Перейти к содержанию
Educora
RU
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Моё обучениеEducora StudioНастройки
Продвинутый9–11 классы25 мин41 / 82

Задачи с параметром: исследование квадратного трёхчлена

Смысл параметра и особый случай a = 0, число корней, квадратный трёхчлен, сохраняющий знак при всех x, знаки корней по теореме Виета, взаимно обратные корни, наименьшее значение x₁² + x₂², оба корня больше данного числа, положение вершины параболы и системы линейных уравнений с параметром — ответы в виде промежутков, с закрытыми и кодируемыми заданиями в стиле ГЭЦ (DİM).

Проверь себя
В этом уроке ты узнаешь
  • Выделять случай a = 0 в квадратном уравнении с параметром и исследовать число корней по дискриминанту
  • Применять условие (a и D) сохранения знака квадратного трёхчлена при всех x
  • Переводить условия на корни (знаки, обратные корни, x₁² + x₂², корни больше k) в неравенства с помощью теоремы Виета и D
  • Решать задачи о положении вершины и о числе решений линейной системы с параметром

«При каких значениях a…» — такие задания есть во вступительном экзамене ГЭЦ (DİM) каждый год: в 2026 году 6 из 60 заданий I и II групп были с параметром (квадратный трёхчлен, отрицательный при всех x, взаимно обратные корни, вершина в IV четверти, система с заданным решением). Параметр — фиксированное число, значение которого неизвестно; задание требует исследовать все его возможные значения. Урок опирается на уроки «Квадратные уравнения», «Квадратичная функция и её график» и «Квадратные неравенства и метод интервалов».

Случай a = 0 и число корней

  1. 1
    1. Старший коэффициент

    Если коэффициент при x² зависит от параметра, отдельно рассмотри случай, когда он равен 0: уравнение становится линейным.

  2. 2
    2. Дискриминант

    При a ≠ 0 запиши D через параметр.

  3. 3
    3. Переведи условие

    Переведи словесное условие в неравенства для D, x₁ + x₂, x₁x₂, вершины или f(k).

  4. 4
    4. Система

    Реши систему относительно параметра и добавь ответ случая a = 0.

  5. 5
    5. Ответ

    Запиши ответ промежутком или множеством, граничные значения проверь отдельно.

a ≠ 0: D = b² − 4ac; D > 0 — два различных корня; D = 0 — один корень; D < 0 — действительных корней нет
где:
  • a, b, cкоэффициенты уравнения ax² + bx + c = 0 (могут зависеть от параметра)

При a = 0 уравнение имеет вид bx + c = 0: один корень при b ≠ 0; при b = 0 либо корней нет, либо корень — любое x.

Число корней

1) При каких m уравнение (m − 2)x² + 4x + 1 = 0 имеет единственный корень?
2) При каких k уравнение x² − 6x + k = 0 имеет два различных корня?
3) При каких k уравнение kx² + 2x + 1 = 0 не имеет корней?

Показать решение
1) m = 2: 4x + 1 = 0 ⇒ x = −1/4 — один корень, подходит.
m ≠ 2: D = 16 − 4(m − 2) = 24 − 4m = 0 ⇒ m = 6 (уравнение 4x² + 4x + 1 = (2x + 1)² = 0).
Ответ: m ∈ {2; 6}. Если забыть случай a = 0, потеряется m = 2.
2) D = 36 − 4k > 0 ⇒ k < 9. Ответ: (−∞; 9).
3) k = 0: 2x + 1 = 0 — корень есть, не подходит.
k ≠ 0: D = 4 − 4k < 0 ⇒ k > 1. Ответ: (1; +∞).

Трёхчлен, сохраняющий знак при всех x

ax² + bx + c > 0 (при всех x) ⇔ a > 0 и D < 0; ax² + bx + c < 0 (при всех x) ⇔ a < 0 и D < 0
где:
  • aнаправление ветвей: a > 0 — вверх, a < 0 — вниз
  • D < 0парабола не пересекает ось Ox

Для нестрогих неравенств (≥ 0, ≤ 0) берут D ≤ 0. Если a зависит от параметра, проверь a = 0 отдельно: bx + c сохраняет знак при всех x, только если b = 0.

Интерактив
Загрузка симуляции…
Парабола y = −x² + 4x + m. Двигай ползунок m: при m < −4 вся парабола ниже оси Ox, при m = −4 она касается оси.
Трёхчлены, сохраняющие знак

1) При каких m неравенство −x² + 4x + m < 0 верно при всех x?
2) При каких a неравенство (a − 1)x² − 2(a − 1)x + 3 > 0 верно при всех x?
3) При каких k областью определения функции y = √(x² + 2x + k) является вся числовая прямая?

Показать решение
1) a = −1 < 0 ✓. D = 16 + 4m < 0 ⇒ m < −4. Ответ: (−∞; −4).
2) a = 1: 3 > 0 — верно при всех x, a = 1 подходит.
a ≠ 1: a − 1 > 0 и D/4 = (a − 1)² − 3(a − 1) = (a − 1)(a − 4) < 0 ⇒ 1 < a < 4.
Ответ: [1; 4) — 1 входит, 4 нет (при a = 4 D = 0, и в точке x = 1 выражение равно 0).
3) x² + 2x + k ≥ 0 при всех x: a = 1 > 0, D = 4 − 4k ≤ 0 ⇒ k ≥ 1. Ответ: [1; +∞).
В стиле ГЭЦ: закрытое задание

При каких k неравенство kx² − 4x + k − 3 < 0 верно при всех x?
A) (−∞; −1) B) (−1; 4) C) (4; +∞) D) (−∞; 0) E) (−∞; −1) ∪ (4; +∞)

Показать решение
k = 0: −4x − 3 < 0 верно только при x > −3/4 — не подходит.
k ≠ 0: { k < 0; D/4 = 4 − k(k − 3) < 0 } ⇒ { k < 0; k² − 3k − 4 > 0 } ⇒ { k < 0; k < −1 или k > 4 } ⇒ k < −1.
Ответ: A.
Вариант E — решение одного условия D < 0 без k < 0: при k > 4 ветви направлены вверх и выражение положительно.

Условия на корни: теорема Виета

x₁ + x₂ = −b/a; x₁ · x₂ = c/a; x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂x₁ + x₂ = −b/a; x₁ · x₂ = c/a; x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂
где:
  • x₁, x₂корни уравнения ax² + bx + c = 0

Формулы Виета работают, только если корни существуют: всегда добавляй условие D ≥ 0 (D > 0 для различных корней).

УсловиеСистема для параметра
Корни разных знаковc/a < 0 (тогда D > 0 автоматически)
Оба корня положительныD ≥ 0, x₁ + x₂ > 0, x₁x₂ > 0
Оба корня отрицательныD ≥ 0, x₁ + x₂ < 0, x₁x₂ > 0
Корни взаимно обратны (x₁x₂ = 1)c/a = 1 и D ≥ 0
Корни — противоположные числа (x₁ = −x₂)b = 0 и c/a < 0
Оба корня больше kD ≥ 0, a · f(k) > 0, x₀ = −b/(2a) > k
f(x) = ax² + bx + c. Последняя строка: точка k левее обоих корней — там знак f совпадает со знаком a, а вершина правее k.

Каждое из трёх условий последней строки необходимо. D ≥ 0 гарантирует существование корней. a · f(k) > 0 означает, что k не лежит между корнями: между корнями знак f противоположен знаку a. Но k может быть и левее обоих корней, и правее — это различает условие x₀ > k. Например, в уравнении x² − 2mx + m² − 1 = 0 при m = 0 D > 0 и f(2) = 3 > 0, но корни −1 и 1, оба меньше 2: нарушено условие x₀ > 2 (x₀ = 0).

Условия с теоремой Виета

1) При каких k корни уравнения x² − 2x + k − 5 = 0 разных знаков?
2) При каком a корни уравнения x² + (a − 1)x + a² − 3 = 0 взаимно обратны?
3) При каком a сумма квадратов корней уравнения x² + (a − 2)x − a = 0 наименьшая? Чему она равна?
4) При каких m оба корня уравнения x² − 2mx + m² − 1 = 0 больше 2?

Показать решение
1) x₁x₂ = k − 5 < 0 ⇒ k < 5. Ответ: (−∞; 5).
2) x₁x₂ = a² − 3 = 1 ⇒ a = ±2.
a = 2: x² + x + 1 = 0, D = 1 − 4 = −3 < 0 — корней нет, a = 2 отбрасываем.
a = −2: x² − 3x + 1 = 0, D = 9 − 4 = 5 > 0 ✓.
Ответ: −2.
3) x₁ + x₂ = 2 − a, x₁x₂ = −a; D = (a − 2)² + 4a = a² + 4 > 0 — корни существуют всегда.
x₁² + x₂² = (2 − a)² + 2a = a² − 2a + 4 = (a − 1)² + 3. Наименьшее значение 3 при a = 1.
4) D/4 = m² − (m² − 1) = 1 > 0 ✓; f(2) = 4 − 4m + m² − 1 = m² − 4m + 3 > 0 ⇒ m < 1 или m > 3; x₀ = m > 2.
Система: m > 3. Проверка: корни m − 1 и m + 1, m − 1 > 2 ⇔ m > 3. Ответ: (3; +∞).
В стиле ГЭЦ: кодируемое задание

При каком m корни уравнения (m − 1)x² + 10x + 3m − 7 = 0 взаимно обратны?

Показать решение
m ≠ 1 (иначе уравнение линейное). x₁x₂ = (3m − 7)/(m − 1) = 1 ⇒ 3m − 7 = m − 1 ⇒ m = 3.
Проверка: m = 3 ⇒ 2x² + 10x + 2 = 0, D = 100 − 16 = 84 > 0 — корни есть, их произведение 2/2 = 1.
Ответ: 3.
Два способа: Виет и график

При каких a уравнение x² − 6x + 5 = a имеет два различных положительных корня?

Показать решение
Через Виета: x² − 6x + 5 − a = 0. D = 36 − 4(5 − a) = 16 + 4a > 0 ⇒ a > −4; x₁x₂ = 5 − a > 0 ⇒ a < 5; x₁ + x₂ = 6 > 0 ✓. Ответ: (−4; 5).
По графику: вершина параболы y = x² − 6x + 5 — (3; −4), ось Oy она пересекает в точке (0; 5). Прямая y = a пересекает часть графика при x > 0 в двух точках только при −4 < a < 5. При a = 5 корни 0 и 6 — 0 не положителен; при a = −4 корень один. Оба способа дают один ответ.
Письменное задание: полное исследование

При каких a уравнение ax² − (a + 1)x + 1 = 0 имеет два различных положительных корня? Запишите все этапы решения.

Показать решение
Решение. 1) a = 0: −x + 1 = 0 ⇒ x = 1 — корень один, a = 0 не подходит.
2) a ≠ 0: D = (a + 1)² − 4a = (a − 1)². Для двух различных корней D > 0 ⇒ a ≠ 1.
3) Корни: x = ((a + 1) ± |a − 1|)/(2a), то есть x₁ = 1 и x₂ = 1/a (проверка: ax² − (a + 1)x + 1 = (ax − 1)(x − 1)).
4) x₁ = 1 > 0; x₂ = 1/a > 0 ⇒ a > 0.
5) Объединяем условия: a > 0 и a ≠ 1.
Ответ: (0; 1) ∪ (1; +∞).
Критерии: исследован случай a = 0 — ⅓; верно найдены корни (или условия на D и по Виету) — ⅔; учтено a ≠ 1, ответ записан верно — 1.

Вершина параболы и параметр

x₀ = −b/(2a); y₀ = f(x₀) = −D/(4a)x₀ = −b/(2a); y₀ = f(x₀) = −D/(4a)
где:
  • (x₀; y₀)вершина параболы y = ax² + bx + c

Вершина в I четверти: x₀ > 0, y₀ > 0; во II: x₀ < 0, y₀ > 0; в III: x₀ < 0, y₀ < 0; в IV: x₀ > 0, y₀ < 0. На оси Ox ⇔ D = 0; на оси Oy ⇔ b = 0.

Интерактив
Загрузка симуляции…
Вершина параболы y = x² − 2mx + 2m + 3 — точка (m; −m² + 2m + 3). Проверь ползунком m: вершина в IV четверти только при m > 3.
Положение вершины

1) При каких m вершина параболы y = x² − 2mx + 2m + 3 лежит в IV четверти?
2) При каком c парабола y = x² + 4x + c касается оси Ox?
3) При каком m вершина параболы y = x² + 2(m − 3)x + 5 лежит на оси Oy?

Показать решение
1) x₀ = m, y₀ = m² − 2m² + 2m + 3 = −m² + 2m + 3.
{ m > 0; −m² + 2m + 3 < 0 } ⇒ { m > 0; m² − 2m − 3 > 0 } ⇒ { m > 0; m < −1 или m > 3 } ⇒ m > 3.
Ответ: (3; +∞).
2) Касание — вершина на оси Ox: D = 16 − 4c = 0 ⇒ c = 4 (y = (x + 2)²).
3) x₀ = −(m − 3) = 0 ⇒ m = 3.

Системы линейных уравнений с параметром

a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ — единственное решение; a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ — решений нет; a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ — бесконечно много решенийa₁/a₂ ≠ b₁/b₂ — единственное решение; a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ — решений нет; a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ — бесконечно много решений
где:
  • a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂уравнения системы

Геометрически прямые пересекаются, параллельны или совпадают. Если в знаменателе 0, вместо отношений проверяй a₁b₂ − a₂b₁ = 0. Подробнее — в уроке «Системы линейных уравнений».

Системы с параметром

1) При каких m система { mx + 4y = 8; x + my = 4 } имеет единственное решение, не имеет решений, имеет бесконечно много решений?
2) При каких a и b пара (2; −3) — решение системы { ax + 2y = 4; 3x − by = 15 }?
3) При каком k система { 2x + ky = 5; x + 3y = 2 } не имеет решений?

Показать решение
1) m/1 = 4/m ⇔ m² = 4 ⇔ m = ±2.
m ≠ ±2 — единственное решение.
m = 2: 2/1 = 4/2 = 8/4 = 2 — бесконечно много решений (уравнения совпадают).
m = −2: −2/1 = 4/(−2) = −2, но 8/4 = 2 ≠ −2 — решений нет.
2) Подставим x = 2, y = −3: 2a − 6 = 4 ⇒ a = 5; 6 + 3b = 15 ⇒ b = 3.
3) 2/1 = k/3 ⇒ k = 6; 5/2 ≠ 2 ✓ — при k = 6 прямые параллельны, решений нет.
Кодируемые задания: запиши ответ числом
  1. 1.Уравнение x² − 6x + k = 0 имеет единственный корень при k =
  2. 2.Наибольшее целое k, при котором уравнение x² − 6x + k = 0 имеет два различных корня:
  3. 3.Один из корней уравнения x² + px + 12 = 0 равен 3 ⇒ p =
  4. 4.В уравнении x² − 4x + m = 0 x₁² + x₂² = 10 ⇒ m =
  5. 5.Ордината вершины параболы y = x² − 2mx + m² + 3:
  6. 6.Система { 3x + ay = 6; x + 2y = 2 } имеет бесконечно много решений ⇒ a =

Главное

  • Если старший коэффициент зависит от параметра, сначала отдельно исследуй случай a = 0.
  • ax² + bx + c > 0 при всех x ⇔ a > 0, D < 0; < 0 ⇔ a < 0, D < 0.
  • Условия на корни записывают через формулы Виета, но всегда вместе с условием D ≥ 0 (или D > 0).
  • Вершина — точка (−b/(2a); −D/(4a)): четверть определяется знаками её координат.
  • Линейная система: отношения a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂ решают — одно решение, нет решений или бесконечно много.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12
Когда неравенство ax² + bx + c > 0 верно при всех x (a ≠ 0)?