Подобные треугольники

Как в солнечный день измерить высоту флагштока во дворе школы, не залезая на него? Айсель измеряет тень Эльвина, рост которого 1,6 м: она равна 2 м. В тот же момент тень флагштока — 15 м. Тень в 1,25 раза длиннее самого предмета, значит, высота флагштока 15 : 1,25 = 12 м. За этим расчётом стоит главная идея урока: у подобных треугольников одинаковая форма, а размеры отличаются в одно и то же число раз.

На уроке «Признаки равенства треугольников» мы изучали треугольники одинаковой формы и одинакового размера, а на уроке «Четырёхугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и трапеция» познакомились с теоремой Фалеса. Теперь мы обобщим теорему Фалеса на пропорциональные отрезки, изучим три признака подобия и применим их для нового доказательства теоремы из урока «Теорема Пифагора» и для измерений по тени. На подобии основаны и увеличение фотографий, и карты, и чертежи.

Пропорциональные отрезки и обобщённая теорема Фалеса

В треугольнике ABC точка M лежит на стороне AB, точка N — на стороне BC, и MN ∥ AC. Эти две параллельные прямые пересекают стороны угла B. По теореме Фалеса параллельные прямые, отсекающие равные отрезки на одной стороне угла, отсекают равные отрезки и на другой. А если отрезки не равны? Пусть BM : MA = 3 : 2. Разделим BM на 3, а MA на 2 равные части и проведём через точки деления прямые, параллельные MN. По теореме Фалеса BC тоже разделится на равные части: 3 в BN и 2 в NC, то есть BN : NC = 3 : 2. Отношение сохраняется!

Деление отрезка в данном отношении (например, AB в отношении 2 : 3) — простое построение циркулем и линейкой, основанное на этой теореме:

1. 1
   Вспомогательный луч

   Из точки A проведи произвольный луч, образующий угол с AB.

2. 2
   Равные отрезки

   Отложи на луче циркулем подряд 2 + 3 = 5 равных отрезков; последнюю точку обозначь P.

3. 3
   Соедини

   Соедини точку P с точкой B.

4. 4
   Проведи параллельную

   Через вторую точку деления проведи прямую, параллельную PB; она пересечёт AB в искомой точке K: AK : KB = 2 : 3.

У этой теоремы есть и красивое следствие — о биссектрисе треугольника.

Почему? Проведём через C прямую, параллельную BL; она пересечёт продолжение AB за точку B в точке K. ∠BKC = ∠ABL (соответственные углы), ∠BCK = ∠LBC (накрест лежащие), а биссектриса даёт ∠ABL = ∠LBC. Значит, в треугольнике BCK два угла равны и он равнобедренный: BK = BC. Теперь параллельные прямые BL и KC пересекают стороны угла A, и по обобщённой теореме Фалеса AL / LC = AB / BK = AB / BC.

Подобные треугольники и три признака подобия

Как и при равенстве, порядок букв задаёт соответствие: запись △ABC ∼ △KLM означает A ↔ K, B ↔ L, C ↔ M. Сходственные стороны лежат против равных углов. В определении шесть условий, но проверять их все не нужно. Ключевой вспомогательный факт: прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному. На первом рисунке при MN ∥ AC получаем △MBN ∼ △ABC: угол B общий, ∠BMN = ∠BAC и ∠BNM = ∠BCA — соответственные углы, а BM / BA = BN / BC следует из обобщённой теоремы Фалеса. Прямая через N, параллельная AB, даёт параллелограмм, и та же теорема показывает, что MN / AC равно тому же числу.

Почему: третьи углы тоже равны, ведь сумма углов 180°. Пусть A₁B₁ > AB. Отложим на A₁B₁ отрезок A₁M = AB и проведём MN ∥ B₁C₁. Треугольник A₁MN подобен большому треугольнику (параллельная прямая) и равен △ABC по второму признаку равенства. Значит, △ABC ∼ △A₁B₁C₁. Этот признак используют чаще всего: два равных угла обычно видны на рисунке — общий угол, вертикальные углы, углы при параллельных прямых, прямые углы.

Оба признака доказываются так же: внутри большого треугольника строим «копию» малого (A₁M = AB, MN ∥ B₁C₁) и доказываем её равенство малому треугольнику по первому и третьему признакам равенства.

Отношение периметров и площадей

Если каждая сторона подобного треугольника больше в k раз, то их сумма — периметр — тоже больше в k раз. Сходственные высоты, медианы и биссектрисы тоже больше в k раз: они тоже являются сходственными сторонами подобных треугольников. А площадь — это половина произведения основания на высоту: оба множителя увеличиваются в k раз, поэтому площадь увеличивается в k · k = k² раз.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) проведём из вершины прямого угла высоту CH. Она делит треугольник на два меньших прямоугольных треугольника, и все три подобны друг другу: у △ACH и △ABC общий угол A, у △CBH и △ABC — угол B, и в каждой паре есть прямой угол (по двум углам). Отрезки BH = p и AH = q — проекции катетов a = BC и b = AC на гипотенузу.

Откуда берутся формулы: △CBH ∼ △ACH, поэтому CH / AH = BH / CH, то есть h / q = p / h и h² = pq. △CBH ∼ △ABC, поэтому BH / BC = BC / BA, то есть a² = cp; так же b² = cq. Сложим два последних равенства: a² + b² = cp + cq = c(p + q) = c². Это доказательство теоремы Пифагора через подобие! Записав площадь двумя способами, получим ещё одну формулу: ½ab = ½ch, то есть h = ab / c.

Измерение высоты по тени и с помощью зеркала

Солнце так далеко, что его лучи можно считать параллельными. Поэтому в один и тот же момент вертикальный столб, его тень и луч образуют прямоугольный треугольник, а человек, его тень и луч — второй треугольник, подобный первому: прямые углы равны, равны и углы, которые лучи образуют с землёй (по двум углам). В способе с зеркалом используют закон отражения света: угол падения равен углу отражения, поэтому снова получаются два подобных прямоугольных треугольника.