Признаки равенства треугольников

В мебельном цехе в Гяндже делают треугольные кронштейны для полок. Должен ли мастер, чтобы убедиться, что новый кронштейн в точности такой же, как образец, измерить все шесть его элементов — три стороны и три угла? Нет: достаточно трёх правильно выбранных измерений. На этом уроке мы узнаем, каких именно и почему. Эти факты — признаки равенства треугольников — главный инструмент школьной геометрии: большинство доказательств в следующих уроках начинается словами «рассмотрим два треугольника…».

На уроке «Треугольники» мы познакомились с равнобедренным треугольником, медианой, биссектрисой и высотой. Теперь докажем, почему верны их свойства, и научимся строить фигуры только циркулем и линейкой.

Равные треугольники и соответствующие элементы

Две фигуры, вырезанные из бумаги, называют равными, если одну можно наложить на другую так, что они полностью совпадут. Фигуру при этом можно сдвигать, поворачивать и при необходимости переворачивать. Для треугольников это значит, что три стороны и три угла одного треугольника равны соответствующим сторонам и углам другого.

Порядок букв важен: запись △ABC = △KLM означает, что вершине A соответствует K, вершине B — L, вершине C — M. Поэтому все шесть равенств можно прочитать без чертежа: AB = KL, BC = LM, AC = KM, ∠A = ∠K, ∠B = ∠L, ∠C = ∠M.

Три признака равенства треугольников

Нужно ли проверять все шесть равенств? Нет. Треугольник полностью задаётся тремя правильно выбранными элементами: когда они зафиксированы, остальным трём «деваться некуда». Такие тройки называют признаками равенства. В учебниках они пронумерованы; для запоминания будем также пользоваться краткими названиями: сторону обозначим буквой С, угол — буквой У.

Почему это так? Наложим △A₁B₁C₁ на △ABC так, чтобы вершина A₁ совместилась с A, а луч A₁B₁ пошёл по лучу AB. Так как A₁B₁ = AB, точка B₁ попадёт в B. Так как ∠A₁ = ∠A, луч A₁C₁ пойдёт по лучу AC, а так как A₁C₁ = AC, точка C₁ попадёт в C. Все три вершины совместились, значит, совместились и треугольники. Это доказательство методом наложения.

Причина: положим A₁B₁ на AB. Так как углы равны, сторона из A₁ пойдёт по лучу AC, а сторона из B₁ — по лучу BC. Два луча пересекаются только в одной точке — в C, значит, C₁ совпадёт с C. А поскольку сумма углов треугольника 180°, при двух равных углах равны и третьи. Поэтому достаточно также стороны и любых двух углов (УУС): даже если сторона лежит не между данными углами, третий угол сводит задачу ко второму признаку.

Это видно с помощью циркуля. Проведём отрезок AB. Третья вершина находится на расстоянии AC от A, то есть на окружности с центром A, и на расстоянии BC от B — на окружности с центром B. Две окружности пересекаются не более чем в одной точке по каждую сторону от прямой AB, и эти точки симметричны относительно AB: они дают один и тот же треугольник, только перевёрнутый. Значит, три стороны полностью задают треугольник. Именно поэтому рама из трёх стержней не перекашивается — треугольник жёсткая фигура, — а рама из четырёх стержней перекашивается.

1. 1
   Отметь данные

   Отметь равные стороны чёрточками, а равные углы — дугами.

2. 2
   Найди скрытые равенства

   Общая сторона, вертикальные углы, углы при параллельных прямых, середина отрезка и биссектриса дают дополнительные равенства.

3. 3
   Выбери признак

   Проверь расположение трёх элементов: в СУС угол должен лежать между сторонами, в УСУ сторона — между углами.

4. 4
   Запиши равенство правильно

   Записывай соответствующие вершины в одном порядке, например △AOC = △BOD.

5. 5
   Сделай вывод

   В равных треугольниках соответствующие элементы равны — отсюда получаем нужное равенство сторон или углов.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

У прямоугольных треугольников одна пара равных элементов — прямые углы — уже есть. Поэтому достаточно равенства ещё двух элементов. Напомним: стороны, образующие прямой угол, — катеты, а самая длинная сторона, лежащая против прямого угла, — гипотенуза.

Идея доказательства: приложим треугольники друг к другу равными катетами BC и B₁C₁ так, чтобы прямые углы оказались рядом. Так как 90° + 90° = 180°, точки A, C и A₁ лежат на одной прямой, и получается треугольник ABA₁. Его стороны AB и A₁B — равные гипотенузы, значит, он равнобедренный и углы при основании равны: ∠A = ∠A₁ (это свойство доказано ниже). Тогда прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу.

Это тоже доказывается с помощью равных треугольников. Отразим треугольник ABC относительно катета AC и получим треугольник AB₁C. По двум катетам △ABC = △AB₁C, поэтому AB = AB₁ и ∠BAB₁ = 30° + 30° = 60°. В равнобедренном треугольнике с углом 60° при вершине углы при основании равны (180° − 60°) : 2 = 60°, значит, треугольник ABB₁ равносторонний и BB₁ = AB. Следовательно, BC = BB₁ : 2 = AB : 2.

Равные треугольники в доказательствах: равнобедренный треугольник и серединный перпендикуляр

Равные треугольники превращают чертёж в доказательство: чтобы доказать равенство двух отрезков или двух углов, достаточно найти два равных треугольника, в которых они являются соответствующими элементами. Так докажем свойства равнобедренного треугольника.

Доказательство: пусть O — середина AB, M — точка серединного перпендикуляра. В треугольниках AOM и BOM AO = OB, ∠AOM = ∠BOM = 90°, OM — общая сторона, поэтому они равны по первому признаку и MA = MB. Обратно: если MA = MB, то треугольник AMB равнобедренный, и его медиана MO является высотой, то есть M лежит на серединном перпендикуляре.

Построения циркулем и линейкой

В задачах на построение разрешены только два инструмента: линейка без делений (провести прямую через две точки) и циркуль (провести окружность с данным центром и радиусом). Правильность каждого классического построения обосновывается одним из признаков равенства, чаще всего третьим. Построение треугольника по трём сторонам:

1. 1
   Основание

   Проведи луч и отложи на нём циркулем отрезок AB = c.

2. 2
   Первая дуга

   Проведи дугу с центром A и радиусом b.

3. 3
   Вторая дуга

   Проведи дугу с центром B и радиусом a; точка пересечения дуг — вершина C.

4. 4
   Треугольник

   Соедини C с A и B. По третьему признаку все треугольники с такими сторонами равны. Если дуги не пересекаются, такого треугольника нет: наибольшая сторона должна быть меньше суммы двух других.

Построение биссектрисы угла:

1. 1
   Дуга

   Проведи дугу с центром в вершине A; пусть она пересечёт стороны угла в точках B и C.

2. 2
   Две равные дуги

   Проведи дуги одинакового радиуса (больше половины BC) с центрами B и C; пусть они пересекутся в точке D внутри угла.

3. 3
   Биссектриса

   Проведи луч AD. △ABD = △ACD (ССС: AB = AC, BD = CD, AD — общая), поэтому ∠BAD = ∠CAD.

Построение серединного перпендикуляра и середины отрезка:

1. 1
   Две окружности

   Проведи две окружности (или дуги) с центрами A и B одного радиуса r, большего половины AB.

2. 2
   Точки пересечения

   Окружности пересекаются в точках M и N: MA = MB = r и NA = NB = r.

3. 3
   Серединный перпендикуляр

   Проведи прямую MN. Каждая из точек M и N равноудалена от A и B, значит, обе лежат на серединном перпендикуляре, и MN — это он и есть. Точка O пересечения MN с AB — середина отрезка.

• Откладывание угла, равного данному: из вершин проводят дуги одинакового радиуса и переносят циркулем хорду, соединяющую концы дуги, — равенство углов обеспечивает третий признак.
• Перпендикуляр из точки к прямой: дуга с центром P пересекает прямую a в точках A и B. Так как PA = PB, точка P лежит на серединном перпендикуляре к AB — его и строим.