Радианная мера угла, основные тригонометрические тождества и формулы приведения

Лейла катается на колесе обозрения в парке. Её кабинка стартует на уровне центра колеса, а колесо вращается против часовой стрелки. После одного полного оборота и ещё четверти оборота кабинка повернётся на 360° + 90° = 450°. На какой высоте над центром теперь Лейла? В прямоугольном треугольнике угла в 450° не бывает, но колёса, стрелки часов, маятники и переменный ток работают именно с такими углами. Для них нужны синус и косинус любого угла.

На уроке «Основы тригонометрии» синус, косинус и тангенс острого угла определялись как отношения сторон прямоугольного треугольника. Сегодня сделаем четыре шага: научимся измерять углы в радианах, с помощью единичной окружности определим тригонометрические функции любого угла, познакомимся с основными тождествами, которые их связывают, и по формулам приведения сведём любой угол к острому. Следующий урок, «Формулы сложения, двойного и половинного угла», опирается на этот.

Радианная мера угла

Градус — это 1/360 полного оборота. Число 360 — соглашение, унаследованное от древних астрономов, из самой геометрии оно не следует. В математике используют более естественную единицу — радиан: угол содержит столько радиан, сколько радиусов укладывается в его дугу.

Длина окружности равна 2πR, то есть радиус укладывается на ней ровно 2π ≈ 6,28 раза. Значит, полный оборот — это 2π радиан, а половина оборота — π радиан: 180° = π рад. Отсюда 1 рад = 180°/π ≈ 57,3°. Радианы — не дело вкуса: формула (sin x)′ = cos x из урока «Таблица производных» верна только тогда, когда x измеряется в радианах, и длина дуги в радианах записывается проще всего.

Синус и косинус любого угла на единичной окружности

Окружность с центром в начале координат и радиусом 1 называется единичной окружностью. Будем поворачивать точку P₀(1; 0) вокруг центра: поворот против часовой стрелки даёт положительный угол, по часовой стрелке — отрицательный. После полного оборота точка возвращается на место, и вращение можно продолжать. Поэтому углы 450°, −90° или 7π вполне имеют смысл: это просто углы поворота.

Для острого угла это определение совпадает со старым: в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 1 противолежащий катет равен y, прилежащий — x. Вернёмся к Лейле: 450° = 360° + 90°, кабинка оказалась в точке 90°, sin 450° = sin 90° = 1, то есть Лейла ровно на радиус выше центра. Из определения вытекает несколько важных следствий:

• −1 ≤ sin α ≤ 1 и −1 ≤ cos α ≤ 1, потому что координаты точки единичной окружности по модулю не больше 1.
• Полный оборот возвращает точку на место, поэтому значения sin и cos повторяются через каждые 360° = 2π.
• tg α не определён, когда точка лежит на оси y (x = 0: 90°, 270°, …), а ctg α — когда она лежит на оси x (y = 0: 0°, 180°, …).

Знаки синуса и косинуса зависят только от того, в какой четверти лежит точка: координата y положительна выше оси x, координата x — правее оси y. Тангенс — их отношение, поэтому он положителен, когда x и y одного знака.

Основные тригонометрические тождества

1. 1
   Найдите квадрат

   По подходящему тождеству найдите квадрат искомой функции: cos²α = 1 − sin²α, sin²α = 1 − cos²α или cos²α = 1 / (1 + tg²α).

2. 2
   Выберите знак по четверти

   При извлечении корня получаются два значения: ±. Посмотрите, в какой четверти угол, и оставьте нужный знак.

3. 3
   Найдите tg и ctg как отношения

   tg α = sin α / cos α, ctg α = 1 / tg α.

4. 4
   Проверьте

   Убедитесь, что sin²α + cos²α = 1 и знаки соответствуют четверти.

Формулы приведения

Единичная окружность симметрична. Точка, соответствующая углу π − α, симметрична точке P(cos α; sin α) относительно оси y: (−cos α; sin α). Точка для угла π + α симметрична P относительно центра: (−cos α; −sin α). Отсюда сразу: sin(π − α) = sin α, cos(π − α) = −cos α, sin(π + α) = −sin α, cos(π + α) = −cos α.

Угол π/2 + α поворачивает точку P ещё на 90°. При повороте на 90° точка (x; y) переходит в (−y; x), поэтому cos(π/2 + α) = −sin α, sin(π/2 + α) = cos α — синус и косинус меняются местами. Все такие равенства называются формулами приведения: они выражают функцию угла π/2 · n ± α через функцию угла α.

1. 1
   Разложите угол

   Сначала отбросьте полные обороты (2π для sin и cos, π для tg и ctg), затем запишите угол в виде π/2 · n ± α, где α — острый угол.

2. 2
   Определите знак

   Считая α острым, определите четверть угла π/2 · n ± α и поставьте знак исходной функции в этой четверти.

3. 3
   Выберите функцию

   Если n нечётно (π/2, 3π/2), функция меняется на «кофункцию»: sin ↔ cos, tg ↔ ctg. Если n чётно (π, 2π), название функции не меняется.

Упрощение выражений и доказательство тождеств

Упростить тригонометрическое выражение — значит привести его к более короткому или удобному виду. Здесь работают все инструменты алгебры: вынесение общего множителя, формулы сокращённого умножения, общий знаменатель. К ним добавляются собственные приёмы тригонометрии:

• выражайте tg и ctg через sin и cos;
• замечайте замены 1 − sin²α = cos²α и 1 − cos²α = sin²α;
• ищите разность квадратов: (1 − sin α)(1 + sin α) = cos²α;
• помните, при каких α результат верен: знаменатель не должен обращаться в нуль.

1. 1
   Начните с более сложной части

   Обычно проще преобразовать более длинную часть к короткой.

2. 2
   Всё через sin и cos

   Выразите tg, ctg и 1 через sin и cos, приведите дроби к общему знаменателю.

3. 3
   Другие пути

   Можно также привести обе части к одному выражению или показать, что их разность равна 0. Для равенства двух дробей удобно сравнить произведения «крест-накрест».

4. 4
   Укажите условия

   Отметьте, при каких α тождество верно: все знаменатели должны быть отличны от нуля.