⃗ = 0 ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0

где:

a⃗, b⃗ненулевые векторы

Знак скалярного произведения показывает угол: > 0 — острый, = 0 — прямой (векторы перпендикулярны), < 0 — тупой.

Угол между векторами

Найдите угол между векторами a⃗ = (1; 2) и b⃗ = (3; 1).

Показать решение

a⃗ · b⃗ = 1 · 3 + 2 · 1 = 5 > 0, значит, угол острый.
|a⃗| = √(1 + 4) = √5, |b⃗| = √(9 + 1) = √10.
cos φ = 5 / (√5 · √10) = 5 / √50 = 5 / (5√2) = √2/2 ⇒ φ = 45°.

Перпендикулярность и работа силы

а) При каком k векторы a⃗ = (k; 2) и b⃗ = (3; −6) перпендикулярны?
б) Сила 50 Н направлена под углом 60° к перемещению длиной 10 м. Найдите работу силы.

Показать решение

а) a⃗ · b⃗ = 3k + 2 · (−6) = 3k − 12 = 0 ⇒ k = 4.
б) Работа — это скалярное произведение силы и перемещения: A = F⃗ · s⃗ = F · s · cos φ = 50 · 10 · cos 60° = 50 · 10 · 0,5 = 250 Дж.

Интерактив

Загрузка симуляции…

Вектор длины 1 называется единичным. Единичный вектор, образующий с осью x угол φ, имеет координаты (cos φ; sin φ), а любой вектор можно записать как |a⃗| · (cos φ; sin φ). Скалярное произведение двух единичных векторов равно косинусу угла между ними.

Главное

AB⃗ = (x₂ − x₁; y₂ − y₁) — «конец минус начало»; |a⃗| = √(x² + y²).
Векторы складывают и вычитают покоординатно; k · a⃗ умножает каждую координату на k.
Правило цепочки: AB⃗ + BC⃗ = AC⃗.
a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos φ = x₁x₂ + y₁y₂.
a⃗ ⊥ b⃗ ⇔ x₁x₂ + y₁y₂ = 0; a⃗ ∥ b⃗ ⇔ координаты пропорциональны.

Проверь себя

Вопросов: 10. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 10

Чему равно расстояние между точками A(−1; 3) и B(5; −5)?