Перейти к содержанию
Educora
RU
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Моё обучениеEducora StudioНастройки
Продвинутый9 класс25 мин29 / 82

Квадратичная функция и её график

Функция y = ax², сдвиги параболы y = a(x − m)² + n, вершина x₀ = −b/(2a), ось симметрии, точки пересечения с осями, построение графика по шагам, влияние коэффициентов a, b, c на график, задачи на наибольшее и наименьшее значение и нахождение формулы по точкам.

Проверь себя
В этом уроке ты узнаешь
  • Строить графики функций y = ax² и y = a(x − m)² + n и объяснять сдвиги параболы
  • Находить вершину, ось симметрии и точки пересечения с осями параболы y = ax² + bx + c и строить её по шагам
  • Определять по графику число корней, знак функции и знаки коэффициентов a, b, c
  • Находить наибольшее или наименьшее значение квадратичной функции и составлять формулу параболы по данным точкам

Баскетбольный мяч, летящий в корзину, струя фонтана, которая поднимается и падает обратно, — если не учитывать сопротивление воздуха, все эти траектории являются параболами. На уроке «Квадратные уравнения» мы научились решать уравнение ax² + bx + c = 0. Теперь посмотрим на ax² + bx + c как на функцию, значение которой меняется вместе с x. По её графику сразу видно наивысшую точку полёта мяча, наибольшую площадь, которую можно огородить забором, и корни уравнения.

На уроке «Линейная функция и её график» мы увидели, что график функции y = kx + b — прямая. График квадратичной функции — кривая, но и он полностью определяется несколькими характерными точками. В этом уроке мы научимся их находить; позже, на уроке «Квадратные неравенства и метод интервалов», тот же эскиз поможет решать неравенства.

Функция y = ax²

Определение
Квадратичная функция

Функция, заданная формулой y = ax² + bx + c, где a, b, c — числа и a ≠ 0. Её область определения — все действительные числа, а график — кривая, которая называется параболой.

Простейший случай — y = x². Посмотри на таблицу: x и −x дают одинаковый y, так как (−x)² = x². Значит, график симметричен относительно оси ординат. Самая низкая точка — (0; 0): это вершина параболы. При удалении от вершины y растёт всё быстрее: при переходе от x = 1 к 2 он увеличивается на 3, от 2 к 3 — на 5. Поэтому у вершины парабола пологая, а на ветвях — крутая.

x−3−2−10123
y = x²9410149
y = 2x²188202818
y = ½x²4,520,500,524,5
y = −x²−9−4−10−1−4−9
При одном и том же x значение 2x² вдвое больше, ½x² — вдвое меньше, а −x² — противоположно по знаку. Каждая строка симметрична относительно 0.
y = ax²
где:
  • знак aнаправление ветвей: a > 0 — вверх, a < 0 — вниз
  • |a|ширина параболы: |a| > 1 — узкая, 0 < |a| < 1 — широкая

При a > 0 вершина — самая низкая точка, при a < 0 — самая высокая. Вершина (0; 0), ось симметрии — Oy. График y = −ax² — зеркальное отражение графика y = ax² относительно оси Ox.

Три вопроса о y = ax²

1) Лежит ли точка A(−3; 18) на параболе y = 2x²?
2) Парабола y = ax² проходит через точку B(2; −12). Найдите a и укажите направление ветвей.
3) Найдите значение функции y = ½x² при x = 4 и x = −4.

Показать решение
1) 2 · (−3)² = 2 · 9 = 18 — равенство верное, значит, точка A лежит на параболе.
2) −12 = a · 2² ⇒ 4a = −12 ⇒ a = −3. Так как a < 0, ветви направлены вниз.
3) ½ · 4² = ½ · 16 = 8; при x = −4 тоже получается 8 — по симметрии y(−4) = y(4).

Сдвиг параболы: y = a(x − m)² + n

Каждое значение функции y = x² + 3 на 3 больше значения y = x², поэтому весь график поднимается на 3 единицы вверх. Функция y = (x − 2)² принимает при x = 2 то значение (ноль), которое y = x² принимает при x = 0: каждое значение наступает на 2 единицы «позже», и график сдвигается на 2 единицы вправо. Внимание: «−» в скобке сдвигает вправо, «+» — влево.

y = a(x − m)² + n
где:
  • mсдвиг по горизонтали: m > 0 — вправо, m < 0 — влево
  • nсдвиг по вертикали: n > 0 — вверх, n < 0 — вниз
  • aкак в y = ax²: направление и ширина

Вершина — точка (m; n), ось симметрии — прямая x = m. График получается параллельным переносом параболы y = ax² на m единиц по горизонтали и на n единиц по вертикали; её форма не меняется.

Параболы в виде y = a(x − m)² + n

1) Найдите вершину параболы y = (x + 2)² − 1 и объясните, как она получается из y = x².
2) Найдите вершину параболы y = −2(x − 1)² + 8 и точки её пересечения с осью абсцисс.
3) Параболу y = 3x² сдвинули на 4 единицы влево и на 5 единиц вниз. Запишите формулу новой параболы.

Показать решение
1) (x + 2)² = (x − (−2))², значит, m = −2, n = −1. Вершина (−2; −1); график получается из y = x² сдвигом на 2 единицы влево и на 1 единицу вниз.
2) Вершина (1; 8); a = −2 < 0 — ветви вниз, 8 — наибольшее значение.
y = 0: −2(x − 1)² + 8 = 0 ⇒ (x − 1)² = 4 ⇒ x − 1 = ±2 ⇒ x = 3 и x = −1.
3) Влево на 4 — в скобке x + 4, вниз на 5 — в конце −5: y = 3(x + 4)² − 5, вершина (−4; −5).
Интерактив
Загрузка симуляции…
Двигай ползунки m и n: парабола сдвигается, не меняя формы, а её вершина всегда в точке (m; n). Меняй a: знак переворачивает ветви, а модуль делает параболу уже или шире.

y = ax² + bx + c: вершина, ось симметрии, точки пересечения с осями

Любую квадратичную функцию можно привести к виду с вершиной, выделив полный квадрат (этот приём — на уроке «Квадратные уравнения»): ax² + bx + c = a(x + b/(2a))² − (b² − 4ac)/(4a). Отсюда m = −b/(2a) и n = −D/(4a). Значит, график y = ax² + bx + c — это сдвинутая копия параболы y = ax².

x₀ = −b/(2a), y₀ = f(x₀) = −D/(4a)x₀ = −b/(2a), y₀ = f(x₀) = −D/(4a)
где:
  • x₀абсцисса вершины; ось симметрии — прямая x = x₀
  • y₀ордината вершины — наименьшее (a > 0) или наибольшее (a < 0) значение функции
  • Dдискриминант b² − 4ac

На практике y₀ удобнее находить не по формуле, а подстановкой x₀ в функцию.

Находим вершину

Найдите вершину параболы: 1) y = x² − 6x + 5; 2) y = −2x² + 8x − 3; 3) y = 3x² + 12x.

Показать решение
1) x₀ = 6/2 = 3, y₀ = 9 − 18 + 5 = −4. Вершина (3; −4); вид с вершиной: y = (x − 3)² − 4.
2) x₀ = −8/(2 · (−2)) = 2, y₀ = −8 + 16 − 3 = 5. Вершина (2; 5). Проверка по формуле: D = 64 − 24 = 40, −D/(4a) = −40/(−8) = 5.
3) x₀ = −12/6 = −2, y₀ = 12 − 24 = −12. Вершина (−2; −12); так как c = 0, парабола проходит через начало координат.

Пересечение с осью ординат: подставляем x = 0 и получаем y = c — точка (0; c). Это единственная точка, которая находится без вычислений. Пересечение с осью абсцисс: y = 0, то есть уравнение ax² + bx + c = 0. Если D > 0, парабола пересекает ось Ox в двух точках; если D = 0 — касается её вершиной; если D < 0 — общих точек с осью Ox нет. Абсциссы этих точек называются нулями функции.

Построение графика по шагам и чтение графика

  1. 1
    Направление ветвей

    Посмотри на знак a: a > 0 — вверх, a < 0 — вниз.

  2. 2
    Вершина и ось

    Вычисли x₀ = −b/(2a), y₀ = f(x₀); отметь вершину и проведи ось x = x₀ пунктиром.

  3. 3
    Пересечение с Oy

    Отметь точку (0; c) и симметричную ей точку (2x₀; c).

  4. 4
    Нули

    Если D ≥ 0, реши уравнение ax² + bx + c = 0 и отметь корни на оси Ox.

  5. 5
    Дополнительные точки

    При необходимости найди одну-две точки подальше от вершины и отрази их симметрично.

  6. 6
    Проведи плавную кривую

    Соедини точки плавной кривой, которая в вершине закругляется без острого угла, и подпиши график.

График функции y = x² − 2x − 3 и его чтение

Постройте график функции y = x² − 2x − 3. По графику найдите область значений, промежутки возрастания и убывания и значения x, при которых функция положительна и отрицательна.

Показать решение
1) a = 1 > 0 — ветви вверх.
2) x₀ = 2/2 = 1, y₀ = 1 − 2 − 3 = −4. Вершина (1; −4), ось x = 1.
3) С осью Oy: (0; −3), симметричная точка (2; −3).
4) x² − 2x − 3 = 0 ⇒ x = 3, x = −1 (a − b + c = 0).
5) x = 4: y = 5; симметричная точка x = −2: y = 5.
Читаем график: область значений y ≥ −4 (наименьшее значение −4); функция убывает на (−∞; 1] и возрастает на [1; +∞); y < 0 при −1 < x < 3 (график ниже оси Ox), y > 0 при x < −1 или x > 3.
Интерактив
Загрузка симуляции…
Сначала на графике y = x² − 2x − 3. Меняй c — парабола сдвигается вверх-вниз. Меняй b — точка (0; c) остаётся на месте, а вершина смещается и по горизонтали, и по вертикали (она движется по параболе y = c − ax²). Меняй знак a — ветви переворачиваются.

По графику можно определить и знаки коэффициентов. a показывает направление ветвей. c — ордината точки пересечения графика с осью Oy. b вместе с a задаёт положение вершины: так как x₀ = −b/(2a), при a и b одного знака вершина левее оси Oy, при разных знаках — правее, при b = 0 — на оси Oy. Число общих точек с осью Ox даёт знак D.

Что видно на графикеВывод
Ветви вверх / внизa > 0 / a < 0
Парабола узкая / широкая|a| большой / маленький
Пересекает Oy выше / ниже начала координатc > 0 / c < 0
Проходит через начало координатc = 0
Вершина левее оси Oyx₀ < 0: a и b одного знака
Вершина правее оси Oyx₀ > 0: a и b разных знаков
Вершина на оси Oyb = 0
2 / 1 / 0 общих точек с осью OxD > 0 / D = 0 / D < 0
Определяем знаки по графику

Ветви параболы y = ax² + bx + c направлены вниз, она пересекает Oy ниже начала координат, её вершина правее оси Oy, а ось Ox она пересекает в двух точках. Определите знаки a, b, c и D и приведите пример такой функции.

Показать решение
Ветви вниз ⇒ a < 0. Пересечение с Oy ниже начала координат ⇒ c < 0.
Вершина справа: x₀ = −b/(2a) > 0 ⇒ a и b разных знаков ⇒ b > 0.
Две точки пересечения ⇒ D > 0.
Пример: y = −x² + 4x − 3: a = −1, b = 4, c = −3, D = 16 − 12 = 4 > 0; вершина (2; 1), нули 1 и 3.

Наибольшее и наименьшее значения. Формула по точкам

a > 0: min y = y₀; a < 0: max y = y₀; y₀ = f(−b/(2a))a > 0: min y = y₀; a < 0: max y = y₀; y₀ = f(−b/(2a))
где:
  • min yнаименьшее значение функции
  • max yнаибольшее значение функции
  • −b/(2a)−b/(2a)точка, в которой достигается это значение, — абсцисса вершины

У параболы с ветвями вверх самая низкая точка — вершина, а сверху она не ограничена; при ветвях вниз — наоборот. Область значений: y ≥ y₀ при a > 0 и y ≤ y₀ при a < 0.

Брошенный мяч

Мурад подбрасывает мяч вверх с высоты 1,8 м. Через t секунд мяч находится на высоте h = 1,8 + 12t − 5t² метров. На какую наибольшую высоту поднимется мяч и когда он снова окажется на высоте 1,8 м?

Показать решение
a = −5 < 0 — ветви вниз, вершина — наивысшая точка.
t₀ = −12/(2 · (−5)) = 1,2 с; h(1,2) = 1,8 + 14,4 − 7,2 = 9 м.
Высота 1,8 м: 12t − 5t² = 0 ⇒ t(12 − 5t) = 0 ⇒ t = 0 (момент броска) или t = 2,4 с.
Обрати внимание на симметрию: 2,4 = 2 · 1,2 — мяч 1,2 с поднимается и 1,2 с опускается.
Наибольшая площадь и наибольшее произведение

1) У Лейлы 24 м забора. Участок каких размеров ей нужно огородить, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей?
2) А если одна сторона участка — стена, а 20 м забора ставятся только вдоль трёх остальных сторон?
3) Каким наибольшим может быть произведение двух чисел, сумма которых равна 10?

Показать решение
1) Пусть одна сторона x м, тогда соседняя 12 − x м (полупериметр 12). S = x(12 − x) = −x² + 12x.
a = −1 < 0, x₀ = −12/(−2) = 6 ⇒ 6 м × 6 м, S = 36 м² — квадрат.
2) Две стороны, перпендикулярные стене, по x м, сторона вдоль стены 20 − 2x м (0 < x < 10). S = x(20 − 2x) = −2x² + 20x.
x₀ = −20/(−4) = 5 ⇒ 5 м × 10 м, S = 50 м².
3) Числа x и 10 − x: P = −x² + 10x, x₀ = 5 ⇒ наибольшее произведение 5 · 5 = 25.
Общий способ для любой функции — с помощью производной — на уроке «Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Задачи на оптимизацию».

Чтобы найти формулу параболы, обычно нужны три условия — ведь в формуле три коэффициента. В зависимости от данных выбери один из трёх видов: если известна вершина — y = a(x − m)² + n; если известны нули — y = a(x − x₁)(x − x₂); если известны только три точки — y = ax² + bx + c и система из трёх уравнений.

y = a(x − x₁)(x − x₂)
где:
  • x₁, x₂нули функции — абсциссы точек пересечения параболы с осью Ox
  • aнаходится по ещё одной точке

Это разложенный на множители вид квадратичной функции (формула ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂) из урока «Квадратные уравнения»); он существует при D ≥ 0. Вершина — посередине между корнями: x₀ = (x₁ + x₂)/2.

Находим формулу

Найдите формулу y = ax² + bx + c параболы, которая:
1) имеет вершину (2; −3) и проходит через точку (0; 5);
2) пересекает ось Ox в точках x = −1 и x = 3 и проходит через точку (0; −6);
3) проходит через точки (0; 1), (1; 2) и (−1; 6).

Показать решение
1) y = a(x − 2)² − 3; при x = 0: 5 = 4a − 3 ⇒ a = 2.
y = 2(x − 2)² − 3 = 2x² − 8x + 5.
2) y = a(x + 1)(x − 3); при x = 0: −6 = a · 1 · (−3) ⇒ a = 2.
y = 2(x + 1)(x − 3) = 2x² − 4x − 6.
3) x = 0 ⇒ c = 1. При x = 1: a + b + 1 = 2; при x = −1: a − b + 1 = 6.
a + b = 1 и a − b = 5 ⇒ a = 3, b = −2. y = 3x² − 2x + 1.
Проверка: y(−1) = 3 + 2 + 1 = 6 — верно.
Проверь себя
  1. 1.Абсцисса вершины параболы y = 2x² − 12x + 1: x₀ =
  2. 2.Наименьшее значение функции y = x² + 4x + 1 равно
  3. 3.Наибольшее значение функции y = −x² + 6x − 5 равно
  4. 4.Парабола y = 3x² − x − 7 пересекает ось Oy в точке y =
  5. 5.Ось симметрии параболы y = (x − 1)(x − 9): x =

Главное

  • График y = ax² + bx + c (a ≠ 0) — парабола: a > 0 — ветви вверх, a < 0 — вниз; чем больше |a|, тем парабола уже.
  • y = a(x − m)² + n — парабола y = ax², сдвинутая на m единиц по горизонтали и на n по вертикали; вершина (m; n).
  • Вершина: x₀ = −b/(2a), y₀ = f(x₀) = −D/(4a); ось симметрии x = x₀; если корни есть, x₀ — их середина.
  • Пересечение с Oy — (0; c); с Ox — корни уравнения ax² + bx + c = 0: D > 0 — две точки, D = 0 — касание, D < 0 — общих точек нет.
  • При a > 0 наименьшее, а при a < 0 наибольшее значение равно y₀ и достигается в вершине.
  • Формулу находят по трём условиям: через вид с вершиной, через нули или по трём точкам.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12
Куда направлены ветви параболы y = −3x² + x + 7?