Квадратный корень, корень n-й степени и степень с рациональным показателем

В этом уроке ты узнаешь

Находить арифметический квадратный корень и корень n-й степени, отличать рациональные числа от иррациональных
Выносить множитель из-под знака корня и вносить его под корень, приводить подобные радикалы и сравнивать корни
Записывать корни в виде степени с рациональным показателем и вычислять с помощью свойств степени
Избавляться от иррациональности в знаменателе и читать график y = √x

Лейла выбирает для комнаты квадратный ковёр. У ковра площадью 4 м² сторона 2 м, так как 2² = 4. А какова сторона ковра площадью 2 м²? Нужно такое число x, что x² = 2. 1,4² = 1,96 — мало, 1,5² = 2,25 — много; 1,41² = 1,9881, 1,42² = 2,0164… Поиск никогда не закончится: это число не записывается ни конечной, ни периодической десятичной дробью. Его обозначают √2.

На уроке «Степень с целым показателем и её свойства» мы научились возводить числа в степень. Корень отвечает на обратный вопрос: квадрат (куб, n-я степень) какого числа равен данному числу? К концу урока корни и степени заговорят на одном языке — языке степени с рациональным показателем.

Арифметический квадратный корень. Иррациональные и действительные числа

Определение

Арифметический квадратный корень

Арифметическим квадратным корнем из числа a ≥ 0 называется неотрицательное число, квадрат которого равен a; обозначение √a, число a называют подкоренным выражением. √49 = 7, так как 7 ≥ 0 и 7² = 49. Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается: квадрат любого числа неотрицателен.

(√a)² = a √a ≥ 0 (a ≥ 0)

где:

aподкоренное выражение, неотрицательное число

Два условия определения: квадрат корня равен подкоренному выражению, а сам корень неотрицателен. Уравнение x² = 49 имеет два корня (x = ±7), но √49 — только 7.

Вычисление квадратных корней

Вычислите или объясните, почему выражение не имеет смысла: 1) √0,09; 2) √(2¼); 3) (√7)²; 4) √(−16); 5) 3√0,16 − 6√(4/9).

Показать решение

1) 0,3 ≥ 0 и 0,3² = 0,09, значит, √0,09 = 0,3.
2) Переводим смешанное число в дробь: 2¼ = 9/4, √(9/4) = 3/2.
3) По определению (√7)² = 7.
4) Не имеет смысла: квадрат никакого числа не равен −16.
5) √0,16 = 0,4, √(4/9) = 2/3; 3 · 0,4 − 6 · 2/3 = 1,2 − 4 = −2,8.

√49, √0,09, √(9/4) — рациональные числа, а корни вроде √2, √3, √5 не равны никакой дроби. Допустим, √2 = p/q — несократимая дробь. Тогда p² = 2q², то есть p² чётно, а значит, чётно и p: p = 2k. Подставив, получим 4k² = 2q², q² = 2k² — q тоже чётно. И числитель, и знаменатель делятся на 2, что противоречит несократимости дроби. Вообще, если натуральное n не является точным квадратом, то √n иррационален.

Определение

Иррациональные и действительные числа

Иррациональное число нельзя записать в виде p/q (p — целое, q — натуральное число); его десятичная запись — бесконечная непериодическая дробь: √2 = 1,41421356…, π = 3,14159… Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел ℝ — каждой точке числовой прямой соответствует действительное число.

Оцените и классифицируйте

1) Между какими последовательными целыми числами находится √30? Найдите его с точностью до 0,1. 2) Сколько целых чисел лежит между √10 и √50? 3) Какие из чисел иррациональны: √16, √0,4, √0,04, √12, √(49/4)?

Показать решение

1) 25 < 30 < 36, значит, 5 < √30 < 6. Точнее: 5,4² = 29,16 < 30 < 30,25 = 5,5², а 5,45² = 29,7025 < 30, то есть √30 > 5,45. С точностью до 0,1 √30 ≈ 5,5 (точное значение 5,477…).
2) 9 < 10 < 16 и 49 < 50 < 64, значит, 3 < √10 < 4 и 7 < √50 < 8. Между ними 4, 5, 6, 7 — 4 целых числа.
3) √16 = 4, √0,04 = 0,2, √(49/4) = 7/2 — рациональны. 0,4 = 40/100 и √0,4 = √40 / 10; 40 не является точным квадратом, поэтому √0,4 иррационален. 12 — тоже не точный квадрат: √12 иррационален.

Свойства квадратного корня и преобразования

√(a²) = |a|

где:

aлюбое число
|a|модуль числа a

Корень не может быть отрицательным, поэтому корень из квадрата даёт не само число, а его модуль: √((−5)²) = √25 = 5 = |−5|. При a ≥ 0 √(a²) = a, при a < 0 √(a²) = −a.

Правило √(a²) = |a|

Упростите: 1) √((−8)²); 2) √((√3 − 2)²); 3) √(x² − 6x + 9) при x < 3; 4) √(a⁴) и √(a⁶) при a < 0.

Показать решение

1) |−8| = 8.
2) √3 ≈ 1,73 < 2, поэтому √3 − 2 < 0 и |√3 − 2| = 2 − √3.
3) x² − 6x + 9 = (x − 3)² (полный квадрат). √((x − 3)²) = |x − 3|; при x < 3 x − 3 < 0, значит, результат равен 3 − x.
4) √(a⁴) = |a²| = a² (квадрат неотрицателен). √(a⁶) = |a³|; при a < 0 a³ < 0, поэтому √(a⁶) = −a³.

√(a · b) = √a · √b (a ≥ 0, b ≥ 0) √(a / b) = √a / √b (a ≥ 0, b > 0)√(a · b) = √a · √b (a ≥ 0, b ≥ 0) √(a / b) = √a / √b (a ≥ 0, b > 0)

где:

a, bнеотрицательные числа (в частном b > 0)

Почему это верно? (√a · √b)² = (√a)² · (√b)² = ab и √a · √b ≥ 0 — значит, по определению это число и есть √(ab). Правило применяют в обе стороны: разбивают корень из произведения и объединяют произведение корней под одним корнем.

Корень из произведения и частного

Вычислите: 1) √(0,09 · 64); 2) √2 · √18; 3) √75 / √3; 4) √(2⁴ · 3⁶); 5) √1,6 · √90.

Показать решение

1) √0,09 · √64 = 0,3 · 8 = 2,4.
2) √(2 · 18) = √36 = 6.
3) √(75/3) = √25 = 5.
4) √(2⁴) · √(3⁶) = 2² · 3³ = 4 · 27 = 108 — при извлечении квадратного корня из степени с чётным показателем показатель делится пополам.
5) √(1,6 · 90) = √144 = 12: ни один из корней по отдельности не целый, а произведение — точный квадрат.

Если в подкоренном выражении есть множитель — точный квадрат, из него можно извлечь корень и записать перед корнем: √72 = √(36 · 2) = √36 · √2 = 6√2. Это вынесение множителя из-под знака корня. Обратное действие — внесение множителя под знак корня — нужно при сравнении корней: 3√5 = √(9 · 5) = √45. Знак минус перед корнем остаётся снаружи: −2√3 = −√12.

√(a² · b) = |a| · √b a√b = √(a² · b) (a ≥ 0, b ≥ 0)

где:

aмножитель, выносимый из-под корня (или вносимый под корень)
bнеотрицательное число, остающееся под корнем

Из-под корня число выходит как квадратный корень, а под корень вносится в квадрате. В буквенных выражениях не забывай про модуль: √(50x²) = 5|x|√2.

1
Найди наибольший точный квадрат
Разложи подкоренное число на два множителя так, чтобы один из них был наибольшим точным квадратом: 72 = 36 · 2. (Можно и 72 = 4 · 18, но в 18 остаётся точный квадрат 9.)
2
Разбей корень
√(36 · 2) = √36 · √2.
3
Извлеки корень из квадрата
√36 = 6, значит, √72 = 6√2.
4
Проверь
Под корнем не должно остаться множителей — точных квадратов, кроме 1. Можно проверить и на калькуляторе: 6 · 1,414 ≈ 8,49 и √72 ≈ 8,49.

Вынесение множителя из-под корня и внесение под корень

1) Вынесите множитель из-под знака корня: √48 и √200. 2) Упростите √(50x²) при x < 0. 3) Внесите множитель под знак корня: 3√5, 2√11 и −4√2.

Показать решение

1) √48 = √(16 · 3) = 4√3; √200 = √(100 · 2) = 10√2.
2) √(25 · 2 · x²) = 5|x|√2; при x < 0 |x| = −x, значит, √(50x²) = −5x√2 (это выражение положительно, так как x отрицателен).
3) 3√5 = √(9 · 5) = √45; 2√11 = √(4 · 11) = √44; минус остаётся снаружи: −4√2 = −√(16 · 2) = −√32.

Корни с одинаковыми подкоренными выражениями называют подобными радикалами: 2√3, −5√3 и √3. Их складывают как подобные слагаемые: коэффициенты складываются, корень не меняется. Неподобные корни нельзя объединить в один: √2 + √3 ≠ √5. Часто корни поначалу не выглядят подобными — сначала вынеси множители из-под корней.

Суммы и произведения корней

Упростите: 1) √12 + √27 − √48; 2) 3√50 − 2√32 + √8; 3) (√3 + 1)²; 4) (√5 − √2)(√5 + √2); 5) √2 · (√18 − 3√8).

Показать решение

1) √12 = 2√3, √27 = 3√3, √48 = 4√3; (2 + 3 − 4)√3 = √3.
2) 3 · 5√2 − 2 · 4√2 + 2√2 = 15√2 − 8√2 + 2√2 = 9√2.
3) По формуле (a + b)²: (√3)² + 2 · √3 · 1 + 1² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3.
4) Разность квадратов: (√5)² − (√2)² = 5 − 2 = 3.
5) √2 · √18 − 3 · √2 · √8 = √36 − 3√16 = 6 − 12 = −6.

0 ≤ a < b ⇔ √a < √b

где:

a, bнеотрицательные числа

Большему числу соответствует больший корень. Поэтому корни сравнивают двумя способами: вносят множители под корень и сравнивают подкоренные числа или, если обе части положительны, возводят их в квадрат — знак неравенства при этом не меняется.

Сравнение корней

Сравните: 1) 2√7 и 3√3; 2) √5 + √7 и √2 + √10; 3) 4 и √3 + √5.

Показать решение

1) 2√7 = √28, 3√3 = √27. 28 > 27, значит, 2√7 > 3√3.
2) Обе части положительны, возводим в квадрат: (√5 + √7)² = 12 + 2√35, (√2 + √10)² = 12 + 2√20. √35 > √20, значит, √5 + √7 > √2 + √10.
3) 4² = 16, (√3 + √5)² = 8 + 2√15 = 8 + √60. 16 = 8 + √64 и √64 > √60, значит, 4 > √3 + √5.

Корень n-й степени и степень с рациональным показателем

Определение

Корень n-й степени

Пусть n ≥ 2 — натуральное число. Корнем n-й степени из числа a называется число, n-я степень которого равна a; обозначение ⁿ√a, n — показатель корня. При чётном n корень определён только для a ≥ 0 и берётся его неотрицательное значение (арифметический корень): ⁴√81 = 3. При нечётном n корень существует для любого a и имеет тот же знак, что и a: ∛(−27) = −3, так как (−3)³ = −27.

(ⁿ√a)ⁿ = a ⁿ√(aⁿ) = |a| (n чётное) ⁿ√(aⁿ) = a (n нечётное)

где:

nпоказатель корня, n ≥ 2
aподкоренное выражение (в первом равенстве при чётном n a ≥ 0)

Первое равенство — это определение корня. Два других обобщают правило √(a²) = |a|: ⁴√((−2)⁴) = 2, но ∛((−2)³) = −2.

ⁿ√(a · b) = ⁿ√a · ⁿ√b ⁿ√(a / b) = ⁿ√a / ⁿ√b (ⁿ√a)ᵏ = ⁿ√(aᵏ) ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√aⁿ√(a · b) = ⁿ√a · ⁿ√b ⁿ√(a / b) = ⁿ√a / ⁿ√b (ⁿ√a)ᵏ = ⁿ√(aᵏ) ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a

где:

a, bнеотрицательные числа (в частном b > 0)
n, mпоказатели корней (натуральные, ≥ 2)
kнатуральное число

Свойства квадратного корня верны и для корней любой степени. При извлечении корня из корня показатели перемножаются: √(∛64) = ⁶√64 = 2.

Вычисления с корнями n-й степени

1) Найдите ⁴√81, ∛(−8), ⁵√32 и ⁴√0,0016. 2) Имеет ли смысл ⁴√(−16)? 3) Упростите ∛2 · ∛4 и ∛54. 4) ∛16 + ∛54. 5) √(∛64).

Показать решение

1) 3⁴ = 81 → 3; (−2)³ = −8 → −2; 2⁵ = 32 → 2; 0,2⁴ = 0,0016 → 0,2.
2) Не имеет смысла: четвёртая степень никакого числа не отрицательна.
3) ∛(2 · 4) = ∛8 = 2; ∛54 = ∛(27 · 2) = 3∛2.
4) ∛16 = ∛(8 · 2) = 2∛2, ∛54 = 3∛2; сумма равна 5∛2.
5) Показатели перемножаются: ⁶√64 = 2, так как 2⁶ = 64.

Можно ли записать корень как степень? Предположим, что правило (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ работает и для дробных показателей. Тогда (8^(1/3))³ = 8¹ = 8, то есть 8^(1/3) — число, куб которого равен 8, это ∛8 = 2. Поэтому по определению a^(1/n) = ⁿ√a, а a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ). После этого определения все свойства степени из прошлого урока верны и для дробных показателей.

a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ a^(−m/n) = 1 / a^(m/n) (a > 0)a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ a^(−m/n) = 1 / a^(m/n) (a > 0)

где:

aположительное основание
mцелое число — показатель степени
nнатуральное число n ≥ 2 — показатель корня

Знаменатель дробного показателя — показатель корня, числитель — показатель степени. Условие a > 0 важно: если принять (−8)^(1/3) = −2, то (−8)^(2/6) = ⁶√((−8)²) = ⁶√64 = 2, хотя 1/3 = 2/6.

Вычисление степеней с рациональным показателем

Вычислите: 1) 8^(2/3); 2) 16^(3/4); 3) 27^(−1/3); 4) 32^0,4; 5) 16^(3/4) + 27^(−1/3) · 9^(1/2); 6) 0,001^(−2/3).

Показать решение

1) (∛8)² = 2² = 4.
2) (⁴√16)³ = 2³ = 8.
3) 1 / 27^(1/3) = 1/∛27 = 1/3.
4) 0,4 = 2/5, поэтому 32^(2/5) = (⁵√32)² = 2² = 4.
5) 16^(3/4) = 8, 27^(−1/3) = 1/3, 9^(1/2) = 3; 8 + (1/3) · 3 = 9.
6) 0,001 = 10⁻³, поэтому (10⁻³)^(−2/3) = 10^((−3) · (−2/3)) = 10² = 100.

Упрощение через степени

Упростите (a > 0): 1) a^(1/2) · a^(1/3); 2) ∛(a²) · ⁶√(a²); 3) √(a · ∛a); 4) √2 · ⁴√4.

Показать решение

1) Показатели складываются: 1/2 + 1/3 = 5/6, значит, a^(5/6) = ⁶√(a⁵).
2) a^(2/3) · a^(2/6) = a^(2/3 + 1/3) = a¹ = a.
3) a · a^(1/3) = a^(4/3); (a^(4/3))^(1/2) = a^(2/3) = ∛(a²).
4) 4 = 2², поэтому ⁴√4 = 2^(2/4) = 2^(1/2) = √2. √2 · √2 = 2.

Избавление от иррациональности в знаменателе

В ответе принято не оставлять корень в знаменателе: 2√3 выглядит проще, чем 6/√3, и его удобнее сравнивать и складывать с другими корнями. Если умножить числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое выражение, значение дроби не изменится, — выбираем такое выражение, чтобы корень в знаменателе исчез.

a / √b = a√b / b c / (√x − √y) = c(√x + √y) / (x − y) c / (√x + √y) = c(√x − √y) / (x − y)a / √b = a√b / b c / (√x − √y) = c(√x + √y) / (x − y) c / (√x + √y) = c(√x − √y) / (x − y)

где:

bположительное число
x, yнеотрицательные числа, x ≠ y
√x ± √yвзаимно сопряжённые выражения

При умножении на сопряжённое выражение работает формула разности квадратов: (√x − √y)(√x + √y) = x − y, и в знаменателе корней не остаётся.

Избавьтесь от корня в знаменателе

1) 6/√3; 2) 5/(2√5); 3) 4/(√5 − 1); 4) 1/(√3 + √2); 5) 1/∛2.

Показать решение

1) Умножаем числитель и знаменатель на √3: 6√3 / 3 = 2√3.
2) Умножаем на √5: 5√5 / (2 · 5) = √5/2.
3) Умножаем на сопряжённое √5 + 1: 4(√5 + 1) / ((√5)² − 1²) = 4(√5 + 1) / 4 = √5 + 1.
4) Умножаем на √3 − √2: (√3 − √2) / (3 − 2) = √3 − √2. Проверка на калькуляторе: оба ≈ 0,318.
5) Умножаем на ∛4: ∛4 / ∛8 = ∛4/2.

Сравнение с помощью сопряжённого

Что больше: √7 − √6 или √6 − √5?

Показать решение

Умножаем и делим каждую разность на сопряжённое выражение: √7 − √6 = (7 − 6)/(√7 + √6) = 1/(√7 + √6) и √6 − √5 = 1/(√6 + √5).
Числители равны, больше та дробь, у которой знаменатель меньше: √6 + √5 < √7 + √6.
Значит, √6 − √5 > √7 − √6. Проверка: 0,213 > 0,196.

Функция y = √x и её график

Каждому x ≥ 0 поставим в соответствие его арифметический квадратный корень: y = √x. Несколько точек графика: (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), (2; ≈1,41). Это «половина параболы», которая начинается в начале координат и поднимается всё медленнее. Она симметрична правой ветви параболы y = x² относительно прямой y = x, потому что при x ≥ 0 возведение в квадрат и извлечение квадратного корня «отменяют» друг друга.

Область определения: x ≥ 0; множество значений: y ≥ 0. График не опускается ниже оси Ox.
Функция возрастает: большему x соответствует больший √x — отсюда правило сравнения корней.
Рост замедляется: когда x растёт от 1 до 4 (на 3 единицы), y растёт на 1; от 4 до 9 (на 5 единиц) — снова только на 1.
При 0 < x < 1 √x > x (√0,25 = 0,5 > 0,25), а при x > 1 √x < x.

Интерактив

Загрузка симуляции…

При x ≥ 0 функции y = x² и y = √x взаимно обратны: их графики симметричны относительно прямой y = x. График корня существует только при x ≥ 0. Наведи курсор на x = 4: √4 = 2.

Работа с графиком

1) Проходит ли график функции y = √x через точки A(49; 7), B(0,36; 0,6) и C(16; −4)? 2) Найдите x, если √x = 2,5. 3) Сравните числа 0,5 и √0,5.

Показать решение

1) √49 = 7 — A лежит на графике; √0,36 = 0,6 — B лежит; √16 = 4 ≠ −4 — C не лежит (график не бывает ниже оси Ox).
2) Возводим обе части в квадрат: x = 2,5² = 6,25.
3) 0 < 0,5 < 1, поэтому √0,5 > 0,5 (√0,5 ≈ 0,71).

Навыки работы с корнями понадобятся дальше: √D в формуле корней квадратного уравнения, переменная под знаком корня на уроке «Иррациональные уравнения и неравенства», сдвиги и растяжения графика y = √x на уроке «Функция и её свойства».

Проверь себя: заполни пропуск

1.√72 = √2
2.∛(−125) =
3.16^(3/4) =
4.(√7 − √3)(√7 + √3) =
5.√((1 − √2)²) = √2 −

Главное

√a (a ≥ 0) — неотрицательное число, квадрат которого равен a: (√a)² = a, √(a²) = |a|; из отрицательного числа квадратный корень не извлекается.
Если натуральное n не точный квадрат, √n иррационален; рациональные и иррациональные числа вместе образуют действительные числа.
√(ab) = √a · √b и √(a/b) = √a/√b, но √(a + b) ≠ √a + √b; выноси множители из-под корня и приводи подобные радикалы.
Корень чётной степени существует только при a ≥ 0 и неотрицателен, корень нечётной степени — при любом a; a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) (a > 0).
Если в знаменателе √b, умножай на √b; если √x ± √y — на сопряжённое выражение.
y = √x: x ≥ 0, y ≥ 0, функция возрастает; чтобы сравнить корни, сравни подкоренные числа.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12

Чему при любом a равно √(a²)?