Прямые и плоскости в пространстве

В этом уроке ты узнаешь

Определять по аксиомам и признакам взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей и находить угол между скрещивающимися прямыми
Работать с перпендикуляром, наклонной и проекцией, применять теорему о трёх перпендикулярах в вычислениях и доказательствах
Находить угол между прямой и плоскостью, линейный угол двугранного угла и угол между плоскостями (≤ 90°)
Вычислять расстояния в пространстве и решать закрытые, кодируемые и письменные задания ГЭЦ (DİM) с полным обоснованием

Оглянись в классе: пол и стена — части плоскостей, а линия угла, где они сходятся, — прямая. Шнур лампы висит перпендикулярно полу, а линия, где передняя стена встречается с полом, и линия, где боковая стена встречается с потолком, не пересекаются и не параллельны. В планиметрии все фигуры лежали в одной плоскости; стереометрия изучает фигуры в пространстве. Это первый урок стереометрии: здесь строится всё, что понадобится в уроках «Многогранники: призма и пирамида» и «Тела вращения: цилиндр, конус и шар», — параллельность, перпендикулярность, углы и расстояния. На II этапе вступительного экзамена ГЭЦ (DİM) задание по теме «Прямые и плоскости в пространстве» в 2026 году было в работах по математике обеих групп (I и II): в одном нужно было найти величину двугранного угла, в другом — значения, которые не может принимать угол между двумя плоскостями. Тема входит и в программу выпускного экзамена за 11 класс.

Основные понятия и аксиомы стереометрии

Точка, прямая и плоскость не определяются — их свойства задаются аксиомами. Точки обозначают заглавными латинскими буквами (A, B, C), прямые — строчными (a, b) или двумя точками (AB), плоскости — греческими буквами (α, β, γ) или тремя точками (ABC). Плоскость безгранично простирается во все стороны, а на рисунке её изображают параллелограммом. Все теоремы планиметрии верны в пространстве в каждой плоскости.

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
А3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Из аксиом следует, что плоскость можно задать четырьмя способами: 1) тремя точками, не лежащими на одной прямой; 2) прямой и точкой вне её; 3) двумя пересекающимися прямыми; 4) двумя параллельными прямыми. Поэтому штатив фотоаппарата на трёх ножках никогда не качается, а стол на четырёх ножках может качаться: концы четырёх ножек могут не лежать в одной плоскости.

Сколько плоскостей?

1) Даны 4 точки, не лежащие в одной плоскости. Сколько различных плоскостей проходит через каждые три из них?
2) Тот же вопрос для 5 точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости.
3) Прямые a, b, c пересекаются в одной точке и не лежат в одной плоскости. Сколько плоскостей задают пары этих прямых?

Показать решение

1) Каждая плоскость задаётся тремя точками, троек C₄³ = 4. Это 4 грани тетраэдра (треугольной пирамиды).
2) C₅³ = 5 · 4 · 3 / 6 = 10 плоскостей. Так как никакие четыре точки не лежат в одной плоскости, каждая тройка даёт свою плоскость.
3) Пары (a, b), (a, c), (b, c) дают 3 плоскости: две пересекающиеся прямые задают одну плоскость. Если бы все три прямые лежали в одной плоскости, ответ был бы 1.

Взаимное расположение прямых. Скрещивающиеся прямые

На плоскости две прямые либо пересекаются, либо параллельны. В пространстве есть третий случай. Параллельные прямые в пространстве — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются; одного условия «не пересекаются» недостаточно.

Определение

Скрещивающиеся прямые

Прямые, которые не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися: они не пересекаются и не параллельны. Признак: если прямая a лежит в плоскости α, а прямая b пересекает α в точке, не лежащей на a, то a и b скрещиваются.

Фигуры	Расположение	Общие точки
две прямые	пересекаются	одна точка
две прямые	параллельны (в одной плоскости)	нет
две прямые	скрещиваются (не в одной плоскости)	нет
прямая и плоскость	прямая лежит в плоскости	бесконечно много
прямая и плоскость	пересекаются	одна точка
прямая и плоскость	параллельны	нет
две плоскости	пересекаются	прямая
две плоскости	параллельны	нет

Все возможные случаи в пространстве. Новые здесь только скрещивающиеся прямые — остальное знакомо из планиметрии.

В задачах чаще всего используются такие признаки и свойства:

Признак параллельности прямой и плоскости: прямая, не лежащая в плоскости и параллельная какой-нибудь прямой этой плоскости, параллельна плоскости.
Признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны. В 2026 году именно это свойство было ключевым шагом письменного задания I группы о стержне в цилиндрическом сосуде.
Две прямые, параллельные третьей, параллельны и в пространстве; отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны.

∠(a; b) = ∠(a′; b), a′ ∥ a, 0° < ∠(a; b) ≤ 90°

где:

a, bскрещивающиеся прямые
a′прямая, параллельная a и пересекающая b

Угол между скрещивающимися прямыми: одну прямую параллельно переносим до пересечения с другой. Этот угол не больше 90°; если он равен 90°, скрещивающиеся прямые называют перпендикулярными.

В кубе AB и CC₁ скрещиваются; так как AB₁ ∥ DC₁, угол между AB₁ и BC₁ равен углу равностороннего треугольника BC₁D, то есть 60°.

Прямые и углы в кубе

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁:
1) определите взаимное расположение прямых AB и CC₁;
2) найдите угол между прямыми AA₁ и BC;
3) найдите угол между прямыми AB₁ и BC₁;
4) найдите угол между прямыми AC и B₁D₁.

Показать решение

1) AB лежит в плоскости нижней грани ABCD, а CC₁ пересекает эту плоскость в точке C, не лежащей на AB. По признаку AB и CC₁ скрещиваются.
2) AA₁ ∥ BB₁, значит, искомый угол равен углу между BB₁ и BC. BB₁C₁C — квадрат, ∠B₁BC = 90°. Ответ: 90°.
3) В прямоугольнике AB₁C₁D AB₁ ∥ DC₁. Значит, искомый угол — угол между DC₁ и BC₁, то есть ∠BC₁D. Все стороны треугольника BC₁D — диагонали граней куба (a√2), поэтому треугольник равносторонний. Ответ: 60°.
4) AA₁C₁C — прямоугольник, поэтому AC ∥ A₁C₁, а A₁C₁ и B₁D₁ — диагонали квадрата, они перпендикулярны. Ответ: 90° — AC и B₁D₁ скрещиваются под прямым углом.

Перпендикуляр, наклонная и проекция. Теорема о трёх перпендикулярах

Определение

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости (a ⊥ α), если она перпендикулярна любой прямой этой плоскости. Признак: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна плоскости. Например, ребро AA₁ куба перпендикулярно AB и AD, значит, перпендикулярно всей нижней грани.

Определение

Перпендикуляр, наклонная, проекция

Точка A лежит вне плоскости α. Если AH ⊥ α, то отрезок AH — перпендикуляр, H — его основание, а длина AH — расстояние от точки A до плоскости α. Отрезок AM, соединяющий A с любой другой точкой M плоскости α, — наклонная, а HM — проекция наклонной.

Треугольник AHM прямоугольный. Так как a ⊥ HM, по теореме о трёх перпендикулярах a ⊥ AM.

AM² = AH² + HM²

где:

AMнаклонная
AHперпендикуляр — расстояние от A до плоскости
HMпроекция наклонной

Теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике AHM. Следствия: перпендикуляр короче любой наклонной; равные наклонные из одной точки имеют равные проекции, и наоборот; бо́льшая наклонная имеет бо́льшую проекцию.

Наклонные и проекции

1) Из точки к плоскости проведены перпендикуляр длиной 5 см и наклонная длиной 13 см. Найдите проекцию наклонной.
2) Из точки к плоскости проведены две наклонные длиной 10 см и 17 см; их проекции относятся как 2 : 5. Найдите расстояние от точки до плоскости.

Показать решение

1) HM = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 см.
2) Пусть проекции равны 2x и 5x (меньшая наклонная имеет меньшую проекцию). Перпендикуляр общий: 10² − (2x)² = 17² − (5x)² ⇒ 100 − 4x² = 289 − 25x² ⇒ 21x² = 189 ⇒ x² = 9, x = 3. Проекции 6 см и 15 см, расстояние √(100 − 36) = 8 см. Проверка: √(289 − 225) = 8. ✓

Интерактив

Загрузка симуляции…

Смоделируй треугольник AHM: один катет — проекция HM, другой — перпендикуляр AH, гипотенуза — наклонная AM. Меняй числа и убедись, что наклонная всегда длиннее и перпендикуляра, и проекции.

a ⊂ α: a ⊥ HM ⇔ a ⊥ AM

где:

aпрямая в плоскости α, проходящая через основание M наклонной
HMпроекция наклонной
AMнаклонная

Теорема о трёх перпендикулярах: прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции, перпендикулярна и самой наклонной; верна и обратная теорема. «Три перпендикуляра»: AH ⊥ α, a ⊥ HM и a ⊥ AM.

Почему это верно? Так как AH ⊥ α, AH перпендикулярна прямой a плоскости. Вместе с условием a ⊥ HM получаем, что a перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости AHM (AH и HM), значит, перпендикулярна этой плоскости, а потому и AM. Обратная теорема доказывается так же: a ⊥ AM и a ⊥ AH ⇒ a ⊥ (AHM) ⇒ a ⊥ HM. Главное применение теоремы — расстояние от точки до прямой: сначала в плоскости проводим перпендикуляр из основания проекции к прямой, затем применяем теорему Пифагора.

Расстояние от точки до прямой

1) В треугольнике ABC AB = AC = 13 см, BC = 10 см. Из вершины A к плоскости треугольника восставлен перпендикуляр AD, AD = 9 см. Найдите расстояние от D до прямой BC.
2) Сторона квадрата ABCD равна 6 см, SA ⊥ (ABC) и SA = 8 см. Найдите расстояния от S до прямых CD и BD.

Показать решение

1) Пусть M — середина BC. В равнобедренном треугольнике медиана является и высотой: AM ⊥ BC, AM = √(13² − 5²) = 12 см. AM — проекция наклонной DM, и BC ⊥ AM, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах BC ⊥ DM. Искомое расстояние DM = √(AD² + AM²) = √(81 + 144) = √225 = 15 см.
2) AD ⊥ CD (соседние стороны квадрата), а AD — проекция наклонной SD, поэтому SD ⊥ CD и расстояние SD = √(8² + 6²) = 10 см. Для BD: O — точка пересечения диагоналей, AO ⊥ BD, AO = 6√2 / 2 = 3√2 см; тогда SO ⊥ BD и SO = √(64 + 18) = √82 см.

В стиле ГЭЦ (DİM): задача на доказательство

В треугольнике ABC ∠C = 90°. Отрезок SA перпендикулярен плоскости треугольника. Докажите, что треугольник SCB прямоугольный.

Показать решение

Доказательство.
1) Так как SA ⊥ (ABC), SC — наклонная, а AC — её проекция на плоскость (ABC).
2) Прямая BC лежит в плоскости (ABC) и проходит через основание C наклонной; по условию BC ⊥ AC, то есть BC перпендикулярна проекции.
3) По теореме о трёх перпендикулярах BC ⊥ SC.
4) Значит, ∠SCB = 90° и треугольник SCB прямоугольный, что и требовалось доказать.
В письменном ответе обосновывай каждый шаг: укажи, какой отрезок — наклонная, какой — проекция и какую теорему ты применяешь. Так же доказывается, что для прямоугольника ABCD и SA ⊥ (ABCD) треугольники SBC и SDC тоже прямоугольные.

Угол между прямой и плоскостью

Определение

Угол между прямой и плоскостью

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, угол равен 90°; если она параллельна плоскости или лежит в ней — 0°. Значит, всегда 0° ≤ φ ≤ 90°.

sin φ = AH / AM, cos φ = HM / AM, tg φ = AH / HMsin φ = AH / AM, cos φ = HM / AM, tg φ = AH / HM

где:

φугол между наклонной и плоскостью (угол при вершине M треугольника AHM)
AHрасстояние от точки до плоскости
HMпроекция
AMнаклонная

Из наклонных, проведённых из одной точки, та короче, которая образует с плоскостью больший угол: AM = AH / sin φ.

Угол, наклонная и расстояние

1) Наклонная длиной 12 см образует с плоскостью угол 30°. Найдите расстояние от её конца до плоскости и проекцию наклонной.
2) Конец A отрезка AB длиной 10 см лежит в плоскости, а конец B удалён от плоскости на 5 см. Найдите угол между AB и плоскостью.
3) Из точки, удалённой от плоскости на 6 см, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 30° и 45°; их проекции перпендикулярны. Найдите длины наклонных и расстояние между их основаниями.

Показать решение

1) AH = AM · sin 30° = 12 · ½ = 6 см; HM = AM · cos 30° = 12 · √3/2 = 6√3 см.
2) sin φ = 5/10 = ½ ⇒ φ = 30°.
3) Наклонные: 6 : sin 30° = 12 см и 6 : sin 45° = 6√2 см. Проекции: 6 : tg 30° = 6√3 см и 6 : tg 45° = 6 см. Проекции образуют прямой угол в точке H, поэтому расстояние между основаниями — гипотенуза этого прямоугольного треугольника: √(108 + 36) = √144 = 12 см.

Двугранный угол и угол между плоскостями

Определение

Двугранный угол и его линейный угол

Фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой, называется двугранным углом; полуплоскости — его грани, общая прямая — ребро. Из любой точки C ребра проведём в гранях лучи CA и CB, перпендикулярные ребру: ∠ACB — линейный угол двугранного угла. Все линейные углы равны, и величина двугранного угла равна величине его линейного угла: 0° < φ < 180°, то есть двугранный угол может быть тупым.

Линейный угол строится двумя лучами, перпендикулярными ребру. Теорема косинусов в треугольнике ABC даёт φ.

Угол между двумя плоскостями — другое понятие. Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла (две пары равных; соседние в сумме дают 180°); углом между плоскостями считают меньший из них. Поэтому угол между пересекающимися плоскостями удовлетворяет условию 0° < φ ≤ 90°, а для параллельных плоскостей его считают равным 0°. Если φ = 90°, плоскости перпендикулярны. Признак: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Дверь в любом положении перпендикулярна полу, потому что ось её петель перпендикулярна полу.

В стиле ГЭЦ (DİM): закрытое задание «какие не могут быть»

Какие из чисел не могут быть градусной мерой угла между двумя пересекающимися плоскостями?
I. 0° II. 150° III. 90° IV. 92° V. 45°
A) I, II и IV B) II и IV C) I и III D) II, III и IV E) I, IV и V

Показать решение

Угол между пересекающимися плоскостями — меньший из четырёх двугранных углов, поэтому 0° < φ ≤ 90°.
I. 0° бывает только у параллельных плоскостей, для пересекающихся невозможен.
II. 150° и IV. 92° больше 90°, невозможны. Такие двугранные углы бывают, но тогда угол между плоскостями равен 30° и 88°.
III. 90° (перпендикулярные плоскости) и V. 45° возможны.
Ответ: A. Самые частые ошибки: путать «двугранный угол» и «угол между плоскостями» или забыть про 0° и выбрать только II и IV (B).

В стиле ГЭЦ (DİM): кодируемое задание

На разных гранях двугранного угла взяты точки A и B. Перпендикуляры AC и BC, опущенные из них на ребро, имеют общее основание C; AC = 3, BC = 5, AB = 7. Найдите градусную меру двугранного угла.

Показать решение

AC и BC перпендикулярны ребру и выходят из одной его точки C, значит, ∠ACB — линейный угол двугранного угла.
Теорема косинусов в треугольнике ABC: cos ∠ACB = (AC² + BC² − AB²) / (2 · AC · BC) = (9 + 25 − 49) / 30 = −15/30 = −½.
∠ACB = 120°.
Ответ: 120. Внимание: двугранный угол равен 120°, а угол между плоскостями этих граней был бы 180° − 120° = 60° — внимательно читай, что спрашивают. Если бы AC = BC = AB, треугольник ABC был бы равносторонним и двугранный угол равнялся бы 60°.

S′ = S · cos φ

где:

S′площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость
Sплощадь многоугольника
φугол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции

Теорема о площади ортогональной проекции. На следующем уроке по ней в одну строку находится боковая поверхность пирамиды.

Двугранный угол, расстояние и площадь проекции

1) Двугранный угол равен 60°. Точка M на одной грани удалена от ребра на 4√3 см. Найдите расстояние от M до плоскости другой грани.
2) Треугольник площадью 20 см² лежит в плоскости, образующей с плоскостью α угол 60°. Найдите площадь его проекции на α.
3) Проекция квадрата на плоскость α — фигура площадью 18 см², угол между плоскостью квадрата и α равен 60°. Найдите сторону квадрата.

Показать решение

1) Опустим из M перпендикуляр MC на ребро и перпендикуляр MH на плоскость другой грани. По теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах, HC ⊥ ребру, то есть ∠MCH — линейный угол, он равен 60°. В прямоугольном треугольнике MCH: MH = MC · sin 60° = 4√3 · √3/2 = 6 см.
2) S′ = 20 · cos 60° = 20 · ½ = 10 см².
3) S = S′ : cos 60° = 18 : ½ = 36 см², сторона квадрата √36 = 6 см.

Расстояния в пространстве

Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью и между параллельными плоскостями — длина перпендикуляра из любой точки одной фигуры на другую; оно одинаково для всех точек.
Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра (отрезка, пересекающего обе прямые и перпендикулярного им). Это также расстояние от одной прямой до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой.

d_M = (d_A + d_B) / 2 (A и B по одну сторону), d_M = |d_A − d_B| / 2 (по разные стороны)d_M = (d_A + d_B) / 2 (A и B по одну сторону), d_M = |d_A − d_B| / 2 (по разные стороны)

где:

d_A, d_Bрасстояния от концов отрезка AB до плоскости
d_Mрасстояние от середины M отрезка до плоскости

В первом случае перпендикуляры образуют трапецию, и формула — её средняя линия; во втором случае отрезок пересекает плоскость.

Расстояния в кубе и середина отрезка

1) Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 6 см. Найдите: a) расстояние между скрещивающимися прямыми AB и CC₁; b) расстояние от A до плоскости BB₁D₁D; c) расстояние между прямыми AA₁ и BD.
2) Концы отрезка AB удалены от плоскости на 7 см и 3 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости в двух случаях: концы лежат по одну сторону от плоскости; по разные стороны.

Показать решение

1a) BC ⊥ AB и BC ⊥ CC₁, и BC пересекает обе прямые — это общий перпендикуляр. Расстояние 6 см.
1b) O — центр квадрата ABCD. AO ⊥ BD (диагонали квадрата) и AO ⊥ BB₁ (BB₁ перпендикулярно нижней грани), значит, AO ⊥ (BB₁D₁D). Расстояние AO = 6√2 / 2 = 3√2 см.
1c) Отрезок AO пересекает AA₁ в точке A, BD — в точке O и перпендикулярен обеим прямым — это общий перпендикуляр. Расстояние 3√2 см.
2) По одну сторону: (7 + 3)/2 = 5 см. По разные стороны: (7 − 3)/2 = 2 см.

Лёгкий путь: начни с перпендикуляра

Почти любая задача в пространстве сводится к одному прямоугольному треугольнику: перпендикуляр + проекция + наклонная. Сначала найди перпендикуляр к плоскости (ищи в условии слова «… перпендикулярен плоскости»), затем:
• угол между прямой и плоскостью — между наклонной и проекцией;
• расстояние от точки до прямой — через проекцию по теореме о трёх перпендикулярах;
• двугранный угол — между двумя перпендикулярами к ребру из одной его точки.
Быстрая проверка: угол между плоскостями, между прямой и плоскостью и между скрещивающимися прямыми не бывает больше 90°; тупым может быть только двугранный угол.

Типичные ошибки

• Сразу считать параллельными две непересекающиеся прямые: в пространстве они могут скрещиваться.
• Измерять угол между прямой и плоскостью случайной прямой плоскости: он измеряется только с проекцией.
• Применять теорему о трёх перпендикулярах к прямой, которая не лежит в плоскости.
• Строить линейный угол лучами, не перпендикулярными ребру, или из разных точек ребра.
• Путать двугранный угол (от 0° до 180°) с углом между плоскостями (до 90°).

В стиле ГЭЦ (DİM): письменное задание (полное решение)

В треугольнике ABC ∠C = 90°, AC = 6 см, BC = 8 см. Отрезок SC перпендикулярен плоскости треугольника, SC = 4,8√3 см. Найдите: a) расстояние от S до прямой AB; b) угол между плоскостями SAB и ABC; c) площадь треугольника SAB. Запишите все шаги решения.

Показать решение

Решение.
1) Проведём в треугольнике ABC высоту CH ⊥ AB. AB = √(36 + 64) = 10 см, CH = AC · BC / AB = 6 · 8 / 10 = 4,8 см.
2) SC ⊥ (ABC), значит, SH — наклонная, а CH — её проекция. Так как AB ⊥ CH, по теореме о трёх перпендикулярах AB ⊥ SH. Значит, расстояние от S до AB равно SH.
3) Треугольник SCH прямоугольный (∠C = 90°): SH = √(SC² + CH²) = √(69,12 + 23,04) = √92,16 = 9,6 см.
4) SH ⊥ AB и CH ⊥ AB, поэтому ∠SHC — линейный угол двугранного угла с ребром AB: tg ∠SHC = SC / CH = 4,8√3 / 4,8 = √3, ∠SHC = 60°. Этот угол острый, значит, угол между плоскостями тоже 60°.
5) S(SAB) = ½ · AB · SH = ½ · 10 · 9,6 = 48 см². Проверка по формуле проекции: S(ABC) = ½ · 6 · 8 = 24 = 48 · cos 60°. ✓
Ответ: a) 9,6 см; b) 60°; c) 48 см².

На следующем уроке — «Многогранники: призма и пирамида» — этими инструментами будем находить элементы призмы и пирамиды: высота пирамиды — перпендикуляр, боковое ребро — наклонная, а угол между боковым ребром и основанием — угол между прямой и плоскостью.

Проверь себя: заполни пропуск

1.В кубе угол между прямыми AB₁ и BC₁ равен °.
2.Наклонная 10, перпендикуляр 6 ⇒ проекция =
3.Наклонная 8 см образует с плоскостью угол 30° ⇒ её конец удалён от плоскости на см.
4.Наибольшее значение угла между двумя пересекающимися плоскостями равно °.
5.Фигура площадью 12 лежит в плоскости под углом 60° к α ⇒ площадь проекции равна

Главное

Плоскость задаётся тремя точками, не лежащими на одной прямой, прямой и точкой, двумя пересекающимися или двумя параллельными прямыми.
Две прямые в пространстве пересекаются, параллельны (в одной плоскости) или скрещиваются; угол между скрещивающимися прямыми находят параллельным переносом, он не больше 90°.
AM² = AH² + HM²: перпендикуляр короче любой наклонной; теорема о трёх перпендикулярах: a ⊥ проекции ⇔ a ⊥ наклонной.
Угол между прямой и плоскостью — угол между наклонной и её проекцией (0°–90°); двугранный угол измеряется линейным углом (0°–180°), а угол между плоскостями не больше 90°.
Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина общего перпендикуляра; площадь проекции S′ = S · cos φ.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12

Какие прямые называются скрещивающимися?