Перейти к содержанию
Educora
RU
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Моё обучениеEducora StudioНастройки
Средний7–9 классы25 мин18 / 82

Решение задач с помощью уравнений и систем

Пять шагов построения модели текстовой задачи; движение (навстречу, вдогонку, по реке, поезд в тоннеле), совместная работа и трубы, смеси и сплавы, проценты и премии, задачи с таблицей и на цифры; отбор корней по смыслу задачи и полное решение письменного задания ГЭЦ (DİM).

Проверь себя
В этом уроке ты узнаешь
  • Строить модель текстовой задачи: выбирать неизвестное, выражать через него остальные величины и составлять уравнение или систему
  • Применять основные соотношения задач на движение, совместную работу, смеси и проценты
  • Решать задачи, заданные таблицей, и задачи на цифры с помощью системы
  • Записывать полное решение письменного задания и отбрасывать корни, не подходящие по условию

Большинство письменных заданий выпускных экзаменов — текстовые задачи: лодка плывёт по реке, две трубы наполняют бассейн, смешивают два раствора, продают билеты на концерт. Самый трудный шаг здесь — не решить уравнение, а составить его. В этом уроке разберём модель каждого типа и запишем решение так, как требует письменное задание ГЭЦ (DİM). Решение самих уравнений объяснено в уроках «Линейные уравнения», «Квадратные уравнения» и «Системы линейных уравнений».

Как построить модель: пять шагов

  1. 1
    1. Неизвестное

    Запиши «Пусть x — …»: что такое x и в каких единицах (км/ч, часы, кг). Чаще всего берут искомую величину.

  2. 2
    2. Таблица

    Вырази остальные величины через x; составь таблицу «скорость — время — путь» для движения, «производительность — время — работа» для работы, «масса — процент — чистое вещество» для смесей.

  3. 3
    3. Уравнение

    Возьми ещё не использованное условие: найди два равных выражения и приравняй их.

  4. 4
    4. Решение и отбор

    Реши уравнение и проверь корни по условию: отрицательная скорость, дробное число людей, скорость лодки меньше скорости течения отбрасываются.

  5. 5
    5. Ответ

    Запиши искомую величину с единицами: иногда ответ — не x, а 2x или x + 5.

Этап решенияПример критерия
Выбрано неизвестное, уравнение (система) составлено верно⅓
Уравнение решено верно⅔
Посторонний корень отброшен, ответ записан с единицами1
Письменные задания ГЭЦ оцениваются по этапам, и ставится только 0, ⅓, ½, ⅔ или 1 балл. Критерии пишутся отдельно для каждого задания; таблица — типичный пример. Писать только ответ рискованно — показывай каждый этап.

Задачи на движение

s = v · t
где:
  • sпуть (км, м)
  • vскорость (км/ч, м/с)
  • tвремя (ч, с)

Единицы должны быть согласованы: 1 м/с = 3,6 км/ч, 20 мин = 1/3 ч.

СитуацияКакая скорость или путь
Движение навстречускорость сближения v₁ + v₂
В одном направлении, вдогонкускорость сближения v₁ − v₂ (v₁ > v₂)
По реке: по течению / против теченияv + u / v − u
Поезд проходит мимо столбапуть = длина поезда L
Поезд полностью проходит тоннель (мост)s = Lₜ + L
v — собственная скорость лодки, u — скорость течения. Плот плывёт со скоростью течения.
Навстречу и вдогонку

1) Расстояние между городами A и B — 360 км. Одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля со скоростями 70 км/ч и 80 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
2) Велосипедист выехал со скоростью 12 км/ч. Через 1 час из того же места вслед за ним выехал мотоциклист со скоростью 36 км/ч. Когда и на каком расстоянии от старта мотоциклист догонит велосипедиста?

Показать решение
1) Скорость сближения 70 + 80 = 150 км/ч. t = 360 : 150 = 2,4 ч = 2 ч 24 мин.
2) Когда выезжает мотоциклист, между ними 12 · 1 = 12 км. Скорость сближения 36 − 12 = 24 км/ч. t = 12 : 24 = 0,5 ч. Расстояние: 36 · 0,5 = 18 км (проверка: велосипедист за 1,5 ч проезжает 12 · 1,5 = 18 км). Ответ: через 0,5 ч после выезда мотоциклиста, в 18 км от старта.
Письменное задание: движение по реке (полное решение)

Лодка проплыла по течению реки 48 км и вернулась обратно, затратив на весь путь 7 часов. Скорость течения 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки. Запишите все этапы решения.

Показать решение
Решение. Пусть собственная скорость лодки x км/ч (x > 2, иначе лодка не сможет плыть против течения).
Скорость по течению x + 2, против течения x − 2 км/ч; время 48/(x + 2) и 48/(x − 2) ч.
Уравнение: 48/(x + 2) + 48/(x − 2) = 7.
Умножим обе части на (x + 2)(x − 2): 48(x − 2) + 48(x + 2) = 7(x² − 4) ⇒ 96x = 7x² − 28 ⇒ 7x² − 96x − 28 = 0.
D = 96² + 4 · 7 · 28 = 9216 + 784 = 10000; x = (96 ± 100)/14 ⇒ x₁ = 14, x₂ = −2/7.
x₂ < 0 не удовлетворяет условию и отбрасывается.
Проверка: 48/16 + 48/12 = 3 + 4 = 7. ✓
Ответ: 14 км/ч.
Критерии: уравнение составлено — ⅓; решено верно — ⅔; посторонний корень отброшен, ответ с единицами — 1.
LLₜLs = Lₜ + L
Чтобы полностью пройти тоннель, голова поезда проходит длину тоннеля плюс собственную длину поезда.
Поезд, столб, тоннель и мост

1) Поезд проходит мимо столба за 15 секунд, а тоннель длиной 450 м — за 45 секунд. Найдите длину и скорость поезда.
2) Поезд длиной 300 м со скоростью 72 км/ч прошёл мост за 50 секунд. Найдите длину моста.

Показать решение
1) Пусть скорость v м/с, длина L м. Столб: L = 15v. Тоннель: L + 450 = 45v.
Вычтем: 450 = 30v ⇒ v = 15 м/с = 15 · 3,6 = 54 км/ч; L = 15 · 15 = 225 м.
2) 72 км/ч = 72 : 3,6 = 20 м/с. За 50 с голова поезда проходит 20 · 50 = 1000 м. Это сумма длин моста и поезда: мост 1000 − 300 = 700 м.

Совместная работа и трубы

Всю работу принимаем за 1. Рабочий (труба), выполняющий работу за t часов, имеет производительность 1/t: за час он выполняет 1/t часть работы. При совместной работе производительности складываются, а производительность сливной трубы вычитается.

1/t = 1/t₁ + 1/t₂1/t = 1/t₁ + 1/t₂
где:
  • t₁, t₂время, за которое каждый выполняет работу один
  • tвремя совместной работы

Для сливной трубы знак минус: 1/t = 1/t₁ − 1/t₂. Совместное время всегда меньше времени самого быстрого работника.

Производительности складываются

1) Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая — за 3 часа. За сколько часов они наполнят его вместе?
2) Наливная труба наполняет пустой бассейн за 4 часа, сливная опорожняет полный за 6 часов. За сколько часов наполнится пустой бассейн, если открыть обе?
3) Два мастера вместе выполняют работу за 12 дней. Первый один выполняет её за 20 дней. За сколько дней выполнит её второй мастер один?

Показать решение
1) 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 1/2 ⇒ t = 2 ч.
2) 1/4 − 1/6 = 3/12 − 2/12 = 1/12 ⇒ t = 12 ч.
3) Производительность второго: 1/12 − 1/20 = 5/60 − 3/60 = 2/60 = 1/30 ⇒ 30 дней.
Письменное задание: задача на работу с квадратным уравнением

Два рабочих вместе выполняют работу за 6 дней. Первому в одиночку нужно на 5 дней больше, чем второму. За сколько дней каждый выполнит работу один?

Показать решение
Решение. Пусть второй рабочий выполняет работу за x дней (x > 0), а первый — за x + 5 дней. Их производительности 1/x и 1/(x + 5).
Уравнение: 1/x + 1/(x + 5) = 1/6.
Умножим на 6x(x + 5): 6(x + 5) + 6x = x(x + 5) ⇒ x² + 5x − 12x − 30 = 0 ⇒ x² − 7x − 30 = 0.
Корни: x₁ = 10, x₂ = −3 (по Виету: 10 + (−3) = 7, 10 · (−3) = −30). x₂ < 0 — время не может быть отрицательным.
Второй рабочий выполнит работу за 10 дней, первый — за 10 + 5 = 15 дней.
Проверка: 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 1/6. ✓
Ответ: 15 дней и 10 дней.

Смеси, сплавы и проценты

c = m/M · 100%c = m/M · 100%
где:
  • cконцентрация (процентное содержание вещества)
  • mмасса чистого вещества
  • Mмасса всей смеси

Вместо процента может быть дано отношение: отношение 3 : 2 означает 3/5 = 60% и 2/5 = 40%.

c₁ · M₁ + c₂ · M₂ = c · (M₁ + M₂)
где:
  • c₁, c₂концентрации смешиваемых частей (десятичной дробью)
  • M₁, M₂их массы

Главная идея: количество чистого вещества до и после смешивания одинаково. Добавление воды — это c₂ = 0, добавление чистого вещества — c₂ = 1 (100%).

Раствор и сплав

1) Сколько воды нужно добавить к 300 г 20%-го раствора соли, чтобы получить 15%-й раствор?
2) Сколько граммов 10%-го и 30%-го растворов нужно взять, чтобы получить 400 г 25%-го раствора?
3) В 200 кг сплава массы меди и цинка относятся как 3 : 2. Сколько цинка нужно добавить, чтобы цинк составил половину сплава?

Показать решение
1) Соли 0,2 · 300 = 60 г, и это не меняется. Добавим x г воды: 60/(300 + x) = 0,15 ⇒ 300 + x = 400 ⇒ x = 100 г.
2) 10%-го x г, 30%-го y г: { x + y = 400; 0,1x + 0,3y = 0,25 · 400 = 100 }. y = 400 − x ⇒ 0,1x + 120 − 0,3x = 100 ⇒ 0,2x = 20 ⇒ x = 100 г, y = 300 г.
3) Меди 3/5 · 200 = 120 кг, цинка 80 кг. Добавляют только цинк, поэтому меди остаётся 120 кг. В конце медь — тоже половина: весь сплав должен весить 240 кг. Добавить: 240 − 200 = 40 кг. Проверка: цинка 80 + 40 = 120 кг, 120/240 = 50%. ✓
Как письменное задание (задача 2): система составлена — ⅓; решена верно — ⅔; ответ для обоих растворов с единицами — 1.
Проценты и премия

1) Месячная зарплата продавца — 600 манатов плюс премия 5% от продаж. В одном месяце она получила 950 манатов. На какую сумму она продала товар в этом месяце?
2) Товар продаётся со скидкой 15% за 68 манатов. Найдите цену до скидки.
3) Цена сначала выросла на 20%, потом снизилась на 20%. Как изменилась итоговая цена по сравнению с исходной?

Показать решение
1) Продажи x манатов: 600 + 0,05x = 950 ⇒ 0,05x = 350 ⇒ x = 7000 манатов.
2) 68 манатов — это 85% исходной цены: x · 0,85 = 68 ⇒ x = 80 манатов. (Прибавлять 15% от 68 неверно: процент берётся от исходной цены.)
3) x · 1,2 · 0,8 = 0,96x — цена снизилась на 4%. Подробнее — в уроке «Проценты».

Задачи с таблицей и на цифры: составляем систему

Для двух неизвестных нужны два уравнения: одно по «количеству» (билеты, страницы, минуты), другое по «деньгам» или «общему объёму». Таблица упорядочивает данные, а систему решаем подстановкой или сложением.

БилетЦена, манатовПродано
Взрослый5x
Детский3y
Всего164 маната40
Продажа билетов на концерт — данные первой задачи ниже.
Билеты, тариф и принтер

1) Сколько взрослых и сколько детских билетов продано по данным таблицы?
2) Тариф A: 10 манатов в месяц и 0,04 маната за минуту. Тариф B: 0,08 маната за минуту. При скольких минутах разговора в месяц оплата по обоим тарифам одинакова?
3) Принтер за 1 минуту печатает 20 чёрно-белых или 8 цветных страниц. За 30 минут напечатано всего 444 страницы. Сколько цветных страниц напечатано?

Показать решение
1) { x + y = 40; 5x + 3y = 164 }. y = 40 − x ⇒ 5x + 120 − 3x = 164 ⇒ 2x = 44 ⇒ x = 22, y = 18. Ответ: 22 взрослых и 18 детских билетов.
2) t минут: 10 + 0,04t = 0,08t ⇒ 0,04t = 10 ⇒ t = 250 минут.
3) x минут чёрно-белой печати, y минут цветной: { x + y = 30; 20x + 8y = 444 }. 20x + 8(30 − x) = 444 ⇒ 12x = 204 ⇒ x = 17, y = 13. Цветных страниц: 8 · 13 = 104 (внимание: спрашивают не y, а 8y).
Как письменное задание: система — ⅓; решение — ⅔; искомая величина (8y) записана верно — 1.
Задача на цифры с системой

Сумма цифр двузначного числа равна 11. При перестановке цифр число увеличивается на 45. Найдите число.

Показать решение
Пусть цифра десятков a, цифра единиц b: число 10a + b. { a + b = 11; (10b + a) − (10a + b) = 45 } ⇒ { a + b = 11; b − a = 5 } ⇒ b = 8, a = 3. Число 38 (83 − 38 = 45). О записи числа цифрами — в уроке «Деление с остатком, цифры и задачи на последнюю цифру».
Кодируемые задания: запиши ответ числом
  1. 1.54 км/ч = м/с
  2. 2.Трубы наполняют бассейн за 10 и 15 часов. Вместе: ч
  3. 3.В 200 г 15%-го раствора г соли
  4. 4.Собственная скорость лодки 20 км/ч, течение 4 км/ч. 48 км по течению — за ч
  5. 5.Половина пути со скоростью 60, половина — 30 км/ч: средняя скорость км/ч

Главное

  • Модель: неизвестное (с единицами) → таблица величин → уравнение из неиспользованного условия → решение и отбор корней → ответ на вопрос.
  • Движение: s = vt; навстречу v₁ + v₂, вдогонку v₁ − v₂, по реке v ± u, в тоннеле s = Lₜ + L.
  • Работа: вся работа — 1, производительность 1/t, при совместной работе производительности складываются (сливная труба вычитается).
  • Смеси: масса чистого вещества сохраняется; если добавляют только один компонент, другой не меняется.
  • Письменные задания оцениваются по этапам (0, ⅓, ½, ⅔, 1): чётко записывай уравнение, решение, отбор корней и ответ с единицами.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12
Два автомобиля движутся навстречу друг другу со скоростями v₁ и v₂. Чему равна скорость сближения?