Системы линейных уравнений

Научись решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки, способом сложения и графически.

В этом уроке ты узнаешь

Объяснять, что такое решение системы уравнений
Решать систему способом подстановки
Решать систему способом сложения
Понимать графический способ и число решений системы

В кафе Мурад заплатил 5 манатов за 2 стакана чая и 1 пахлаву, а Эльвин — 7,5 маната за 1 чай и 3 пахлавы. Сколько стоят один чай и одна пахлава? Здесь два неизвестных: цена чая x и цена пахлавы y. Для каждой покупки пишем своё уравнение: 2x + y = 5 и x + 3y = 7,5. Вместе эти уравнения образуют систему уравнений.

Что такое система уравнений?

Определение

Решение системы уравнений

Пара чисел (x; y), которая обращает каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему — значит найти все её решения или доказать, что их нет.

{ x + y = 7{ x − y = 1

Систему записывают с фигурной скобкой. Решение этой системы — пара (4; 3): 4 + 3 = 7 и 4 − 3 = 1. А пара (5; 2) — не решение: она удовлетворяет первому уравнению, но не второму.

Способ подстановки

1
Вырази одну переменную
Из одного уравнения вырази одну переменную через другую (удобнее та, у которой коэффициент 1).
2
Подставь в другое уравнение
Получится линейное уравнение с одной переменной; реши его.
3
Найди вторую переменную и проверь
Подставь найденное значение в выражение и проверь пару в обоих уравнениях.

В кафе

Решите систему
{ 2x + y = 5
{ x + 3y = 7,5
Сколько стоят один чай и одна пахлава?

Показать решение

Из первого уравнения: y = 5 − 2x.
Подставляем во второе: x + 3(5 − 2x) = 7,5.
x + 15 − 6x = 7,5 ⇒ −5x = −7,5 ⇒ x = 1,5.
y = 5 − 2 · 1,5 = 2.
Чай стоит 1,5 маната, пахлава — 2 маната.
Проверка: 2 · 1,5 + 2 = 5 и 1,5 + 3 · 2 = 7,5.

Способ сложения

Если коэффициенты при одной из переменных — противоположные числа (например, 2y и −2y), то при почленном сложении уравнений эта переменная исчезает. Если коэффициенты не противоположны, сначала умножают одно уравнение (или оба) на подходящее число.

Умножаем и складываем

Решите способом сложения:
{ 2x + 3y = 13
{ 3x − y = 3

Показать решение

Умножаем второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при y стали противоположными: 9x − 3y = 9.
Складываем уравнения: (2x + 3y) + (9x − 3y) = 13 + 9 ⇒ 11x = 22 ⇒ x = 2.
Из второго уравнения: 3 · 2 − y = 3 ⇒ y = 3.
Ответ: (2; 3). Проверка: 2 · 2 + 3 · 3 = 13 и 3 · 2 − 3 = 3.

Графический способ

График линейного уравнения с двумя переменными — прямая. Запишем x + y = 7 как y = 7 − x, а x − y = 1 как y = x − 1. Решение системы — это координаты точки пересечения этих прямых.

Интерактив

Загрузка симуляции…

Прямые y = 7 − x и y = x − 1 пересекаются в точке (4; 3) — это решение системы.

Прямые	Число решений	Пример
Пересекаются	Одно решение	y = 7 − x, y = x − 1
Параллельны	Решений нет	y = 2x + 1, y = 2x − 3
Совпадают	Бесконечно много решений	x + y = 2, 2x + 2y = 4

Куры и кролики

Во дворе гуляют куры и кролики. Всего у них 20 голов и 56 ног. Сколько во дворе кур и сколько кроликов?

Показать решение

Пусть кур x, а кроликов y.
{ x + y = 20 (головы)
{ 2x + 4y = 56 (ноги)
Из первого уравнения x = 20 − y. Подставляем: 2(20 − y) + 4y = 56 ⇒ 40 + 2y = 56 ⇒ y = 8.
x = 20 − 8 = 12.
Ответ: 12 кур и 8 кроликов. Проверка: 12 · 2 + 8 · 4 = 24 + 32 = 56.

Главное

Решение системы — пара (x; y), которая удовлетворяет всем уравнениям одновременно.
Способ подстановки: вырази одну переменную и подставь в другое уравнение.
Способ сложения: сделай коэффициенты противоположными и сложи уравнения, чтобы исключить переменную.
Графически решение — точка пересечения прямых; параллельные прямые — решений нет.

Проверь себя

Вопросов: 10. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 10

Какая пара является решением системы { x + y = 5; x − y = 1 }?