Перейти к содержанию
Educora
RU
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Моё обучениеEducora StudioНастройки
Продвинутый9 класс22 мин30 / 82

Числовые последовательности и арифметическая прогрессия

Формула n-го члена и рекуррентная формула последовательности; разность, n-й член и характеристическое свойство арифметической прогрессии, её нахождение по двум членам и сумма первых n членов (приём Гаусса).

Проверь себя
В этом уроке ты узнаешь
  • Вычислять члены последовательности, заданной формулой n-го члена или рекуррентно
  • Распознавать арифметическую прогрессию, находить её разность, любой член, a₁ и d по двум членам
  • С помощью характеристического свойства находить неизвестные члены и проверять, образуют ли числа прогрессию
  • Вычислять сумму первых n членов, в том числе суммы натуральных и нечётных чисел

Каждую неделю Айсель кладёт в копилку на 2 маната больше, чем неделей раньше: в первую неделю 5 манатов, затем 7, 9, 11, … манатов. Сколько она положит на 10-й неделе? На какой неделе она положит 45 манатов? Сколько накопит за 10 недель? Можно считать неделю за неделей, но для 100 недель это слишком долго. На этом уроке вы научитесь отвечать на все такие вопросы с помощью формул в одну строку.

Айсель каждую неделю добавляет одну и ту же сумму — так же, равными шагами, менялась функция y = kx + b из урока «Линейная функция и её график». Арифметическая прогрессия — та же идея для пронумерованных чисел. На следующем уроке, «Геометрическая прогрессия», мы будем не прибавлять, а каждый раз умножать на одно и то же число.

Последовательность и способы её задания

Определение
Числовая последовательность

Ряд чисел, в котором каждому натуральному n поставлено в соответствие число aₙ: a₁, a₂, a₃, …, aₙ, … Эти числа — члены последовательности, n — номер члена. Например, в последовательности чётных чисел a₁ = 2, a₂ = 4, a₁₀ = 20. Иначе говоря, последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел.

Последовательность обычно задают одним из двух способов. Формула n-го члена выражает aₙ прямо через n: любой член, например a₁₀₀, можно вычислить, не зная соседних. Рекуррентная формула задаёт первый член (иногда первые два) и правило, по которому следующий член получают из предыдущих: тогда члены находят только по очереди, один за другим.

Вычисляем члены

1) Найдите a₁, a₂, a₃ и a₁₀ для последовательности aₙ = n² − 1.
2) Выпишите первые пять членов последовательности, заданной рекуррентной формулой a₁ = 2, aₙ₊₁ = 3aₙ − 1.
3) Последовательность Фибоначчи: a₁ = a₂ = 1, aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ. Выпишите первые восемь членов.

Показать решение
1) a₁ = 1 − 1 = 0, a₂ = 4 − 1 = 3, a₃ = 9 − 1 = 8, a₁₀ = 100 − 1 = 99. Для a₁₀ предыдущие члены не понадобились.
2) a₂ = 3 · 2 − 1 = 5, a₃ = 3 · 5 − 1 = 14, a₄ = 3 · 14 − 1 = 41, a₅ = 3 · 41 − 1 = 122.
Последовательность: 2, 5, 14, 41, 122, …
3) Каждый член равен сумме двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
Является ли число членом последовательности?

Являются ли числа 125 и 100 членами последовательности aₙ = 4n + 1?

Показать решение
Если число — член последовательности, его номер должен быть натуральным.
4n + 1 = 125 ⇒ 4n = 124 ⇒ n = 31 — натуральное число, значит 125 = a₃₁.
4n + 1 = 100 ⇒ 4n = 99 ⇒ n = 24,75 — не натуральное, значит 100 не является членом.

Арифметическая прогрессия: разность и формула n-го члена

Определение
Арифметическая прогрессия

Последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа d: aₙ₊₁ = aₙ + d. Число d — разность прогрессии: d = aₙ₊₁ − aₙ (любой член минус предыдущий).

Знак разности показывает «направление»: при d > 0 прогрессия возрастающая (3, 7, 11, 15, …; d = 4), при d < 0 — убывающая (20, 17, 14, 11, …; d = −3), при d = 0 все члены равны (5, 5, 5, …). В прогрессии Айсель a₁ = 5, d = 2.

Как найти n-й член, не проходя все шаги? Посчитаем шаги: a₂ = a₁ + d, a₃ = a₁ + 2d, a₄ = a₁ + 3d. Каждый раз коэффициент при d на 1 меньше номера члена: чтобы дойти от первого члена до n-го, нужно сделать n − 1 шагов, и на каждом прибавляется d.

aₙ = a₁ + (n − 1) · d
где:
  • aₙn-й член
  • a₁первый член
  • dразность прогрессии
  • nномер члена (натуральное число)

n-й член = первый член + (n − 1) шагов.

Копилка Айсель

a₁ = 5, d = 2.
1) Сколько Айсель положит на 10-й неделе?
2) На какой неделе она положит 45 манатов?

Показать решение
1) a₁₀ = a₁ + 9d = 5 + 9 · 2 = 23 маната.
2) 5 + (n − 1) · 2 = 45 ⇒ (n − 1) · 2 = 40 ⇒ n − 1 = 20 ⇒ n = 21, то есть на 21-й неделе.
Ещё три случая

1) Найдите 15-й член прогрессии с a₁ = 12 и d = −4.
2) Сколько членов в прогрессии 7, 11, 15, …, 207?
3) Какой член прогрессии 50, 46, 42, … первым окажется отрицательным?

Показать решение
1) a₁₅ = 12 + 14 · (−4) = 12 − 56 = −44.
2) d = 4. 7 + (n − 1) · 4 = 207 ⇒ (n − 1) · 4 = 200 ⇒ n − 1 = 50 ⇒ n = 51 член.
3) d = −4, aₙ = 50 − 4(n − 1) = 54 − 4n.
54 − 4n < 0 ⇒ n > 13,5 ⇒ n = 14.
a₁₄ = 54 − 56 = −2 (a₁₃ = 2 ещё положителен).

Часто a₁ и d не даны, а известны два члена прогрессии. От aₘ до aₙ — n − m шагов, поэтому отсчитывать можно от любого известного члена:

aₙ = aₘ + (n − m) · d ⇒ d = (aₙ − aₘ) / (n − m)aₙ = aₘ + (n − m) · d ⇒ d = (aₙ − aₘ) / (n − m)
где:
  • aₘ, aₙдва известных члена (m < n)
  • n − mчисло шагов между ними

Разность = разность членов : разность номеров. Затем a₁ = aₘ − (m − 1) · d.

Находим прогрессию по двум членам

1) a₃ = 10, a₇ = 22. Найдите a₁ и d.
2) a₅ = 17, a₁₂ = −4. Найдите a₁ и d.

Показать решение
1) От a₃ до a₇ — 4 шага: d = (22 − 10) : 4 = 3.
a₁ = a₃ − 2d = 10 − 6 = 4. Прогрессия: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, …
2) d = (−4 − 17) : (12 − 5) = −21 : 7 = −3.
a₁ = a₅ − 4d = 17 + 12 = 29.
Проверка: a₁₂ = 29 + 11 · (−3) = −4 ✓

Характеристическое свойство: каждый член — среднее соседних

Возьмём три последовательных члена aₙ₋₁, aₙ, aₙ₊₁. Средний больше левого на d и меньше правого на d: aₙ − aₙ₋₁ = aₙ₊₁ − aₙ. Отсюда 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁: каждый член, кроме первого, равен среднему арифметическому соседних. Верно и обратное: если каждый член последовательности (начиная со второго) — среднее арифметическое соседних, то это арифметическая прогрессия. С этим свойством связано и её название.

aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2 aₙ = (aₙ₋ₖ + aₙ₊ₖ) / 2aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2 aₙ = (aₙ₋ₖ + aₙ₊ₖ) / 2
где:
  • aₙ₋₁, aₙ₊₁соседние с aₙ члены
  • aₙ₋ₖ, aₙ₊ₖчлены, отстоящие от aₙ на k шагов влево и вправо, k < n

Средний член равен среднему арифметическому крайних — и для соседей, и для любых членов, равноудалённых от него.

Применяем свойство

1) В арифметической прогрессии a₄ = 11, a₆ = 19. Найдите a₅.
2) Числа x − 1, 2x + 1, 4x − 3 (в этом порядке) образуют арифметическую прогрессию. Найдите x и эти числа.
3) Какая из троек 2, 9, 16 и 3, 8, 14 — арифметическая прогрессия?

Показать решение
1) a₅ = (11 + 19) : 2 = 15.
2) 2(2x + 1) = (x − 1) + (4x − 3) ⇒ 4x + 2 = 5x − 4 ⇒ x = 6.
Числа: 5, 13, 21 (d = 8).
3) (2 + 16) : 2 = 9 — 2, 9, 16 — арифметическая прогрессия.
(3 + 14) : 2 = 8,5 ≠ 8 — 3, 8, 14 не является прогрессией.

Сумма первых n членов: приём Гаусса

Согласно известной истории, Карл Фридрих Гаусс, ставший потом великим математиком, ещё школьником очень быстро нашёл сумму чисел от 1 до 100. Он разбил числа на пары: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, … — каждая пара даёт 101, а пар 50: 50 · 101 = 5050. Эта идея годится для любой арифметической прогрессии.

Запишем сумму дважды — в прямом и обратном порядке: Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ и Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + … + a₁. Сложим члены, стоящие друг под другом: a₁ + aₙ, a₂ + aₙ₋₁, … При движении вправо верхний член растёт на d, а нижний уменьшается на d, поэтому сумма каждой пары одна и та же — a₁ + aₙ. Пар n штук: 2Sₙ = (a₁ + aₙ) · n.

Интерактив
Загрузка симуляции…
Высота каждого столбика равна 11: 1 + 10 = 2 + 9 = … = 10 + 1. Все столбики вместе дают 10 · 11 = 110 — это удвоенная сумма, значит 1 + 2 + … + 10 = 55.
Sₙ = (a₁ + aₙ) / 2 · nSₙ = (a₁ + aₙ) / 2 · n
где:
  • Sₙсумма первых n членов
  • a₁, aₙпервый и последний (n-й) члены
  • nчисло слагаемых

Сумма = среднее арифметическое первого и последнего членов × число членов.

Sₙ = (2a₁ + (n − 1) · d) / 2 · nSₙ = (2a₁ + (n − 1) · d) / 2 · n
где:
  • a₁, dпервый член и разность
  • nчисло членов

Когда последний член неизвестен: в первой формуле заменяем aₙ на a₁ + (n − 1)d.

Гаусс и Айсель

1) Найдите по формуле 1 + 2 + 3 + … + 100.
2) Сколько Айсель накопит за 10 недель (a₁ = 5, d = 2)?

Показать решение
1) a₁ = 1, a₁₀₀ = 100, n = 100:
S₁₀₀ = (1 + 100) : 2 · 100 = 50,5 · 100 = 5050.
2) Выше мы нашли a₁₀ = 23:
S₁₀ = (5 + 23) : 2 · 10 = 14 · 10 = 140 манатов.
Три задачи на сумму

1) Найдите сумму первых 20 членов прогрессии 7, 4, 1, …
2) Найдите сумму всех двузначных чисел, делящихся на 7.
3) В первом ряду амфитеатра 20 мест, в каждом следующем — на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в 15 рядах?

Показать решение
1) a₁ = 7, d = −3, n = 20:
S₂₀ = (2 · 7 + 19 · (−3)) : 2 · 20 = (14 − 57) · 10 = −430.
2) Эти числа образуют прогрессию 14, 21, …, 98 (d = 7). Число членов: (98 − 14) : 7 + 1 = 13.
S₁₃ = (14 + 98) : 2 · 13 = 56 · 13 = 728.
3) a₁ = 20, d = 2: a₁₅ = 20 + 14 · 2 = 48.
S₁₅ = (20 + 48) : 2 · 15 = 34 · 15 = 510 мест.
Обратная задача: сколько членов?

Сколько членов суммы 3 + 7 + 11 + … нужно сложить, чтобы получить 210?

Показать решение
a₁ = 3, d = 4: Sₙ = (6 + 4(n − 1)) : 2 · n = (2n + 1) · n.
(2n + 1) · n = 210 ⇒ 2n² + n − 210 = 0.
D = 1 + 8 · 210 = 1681 = 41², n = (−1 + 41) : 4 = 10. Второй корень −10,5 не натуральный — отбрасываем (см. урок «Квадратные уравнения»).
Проверка: a₁₀ = 39, S₁₀ = (3 + 39) : 2 · 10 = 210 ✓

Суммы натуральных и нечётных чисел

Две суммы встречаются так часто, что их полезно помнить как готовые формулы. В прогрессии 1, 2, …, n имеем a₁ = 1, aₙ = n; в прогрессии нечётных чисел 1, 3, 5, …, 2n − 1 — a₁ = 1, aₙ = 2n − 1. Подставив это в формулу суммы, получаем следующее.

1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1) / 2 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1) / 2 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²
где:
  • nколичество слагаемых
  • 2n − 1n-е нечётное число

И для чётных чисел: 2 + 4 + … + 2n = 2 · n(n + 1)/2 = n(n + 1).

По готовым формулам

1) 1 + 2 + … + 50 = ?
2) 1 + 3 + 5 + … + 99 = ?
3) 2 + 4 + 6 + … + 100 = ?

Показать решение
1) n = 50: 50 · 51 : 2 = 1275.
2) 2n − 1 = 99 ⇒ n = 50 нечётных чисел: 50² = 2500.
3) 2 + 4 + … + 100 = 2 · (1 + 2 + … + 50) = 2 · 1275 = 2550.
  1. 1
    Запишите известное

    a₁, d, n, aₙ, Sₙ — что дано и что нужно найти? В текстовой задаче определите, что является первым членом и шагом.

  2. 2
    Выберите формулу

    Для члена — aₙ = a₁ + (n − 1)d, для суммы — одна из формул Sₙ. Если даны два члена, сначала найдите d.

  3. 3
    Решите уравнение

    Найдите неизвестное. Если неизвестно n, ответ должен быть натуральным; дробные и отрицательные корни отбрасываем.

  4. 4
    Проверьте

    Выпишите несколько первых членов или пересчитайте ответ по другой формуле: результаты должны совпасть.

Проверь себя: заполни пропуск
  1. 1.Разность прогрессии 2, 9, 16, 23, … равна d =
  2. 2.Если a₁ = 3, d = 5, то a₁₁ =
  3. 3.Если a₆ = 14, a₈ = 20, то a₇ =
  4. 4.1 + 2 + 3 + … + 20 =
  5. 5.1 + 3 + 5 + … + 19 =
  6. 6.Сумма первых 10 членов прогрессии 5, 8, 11, … равна S₁₀ =

Главное

  • Последовательность задают формулой n-го члена aₙ = f(n) или рекуррентной формулой (первый член + правило получения следующего).
  • Арифметическая прогрессия: aₙ₊₁ = aₙ + d; aₙ = a₁ + (n − 1)d — n − 1 шагов от первого члена.
  • По двум членам: d = (aₙ − aₘ) / (n − m), затем a₁ = aₘ − (m − 1)d.
  • Каждый член — среднее арифметическое соседних: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2; при m + n = p + k имеем aₘ + aₙ = aₚ + aₖ.
  • Сумма: Sₙ = (a₁ + aₙ)/2 · n = (2a₁ + (n − 1)d)/2 · n (приём Гаусса).
  • 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2; 1 + 3 + … + (2n − 1) = n².

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12
Чему равна разность арифметической прогрессии 2, 5, 8, 11, …?