Перейти к содержанию
Educora
RU
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Моё обучениеEducora StudioНастройки
Продвинутый7–8 классы22 мин36 / 82

Степень с целым показателем и её свойства

Степень с натуральным, нулевым и отрицательным показателем, все свойства степени, знак степени отрицательного числа, сравнение степеней, приведение к общему основанию и стандартный вид числа.

Проверь себя
В этом уроке ты узнаешь
  • Вычислять степени с натуральным, нулевым и отрицательным показателем и заранее определять их знак
  • Упрощать выражения с помощью свойств степени
  • Приводить степени к общему основанию, чтобы вычислять и сравнивать их
  • Записывать числа в стандартном виде и выполнять с ними вычисления

Допустим, бактерия делится надвое каждые 20 минут. За 5 часов происходит 15 делений, и из одной бактерии получается 2 · 2 · … · 2 (15 множителей) = 2¹⁵ = 32 768 бактерий. За сутки делений будет 72 — такое произведение уже не выпишешь по множителям, а запись 2⁷² понятна с первого взгляда. Степень — это короткая запись произведения одинаковых множителей. На этом уроке ты изучишь свойства степени, научишься выполнять громоздкие вычисления в одну-две строки и удобно записывать очень большие и очень маленькие числа — массу Земли или электрона.

Со степенями вида x², a³ ты уже встречался на уроке «Алгебраические выражения. Одночлены и многочлены», а правила знаков при умножении отрицательных чисел изучил на уроке «Действия с рациональными числами». Здесь мы доводим понятие степени до конца — до нулевого и отрицательного показателя. Следующий урок, «Квадратный корень, корень n-й степени и степень с рациональным показателем», посвящён обратному действию — извлечению корня.

Степень с натуральным показателем и её знак

Определение
Степень с натуральным показателем

При натуральном n ≥ 2 aⁿ — это произведение n множителей, каждый из которых равен a. Число a называют основанием степени, n — показателем степени, а нахождение произведения — возведением в степень. По определению a¹ = a. Запись a² читают «a в квадрате», a³ — «a в кубе».

aⁿ = a · a · … · a (n множителей)
где:
  • aоснование степени (любое число)
  • nпоказатель степени, натуральное число

В порядке действий возведение в степень выполняется раньше умножения: 2 · 3² = 2 · 9 = 18, а (2 · 3)² = 36 — другое выражение.

Вычисление степеней с натуральным показателем

Вычислите: 1) 3⁴; 2) (2/3)³; 3) 0,1³; 4) 5 · 2³ − 4²; 5) 1¹⁰⁰ + 0⁷.

Показать решение
1) 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 9 · 9 = 81.
2) В степень возводятся и числитель, и знаменатель: (2/3)³ = (2 · 2 · 2)/(3 · 3 · 3) = 8/27.
3) 0,1³ = 0,1 · 0,1 · 0,1 = 0,001 — после запятой 1 · 3 = 3 знака.
4) Сначала степени: 2³ = 8, 4² = 16. Затем 5 · 8 − 16 = 40 − 16 = 24.
5) Любая степень единицы равна 1, натуральная степень нуля равна 0: 1 + 0 = 1.

Знак степени отрицательного числа можно определить, не вычисляя её. Каждые два отрицательных множителя вместе дают положительное произведение. Если множителей чётное число, они разбиваются на пары и результат положителен; если нечётное — один отрицательный множитель остаётся «без пары», и результат отрицателен.

(−a)²ᵏ = a²ᵏ (−a)²ᵏ⁺¹ = −a²ᵏ⁺¹
где:
  • aлюбое число
  • 2kчётный показатель (k — натуральное число)
  • 2k + 1нечётный показатель

Чётная степень отрицательного числа положительна, нечётная — отрицательна. Значит, чётная степень любого числа не может быть отрицательной: x² ≥ 0, x⁴ ≥ 0.

Знак степени

Вычислите: 1) (−2)⁴ и −2⁴; 2) (−3)³; 3) (−1)¹⁰⁰ + (−1)¹⁰¹; 4) (−0,5)² · (−2)³.

Показать решение
1) Множителей чётное число: (−2)⁴ = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = 16. В записи −2⁴ скобок нет, степень относится только к 2: −2⁴ = −(2⁴) = −16.
2) Показатель нечётный, результат отрицателен: (−3)³ = −27.
3) (−1)¹⁰⁰ = 1 (чётный показатель), (−1)¹⁰¹ = −1 (нечётный); сумма равна 0.
4) (−0,5)² = 0,25 и (−2)³ = −8; 0,25 · (−8) = −2.
Интерактив
Загрузка симуляции…
Двигай ползунок n. При чётном n график симметричен относительно оси Oy и не опускается ниже оси Ox: (−a)ⁿ = aⁿ ≥ 0. При нечётном n отрицательный x даёт отрицательное значение. При 0 < x < 1 с ростом показателя значение уменьшается (0,5² > 0,5³), а при x > 1 — растёт. К n = 0 и отрицательным n вернись после следующего раздела.

Свойства степени

Свойства степени — не правила для зубрёжки: все они получаются подсчётом множителей. Например, 2³ · 2⁴ = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2 · 2): всего 3 + 4 = 7 двоек, то есть 2⁷. При делении одинаковые множители числителя и знаменателя сокращаются: в дроби 5⁶ / 5⁴ четыре пятёрки из шести сокращаются и остаётся 5².

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a ≠ 0)aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a ≠ 0)
где:
  • aобщее основание (при делении a ≠ 0)
  • m, nпоказатели степеней

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении из показателя числителя вычитается показатель знаменателя. Основание не меняется!

Произведение и частное

Упростите или вычислите: 1) 2³ · 2⁴; 2) x⁵ · x · x²; 3) 7¹² / 7¹⁰; 4) a⁷ · a³ / a⁸ (a ≠ 0); 5) 3¹⁵ / (3⁶ · 3⁷).

Показать решение
1) 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128.
2) У x без записанного показателя показатель равен 1: x⁵⁺¹⁺² = x⁸.
3) 7¹²⁻¹⁰ = 7² = 49 — вычислять 7¹² не нужно!
4) a⁷ · a³ = a¹⁰, a¹⁰ / a⁸ = a².
5) Сначала знаменатель: 3⁶ · 3⁷ = 3¹³. Затем 3¹⁵⁻¹³ = 3² = 9.
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
где:
  • aоснование
  • m, nпоказатели, которые перемножаются

При возведении степени в степень показатели перемножаются: (a³)² = a³ · a³ = a³⁺³ = a⁶. Скобки важны: 2^(3²) = 2⁹ = 512, а (2³)² = 2⁶ = 64.

Степень степени

1) (3²)³; 2) (x⁴)³ · x; 3) (a²)⁵ / a⁷ (a ≠ 0); 4) найдите значение (−2³)².

Показать решение
1) 3²·³ = 3⁶ = 729.
2) (x⁴)³ = x¹², затем x¹² · x = x¹³.
3) (a²)⁵ = a¹⁰, a¹⁰ / a⁷ = a³.
4) В скобках: −2³ = −8. Затем (−8)² = 64 — чётная степень «съедает» минус.
(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ (b ≠ 0)(a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ (b ≠ 0)
где:
  • a, bмножители (в частном b ≠ 0)
  • nобщий показатель

Степень произведения равна произведению степеней: (ab)³ = ab · ab · ab = a³b³. Правило читают и справа налево: степени с одинаковыми показателями можно объединять — 2⁵ · 5⁵ = (2 · 5)⁵.

Степень произведения и частного

1) (−2a³b)²; 2) (2/5)³; 3) 2⁵ · 5⁵; 4) 4³ · 25³; 5) 15⁴ / 5⁴.

Показать решение
1) Возводим в квадрат каждый множитель: (−2)² · (a³)² · b² = 4a⁶b².
2) 2³/5³ = 8/125.
3) Показатели равны — перемножаем основания: (2 · 5)⁵ = 10⁵ = 100 000.
4) (4 · 25)³ = 100³ = 1 000 000.
5) (15/5)⁴ = 3⁴ = 81.

Степень с нулевым и отрицательным показателем

Определение aⁿ имеет смысл только для натурального n: «ноль множителей» или «минус три множителя» не бывает. Поэтому записям 2⁰ и 2⁻³ придают такой смысл, чтобы все свойства продолжали работать. Посмотри на ряд: 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2 — при уменьшении показателя на 1 значение уменьшается вдвое. Продолжая, получаем 2⁰ = 2/2 = 1, 2⁻¹ = 1/2, 2⁻² = 1/4, 2⁻³ = 1/8. Правило деления даёт то же самое: a⁵ / a⁵ = 1, но и a⁵⁻⁵ = a⁰; a² / a⁵ = 1/a³, но и a²⁻⁵ = a⁻³.

a⁰ = 1 a⁻ⁿ = 1 / aⁿ (a ≠ 0)a⁰ = 1 a⁻ⁿ = 1 / aⁿ (a ≠ 0)
где:
  • aоснование, отличное от нуля
  • nнатуральное число

Степень с нулевым показателем равна 1, а отрицательный показатель означает переход к обратному числу. Выражения 0⁰ и 0⁻ⁿ не определены (делить на нуль нельзя). После этого определения все свойства степени верны для любых целых показателей.

Значения степеней с нулевым и отрицательным показателем

Вычислите: 1) 2⁻³; 2) 10⁻⁴; 3) (−5)⁰ и −5⁰; 4) (−2)⁻³; 5) 3⁻¹ + 6⁻¹.

Показать решение
1) 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 — отрицательный показатель не делает число отрицательным!
2) 10⁻⁴ = 1/10⁴ = 1/10 000 = 0,0001.
3) (−5)⁰ = 1, но −5⁰ = −(5⁰) = −1.
4) (−2)⁻³ = 1/(−2)³ = 1/(−8) = −1/8: знак определяется основанием, а не знаком показателя.
5) 3⁻¹ + 6⁻¹ = 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.
(a / b)⁻ⁿ = (b / a)ⁿ 1 / a⁻ⁿ = aⁿ(a / b)⁻ⁿ = (b / a)ⁿ 1 / a⁻ⁿ = aⁿ
где:
  • a, bчисла, отличные от нуля
  • nнатуральное число

Отрицательная степень дроби: «переверни» дробь и смени знак показателя. Степень с отрицательным показателем из знаменателя переходит в числитель с положительным показателем.

Отрицательные степени дробей

Вычислите: 1) (2/3)⁻²; 2) 0,2⁻²; 3) 1/2⁻³; 4) 1,5⁻¹.

Показать решение
1) «Переворачиваем» дробь: (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4.
2) Переводим десятичную дробь в обыкновенную: 0,2 = 1/5, значит, 0,2⁻² = (1/5)⁻² = 5² = 25.
3) 2⁻³ из знаменателя переходит в числитель как 2³: 1/2⁻³ = 2³ = 8.
4) 1,5 = 3/2, поэтому 1,5⁻¹ = 2/3.

После определения нулевого и отрицательного показателя все пять свойств работают для любых целых показателей. Будь внимателен со знаками: при вычитании раскрывай скобки, при умножении помни правило знаков.

Упрощение с целыми показателями

Упростите (переменные отличны от нуля): 1) 3⁻⁴ · 3⁶; 2) 5⁻² / 5⁻⁴; 3) (2⁻²)⁻³; 4) (a⁻³b²)⁻²; 5) x⁻² · x⁵ / x⁻¹.

Показать решение
1) 3⁻⁴⁺⁶ = 3² = 9.
2) 5⁻²⁻⁽⁻⁴⁾ = 5⁻²⁺⁴ = 5² = 25.
3) Перемножаем показатели: (−2) · (−3) = 6, значит, 2⁶ = 64.
4) (a⁻³)⁻² · (b²)⁻² = a⁶b⁻⁴ = a⁶/b⁴.
5) x⁻²⁺⁵ = x³, затем x³ / x⁻¹ = x³⁻⁽⁻¹⁾ = x⁴.

Приведение к общему основанию и сравнение степеней

Свойства работают только при одинаковых основаниях (или показателях). Если основания разные, раскладываем их на простые множители и приводим к общему основанию: 4 = 2², 8 = 2³, 0,5 = 2⁻¹, 9 = 3², 27 = 3³, 25 = 5², 0,04 = 5⁻². Такие задания часто встречаются на выпускных и вступительных экзаменах и решаются этим приёмом в одну-две строки.

n2ⁿ3ⁿ5ⁿ
1235
24925
3827125
41681625
5322433125
664729
71282187
82566561
9512
101024
Если узнавать эти степени, общее основание видно сразу: 64 = 2⁶ = 4³ = 8², 81 = 3⁴ = 9², 625 = 5⁴ = 25², 1024 = 2¹⁰ = 4⁵ = 32².
  1. 1
    Разложи основания

    Разложи каждое основание на простые множители и запиши в виде степени: 12 = 2² · 3, 0,125 = 1/8 = 2⁻³.

  2. 2
    Раскрой скобки

    С помощью (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ и (ab)ⁿ = aⁿbⁿ: 12³ = (2² · 3)³ = 2⁶ · 3³.

  3. 3
    Собери одинаковые основания

    Для каждого простого основания сложи показатели числителя и вычти показатели знаменателя.

  4. 4
    Вычисли и проверь

    Вычисли оставшиеся небольшие степени. В таких задачах ответ обычно целое число или простая дробь; если получилось огромное число, проверь вычисления.

Вычисление через общее основание

Вычислите: 1) 4¹⁰ / 8⁶; 2) 9⁵ / 27³; 3) 6⁵ / (2⁴ · 3⁶); 4) 0,25⁷ · 4⁸; 5) 12³ · 2⁻⁴ / 18².

Показать решение
1) 4¹⁰ = (2²)¹⁰ = 2²⁰, 8⁶ = (2³)⁶ = 2¹⁸; 2²⁰ / 2¹⁸ = 2² = 4.
2) 9⁵ = 3¹⁰, 27³ = 3⁹; 3¹⁰ / 3⁹ = 3.
3) 6⁵ = 2⁵ · 3⁵; 2⁵⁻⁴ · 3⁵⁻⁶ = 2 · 3⁻¹ = 2/3.
4) 0,25 = 1/4 = 4⁻¹: 4⁻⁷ · 4⁸ = 4¹ = 4.
5) 12³ = 2⁶ · 3³, 18² = (2 · 3²)² = 2² · 3⁴. Числитель: 2⁶⁻⁴ · 3³ = 2² · 3³. Частное: 2²⁻² · 3³⁻⁴ = 3⁻¹ = 1/3.

Чтобы сравнить степени, их приводят либо к общему основанию, либо к общему показателю. Затем работает одно из правил ниже. Это видно и на графике: в интерактивном графике выше меняй n и следи за значениями при x = 0,5 и x = 2.

a > 1, m > n ⇒ aᵐ > aⁿ 0 < a < 1, m > n ⇒ aᵐ < aⁿ 0 < a < b ⇒ aⁿ < bⁿ
где:
  • a, bположительные основания
  • m, nцелые показатели (в третьем правиле n — натуральное число)

Если основание больше 1, большему показателю соответствует большая степень; если основание между 0 и 1 — наоборот: 0,5² = 0,25 > 0,5³ = 0,125. При одинаковом натуральном показателе больше степень большего положительного основания.

Сравнение степеней

Сравните: 1) 2³⁰⁰ и 3²⁰⁰; 2) 27⁴ и 9⁷; 3) 0,3⁵ и 0,3⁷; 4) 5⁻³ и 5⁻²; 5) (−2)⁵ и (−3)⁴.

Показать решение
1) Основания — простые числа, поэтому приводим показатели к общему 100: 2³⁰⁰ = (2³)¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰, 3²⁰⁰ = (3²)¹⁰⁰ = 9¹⁰⁰. 8 < 9, значит, 2³⁰⁰ < 3²⁰⁰.
2) Приводим к основанию 3: 27⁴ = 3¹², 9⁷ = 3¹⁴. 3 > 1 и 12 < 14, значит, 27⁴ < 9⁷.
3) Основание между 0 и 1, большему показателю соответствует меньшая степень: 0,3⁵ > 0,3⁷.
4) 5 > 1 и −3 < −2, значит, 5⁻³ < 5⁻² (1/125 < 1/25).
5) (−2)⁵ = −32 < 0, (−3)⁴ = 81 > 0, значит, (−2)⁵ < (−3)⁴ — здесь всё решают знаки.

Стандартный вид числа

В астрономии, физике и химии приходится работать с очень большими и очень маленькими числами. Масса Земли примерно 5 970 000 000 000 000 000 000 000 кг, а масса электрона — 0,000…000911 кг (30 нулей после запятой). В такой записи легко ошибиться, считая нули. Степени числа 10 решают эту проблему: 5,97 · 10²⁴ кг и 9,11 · 10⁻³¹ кг.

Определение
Стандартный вид числа

Запись положительного числа в виде a · 10ⁿ, где 1 ≤ a < 10, n — целое число. Число n называют порядком числа: он показывает, на сколько «десятичных ступенек» число больше или меньше 1.

a · 10ⁿ, 1 ≤ a < 10
где:
  • aчисло с одной ненулевой цифрой до запятой
  • nпорядок числа, целое число

Если запятая переносится на k знаков влево, то n = k (числа больше 10); если на k знаков вправо, то n = −k (числа меньше 1).

  1. 1
    Поставь запятую

    Перенеси запятую так, чтобы перед ней осталась ровно одна ненулевая цифра: 384 400 → 3,844; 0,00056 → 5,6.

  2. 2
    Посчитай знаки

    Посчитай, на сколько знаков сдвинулась запятая: в 384 400 — на 5 влево, в 0,00056 — на 4 вправо.

  3. 3
    Выбери знак показателя

    Если число больше 10, n положительно, если меньше 1 — отрицательно: 3,844 · 10⁵, 5,6 · 10⁻⁴.

  4. 4
    Проверь условие

    a всегда должно удовлетворять условию 1 ≤ a < 10: 38,44 · 10⁴ и 0,56 · 10⁻³ равны нужным числам, но это не стандартный вид.

Запись в стандартном виде

Запишите в стандартном виде: 1) среднее расстояние от Земли до Луны — 384 400 км; 2) 0,00056; 3) 45 · 10⁶; 4) 0,3 · 10⁻²; 5) 7 200 000 000.

Показать решение
1) Запятая переносится на 5 знаков влево: 384 400 км = 3,844 · 10⁵ км.
2) Запятая переносится на 4 знака вправо: 5,6 · 10⁻⁴.
3) 45 — не стандартный вид: 45 = 4,5 · 10¹, поэтому 45 · 10⁶ = 4,5 · 10¹⁺⁶ = 4,5 · 10⁷.
4) 0,3 = 3 · 10⁻¹, поэтому 0,3 · 10⁻² = 3 · 10⁻¹⁻² = 3 · 10⁻³.
5) Запятая переносится на 9 знаков влево: 7,2 · 10⁹.
(a · 10ᵐ) · (b · 10ⁿ) = (a · b) · 10ᵐ⁺ⁿ (a · 10ᵐ) / (b · 10ⁿ) = (a / b) · 10ᵐ⁻ⁿ(a · 10ᵐ) · (b · 10ⁿ) = (a · b) · 10ᵐ⁺ⁿ (a · 10ᵐ) / (b · 10ⁿ) = (a / b) · 10ᵐ⁻ⁿ
где:
  • a, bмножители перед степенями 10
  • m, nпорядки чисел

Отдельно умножаем (делим) a и b, отдельно — степени 10. Если a · b ≥ 10, переносим запятую на один знак влево и увеличиваем порядок на 1. При сложении сначала уравниваем порядки.

Вычисления в стандартном виде

1) (3 · 10⁵) · (4 · 10⁻²); 2) (6 · 10⁸) / (2 · 10³); 3) Расстояние от Земли до Солнца примерно 1,5 · 10⁸ км, скорость света — около 3 · 10⁵ км/с. За сколько секунд солнечный свет доходит до Земли? 4) Масса Земли ≈ 5,97 · 10²⁴ кг, масса Луны ≈ 7,35 · 10²² кг. Примерно во сколько раз Земля тяжелее Луны? 5) 3,2 · 10⁵ + 4 · 10⁴.

Показать решение
1) (3 · 4) · 10⁵⁺⁽⁻²⁾ = 12 · 10³ = 1,2 · 10¹ · 10³ = 1,2 · 10⁴.
2) (6 / 2) · 10⁸⁻³ = 3 · 10⁵.
3) t = s / v = (1,5 · 10⁸) / (3 · 10⁵) = 0,5 · 10³ = 5 · 10² с, то есть около 500 с ≈ 8 минут 20 секунд.
4) (5,97 / 7,35) · 10²⁴⁻²² ≈ 0,812 · 10² ≈ в 81 раз.
5) Уравниваем порядки: 4 · 10⁴ = 0,4 · 10⁵; 3,2 · 10⁵ + 0,4 · 10⁵ = 3,6 · 10⁵.
Проверь себя: заполни пропуск
  1. 1.2⁵ · 2³ / 2⁶ =
  2. 2.(−1)⁷ + (−1)⁸ =
  3. 3.(2/3)⁻² =
  4. 4.4³ · 0,25³ =
  5. 5.0,00072 = 7,2 · 10ⁿ, n =
  6. 6.5⁰ + 5⁻¹ =

Главное

  • aⁿ — произведение n множителей, равных a; чётная степень отрицательного числа положительна, нечётная — отрицательна, а −aⁿ и (−a)ⁿ — разные выражения.
  • aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, (ab)ⁿ = aⁿbⁿ, (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ; для суммы такого правила нет.
  • a⁰ = 1 и a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0); отрицательный показатель не делает число отрицательным, а переводит его в обратное.
  • Разные основания раскладывай на простые множители и приводи к общему основанию; для сравнения ищи общее основание или общий показатель.
  • Стандартный вид: a · 10ⁿ, где 1 ≤ a < 10; при умножении множители a перемножаются, а порядки складываются.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12
Чему равно a⁰ при a ≠ 0?