Перейти к содержанию
Educora
RU
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Моё обучениеEducora StudioНастройки
Продвинутый10–11 классы25 мин63 / 82

Производная суммы, произведения и частного

Производная суммы, разности, произведения на число, произведения и частного: откуда берутся правила, как их применять и когда выгоднее сначала упростить выражение — с множеством разобранных примеров.

Проверь себя
В этом уроке ты узнаешь
  • Находить производную любого многочлена почленно по правилам суммы, разности и постоянного множителя и вычислять значение производной в точке
  • Применять правило произведения для двух и трёх множителей и объяснять, почему производная произведения не равна u′ · v′
  • Находить производные дробей по правилу частного и выводить производные tg x и ctg x
  • Видеть, когда выгоднее сначала упростить выражение, и проверять ответ двумя способами

Лейла печёт шекербуру — традиционную азербайджанскую сладость к Новрузу — и продаёт её коробками. Её недельная выручка равна цене коробки, умноженной на число проданных коробок: R = p · q. С приближением Новруза растёт и то и другое: цена — на 0,5 маната в неделю, продажи — на 5 коробок в неделю. С какой скоростью растёт выручка? Просто перемножить скорости (0,5 · 5 = 2,5) — первое, что приходит в голову, и это неверно. Для суммы, произведения и частного есть свои правила дифференцирования; в этом уроке ты их изучишь и решишь задачу Лейлы.

На прошлом уроке мы изучили таблицу производных: мы знаем производные основных функций xⁿ, √x, eˣ, ln x, sin x, cos x. Но в задачах функции собираются из этих «кирпичиков» сложением, вычитанием, умножением и делением: 3x² − 5x, x² · sin x, ln x / x. Функция от функции (например, sin 2x или (3x − 2)⁵) — тема следующего урока о производной сложной функции.

Определение
Правила дифференцирования

Формулы, которые выражают производную суммы, разности, произведения на число, произведения и частного функций через сами функции и их производные. С их помощью можно продифференцировать любое выражение, составленное из табличных функций четырьмя арифметическими действиями.

Производная суммы и разности. Постоянный множитель

Почему производная суммы равна сумме производных? Пусть f = u + v. Когда аргумент получает приращение Δx, функция u получает приращение Δu, функция v — приращение Δv, а сумма — Δf = Δu + Δv. Разделим обе части на Δx: Δf / Δx = Δu / Δx + Δv / Δx. При Δx → 0 отношения справа стремятся к u′ и v′, значит, f′ = u′ + v′. С постоянным множителем так же: приращение функции C · u равно C · Δu, поэтому C выносится за знак производной.

(u ± v)′ = u′ ± v′
где:
  • u, vдифференцируемые функции от x
  • u′, v′их производные

Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных. Правило верно для любого числа слагаемых: (u₁ + u₂ + … + uₙ)′ = u₁′ + u₂′ + … + uₙ′.

Производная суммы

Найди производную: 1) y = x³ + sin x; 2) y = eˣ − ln x; 3) y = √x + 1/x − 5.

Показать решение
1) y′ = (x³)′ + (sin x)′ = 3x² + cos x.
2) y′ = (eˣ)′ − (ln x)′ = eˣ − 1/x.
3) y′ = (√x)′ + (1/x)′ − (5)′ = 1/(2√x) − 1/x² − 0 = 1/(2√x) − 1/x².
Каждое слагаемое дифференцируется отдельно; производная постоянного слагаемого равна 0, поэтому оно исчезает.
(C · u)′ = C · u′
где:
  • Cпостоянная (например, 5, −3, π, 1/2)
  • uдифференцируемая функция от x

Постоянный множитель выносится за знак производной. Постоянная в знаменателе — тоже множитель: x³/6 = (1/6) · x³.

Постоянный множитель

Найди производную: 1) y = 7x⁴; 2) y = −3 cos x; 3) y = x³/6; 4) y = 5/x.

Показать решение
1) y′ = 7 · (x⁴)′ = 7 · 4x³ = 28x³.
2) y′ = −3 · (cos x)′ = −3 · (−sin x) = 3 sin x.
3) y = (1/6) · x³, y′ = (1/6) · 3x² = x²/2.
4) y = 5 · (1/x), y′ = 5 · (−1/x²) = −5/x².
Сравни: (x² + 5)′ = 2x — постоянное слагаемое исчезает; (5x²)′ = 10x — постоянный множитель остаётся.
Определение
Линейность производной

Правила суммы и постоянного множителя вместе: производная суммы функций с постоянными коэффициентами равна сумме их производных с теми же коэффициентами. Например, производная функции 3 · sin x − 2 · eˣ равна 3 · cos x − 2 · eˣ.

(aₙxⁿ + … + a₂x² + a₁x + a₀)′ = n · aₙxⁿ⁻¹ + … + 2a₂x + a₁
где:
  • aₙ, …, a₁, a₀коэффициенты многочлена (постоянные), a₀ — свободный член
  • nстепень многочлена (натуральное число)

Многочлен дифференцируют почленно: к каждому члену применяют (xᵏ)′ = k · xᵏ⁻¹, коэффициент сохраняется, а свободный член a₀ исчезает. Степень производной на единицу меньше.

Многочлены, корни и дроби

Найди производную: 1) y = 4x³ − 5x² + 7x − 1; 2) y = 2x⁵ − x³/3 + 6; 3) y = 3x⁴ − 2√x + 5/x − 7; 4) y = 6∛x − 4/x² + x/2. 5) Для f(x) = x³ − 6x² + 5 вычисли f′(2) и f′(−1).

Показать решение
1) y′ = 4 · 3x² − 5 · 2x + 7 − 0 = 12x² − 10x + 7.
2) y′ = 2 · 5x⁴ − (1/3) · 3x² + 0 = 10x⁴ − x².
3) √x = x^(1/2), 1/x = x⁻¹: y′ = 12x³ − 2 · 1/(2√x) + 5 · (−1/x²) − 0 = 12x³ − 1/√x − 5/x².
4) Сначала запишем в виде степеней: y = 6x^(1/3) − 4x⁻² + (1/2)x.
y′ = 6 · (1/3) · x^(−2/3) − 4 · (−2) · x⁻³ + 1/2 = 2/∛(x²) + 8/x³ + 1/2.
5) f′(x) = 3x² − 12x, f′(2) = 12 − 24 = −12, f′(−1) = 3 + 12 = 15.
Сначала производная, потом значение: если подставить x = 2 до дифференцирования, получится производная числа f(2), то есть 0.

Производная произведения

Правило произведения легко увидеть на прямоугольнике. Площадь прямоугольника со сторонами u и v равна S = u · v. Когда аргумент получает приращение Δx, стороны удлиняются на Δu и Δv, и к площади добавляются три куска: полоса Δu · v, полоса u · Δv и маленький угол Δu · Δv. Значит, ΔS = Δu · v + u · Δv + Δu · Δv.

u · vΔu · vu · ΔvΔu·ΔvuΔuvΔv
Приращение площади: ΔS = Δu · v + u · Δv + Δu · Δv. После деления на Δx и перехода к Δx → 0 полосы дают u′ · v и u · v′, а угол исчезает.

Теперь разделим на Δx: ΔS / Δx = (Δu / Δx) · v + u · (Δv / Δx) + (Δu / Δx) · Δv. При Δx → 0 первые два слагаемых стремятся к u′ · v и u · v′. В третьем Δu / Δx → u′, но Δv → 0, поэтому оно стремится к нулю. Маленький угол исчезает, и остаётся правило произведения.

(u · v)′ = u′ · v + u · v′
где:
  • u, vмножители — дифференцируемые функции от x
  • u′, v′производные множителей

Производная произведения: «производная первого множителя на второй плюс первый на производную второго». Слагаемые можно менять местами: u · v′ + u′ · v — тоже верно.

Правило произведения для табличных функций

Найди производную: 1) y = x² · sin x; 2) y = x³ · ln x; 3) y = eˣ · cos x; 4) y = x · eˣ, затем вычисли y′(−1).

Показать решение
1) u = x², v = sin x, u′ = 2x, v′ = cos x.
y′ = 2x · sin x + x² · cos x.
2) u = x³, v = ln x, u′ = 3x², v′ = 1/x.
y′ = 3x² · ln x + x³ · (1/x) = 3x² ln x + x² = x²(3 ln x + 1).
3) y′ = (eˣ)′ · cos x + eˣ · (cos x)′ = eˣ cos x − eˣ sin x = eˣ(cos x − sin x).
4) y′ = 1 · eˣ + x · eˣ = (x + 1)eˣ, y′(−1) = 0 · e⁻¹ = 0.
Общий множитель полезно выносить за скобки: так легче определить знак производной.
Проверка раскрытием скобок

Найди производную функции y = (x² + 1)(x − 3) двумя способами и вычисли y′(1).

Показать решение
1-й способ (правило произведения): u = x² + 1, v = x − 3, u′ = 2x, v′ = 1.
y′ = 2x · (x − 3) + (x² + 1) · 1 = 2x² − 6x + x² + 1 = 3x² − 6x + 1.
2-й способ (сначала раскрыть скобки): y = x³ − 3x² + x − 3, y′ = 3x² − 6x + 1.
Ответы совпали. y′(1) = 3 − 6 + 1 = −2.
Неверное «правило» u′ · v′ дало бы 2x · 1 = 2x — совсем другую функцию.

Почему (u · v)′ ≠ u′ · v′? Простейшая проверка: x² = x · x. Верный ответ (x²)′ = 2x, а «перемножение производных» дало бы 1 · 1 = 1. Рисунок показывает и причину: u′ · v′ возникает только в маленьком углу (Δu · Δv / Δx ≈ u′ · v′ · Δx), и именно этот кусок исчезает при Δx → 0. Правило дают две оставшиеся полосы.

Интерактив
Загрузка симуляции…
Первый график — f(x) = x² · sin x. Угловой коэффициент второй прямой найден по правилу произведения: f′(a) = 2a · sin a + a² · cos a — эта прямая касается графика в точке с абсциссой a. Угловой коэффициент третьей прямой взят по неверному «правилу» 2a · cos a — при большинстве значений a она пересекает график. Меняй a и сравнивай.

Для трёх множителей применим правило дважды, сначала считая u · v одним множителем: (u · v · w)′ = (u · v)′ · w + (u · v) · w′. Раскрыв и первую скобку, получим формулу ниже.

(u · v · w)′ = u′ · v · w + u · v′ · w + u · v · w′
где:
  • u, v, wтри дифференцируемых множителя — функции от x

Сколько множителей, столько и слагаемых: в каждом слагаемом по очереди дифференцируется ровно один множитель, остальные остаются без изменений.

Три множителя

1) Найди производную функции y = x(x + 1)(x + 2) по правилу трёх множителей и проверь, раскрыв скобки. 2) Найди производную функции y = x · eˣ · sin x.

Показать решение
1) u = x, v = x + 1, w = x + 2; u′ = v′ = w′ = 1.
y′ = (x + 1)(x + 2) + x(x + 2) + x(x + 1) = (x² + 3x + 2) + (x² + 2x) + (x² + x) = 3x² + 6x + 2.
Проверка (раскроем скобки): y = x³ + 3x² + 2x, y′ = 3x² + 6x + 2 — тот же ответ.
2) y′ = 1 · eˣ · sin x + x · eˣ · sin x + x · eˣ · cos x = eˣ(sin x + x sin x + x cos x).
Выручка Лейлы

Сейчас коробка шекербуры стоит p = 12 манатов, и за неделю продаётся q = 40 коробок. Цена растёт на 0,5 маната в неделю, продажи — на 5 коробок в неделю: p′ = 0,5, q′ = 5. С какой скоростью растёт недельная выручка R = p · q?

Показать решение
1) Правило произведения: R′ = p′ · q + p · q′.
2) R′ = 0,5 · 40 + 12 · 5 = 20 + 60 = 80 (манатов в неделю).
3) 20 манатов дал рост цены, 60 манатов — рост продаж.
Ответ: выручка растёт примерно на 80 манатов в неделю. Произведение скоростей 0,5 · 5 = 2,5 дало бы неверный ответ, в 32 раза меньше.
Проверка: если цена и продажи неделю растут с этими скоростями, выручка вырастет с 12 · 40 = 480 манатов до 12,5 · 45 = 562,5 маната, то есть на 82,5 маната. Разница с 80 (2,5 маната) — это и есть маленький угол прямоугольника: Δp · Δq = 0,5 · 5.

Производная частного

Правило частного выводится из правила произведения. Пусть q = u / v; тогда u = q · v. По правилу произведения u′ = q′ · v + q · v′. Отсюда q′ = (u′ − q · v′) / v = (u′ − (u / v) · v′) / v. Умножив числитель и знаменатель на v, получим правило частного.

(u / v)′ = (u′ · v − u · v′) / v²(u / v)′ = (u′ · v − u · v′) / v²
где:
  • uчислитель — дифференцируемая функция от x
  • vзнаменатель, v ≠ 0
  • u′, v′производные числителя и знаменателя

Производная частного: из-за «−» в числителе порядок слагаемых важен — числитель всегда начинается с u′ · v; в знаменателе стоит v в квадрате.

Правило частного в действии

Найди производную: 1) y = (2x + 1)/(x − 3); 2) y = x/(x + 1); 3) y = ln x / x; 4) y = sin x/(1 + cos x).

Показать решение
1) u = 2x + 1, v = x − 3, u′ = 2, v′ = 1.
y′ = (2 · (x − 3) − (2x + 1) · 1)/(x − 3)² = (2x − 6 − 2x − 1)/(x − 3)² = −7/(x − 3)².
2) y′ = (1 · (x + 1) − x · 1)/(x + 1)² = 1/(x + 1)².
3) u = ln x, v = x, u′ = 1/x, v′ = 1.
y′ = ((1/x) · x − ln x · 1)/x² = (1 − ln x)/x².
4) y′ = (cos x · (1 + cos x) − sin x · (−sin x))/(1 + cos x)² = (cos x + cos² x + sin² x)/(1 + cos x)² = (1 + cos x)/(1 + cos x)² = 1/(1 + cos x).
В последнем шаге мы воспользовались тождеством sin² x + cos² x = 1.

Если числитель — постоянная (u = C), его производная равна нулю, и первое слагаемое в правиле частного исчезает: (C / v)′ = (0 · v − C · v′) / v². Для таких дробей удобна короткая формула.

(1 / v)′ = −v′ / v² (C / v)′ = −C · v′ / v²(1 / v)′ = −v′ / v² (C / v)′ = −C · v′ / v²
где:
  • Cпостоянная (числитель)
  • vзнаменатель, v ≠ 0
  • v′производная знаменателя

Производная дроби с постоянным числителем. Внимание: (C / v)′ ≠ C / v′.

Дроби с постоянным числителем

Найди производную: 1) y = 1/(x² + 1); 2) y = 5/(x − 2); 3) y = 3/(eˣ + 1); 4) y = 1/sin x. 5) Проверь табличную формулу (1/x)′ = −1/x².

Показать решение
1) v = x² + 1, v′ = 2x: y′ = −2x/(x² + 1)².
2) C = 5, v = x − 2, v′ = 1: y′ = −5/(x − 2)².
3) C = 3, v = eˣ + 1, v′ = eˣ: y′ = −3eˣ/(eˣ + 1)².
4) v = sin x, v′ = cos x: y′ = −cos x / sin² x.
5) v = x, v′ = 1: (1/x)′ = −1/x² — совпадает с таблицей.
Вывод производных tg x и ctg x

Зная, что tg x = sin x / cos x и ctg x = cos x / sin x, выведи формулы для (tg x)′ и (ctg x)′ по правилу частного. Затем вычисли (tg x)′ при x = π/4 и (ctg x)′ при x = π/6.

Показать решение
1) (tg x)′ = ((sin x)′ · cos x − sin x · (cos x)′)/cos² x = (cos x · cos x + sin x · sin x)/cos² x = (cos² x + sin² x)/cos² x = 1/cos² x (cos x ≠ 0).
2) (ctg x)′ = ((cos x)′ · sin x − cos x · (sin x)′)/sin² x = (−sin² x − cos² x)/sin² x = −1/sin² x (sin x ≠ 0).
3) x = π/4: 1/cos²(π/4) = 1/(1/2) = 2. x = π/6: −1/sin²(π/6) = −1/(1/4) = −4.
Основное тригонометрическое тождество sin² x + cos² x = 1 превращает оба числителя в число. Даже если ты забудешь эти две строки таблицы, их можно вывести заново за полминуты.

Сначала упрости, потом дифференцируй

Правила всегда дают верный ответ, но не всегда самым коротким путём. Прежде чем дифференцировать, посмотри на выражение: возможно, его можно превратить в сумму, для которой не нужны правила произведения и частного:

  • Раскрой скобки, если произведение состоит из двух небольших многочленов: (x + 2)(x − 5) = x² − 3x − 10, производная 2x − 3.
  • Раздели дробь почленно, если в знаменателе один член: (x² + 1)/x = x + 1/x.
  • Запиши корни и 1/xⁿ в виде степеней: √x = x^(1/2), 1/x³ = x⁻³, 1/√x = x^(−1/2).
Два способа — один ответ

Найди производную сначала по правилу, потом упростив выражение: 1) y = (x² + 1)/x; 2) y = (x³ − 2√x)/x; 3) y = (x² − 4)/(x − 2).

Показать решение
1) Правило частного: y′ = (2x · x − (x² + 1) · 1)/x² = (x² − 1)/x².
Упростив: y = x + x⁻¹, y′ = 1 − 1/x² = (x² − 1)/x². Ответ тот же.
2) Правило частного: y′ = ((3x² − 1/√x) · x − (x³ − 2√x) · 1)/x² = (3x³ − √x − x³ + 2√x)/x² = (2x³ + √x)/x² = 2x + 1/(x√x).
Упростив: y = x² − 2x^(−1/2), y′ = 2x − 2 · (−1/2) · x^(−3/2) = 2x + 1/(x√x). Второй способ заметно короче.
3) При x ≠ 2 имеем y = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, поэтому y′ = 1.
Правило частного это подтверждает: y′ = (2x(x − 2) − (x² − 4))/(x − 2)² = (x² − 4x + 4)/(x − 2)² = 1.

Находя производную любого выражения, действуй в таком порядке:

  1. 1
    Определи структуру

    Если бы ты вычислял значение выражения, какое действие было бы последним? Сложение или вычитание — правило суммы, умножение — правило произведения, деление — правило частного. Постоянный множитель сразу выноси.

  2. 2
    Поищи упрощение

    Раскрой скобки, раздели дробь с одночленом в знаменателе, запиши корни как степени. Часто после этого правила произведения и частного не нужны.

  3. 3
    Выпиши u, v, u′, v′

    Если остались произведение или частное, выпиши отдельно четыре выражения: u, v и их производные u′, v′ по таблице.

  4. 4
    Подставь в формулу

    Каждое выражение бери в скобки; в частном числитель начинается с u′ · v, а знаменатель равен v².

  5. 5
    Упрости и проверь

    Раскрой скобки, приведи подобные, вынеси общий множитель. Проверь результат вторым способом или в удобной точке.

Смешанная тренировка

Найди производную: 1) y = (x² − 3x) · eˣ; 2) y = (1 + ln x)/x; 3) y = x · sin x + cos x; 4) y = (x + 1)/√x. 5) Для f(x) = eˣ · (x² − 2x + 2) вычисли f′(1). 6) Для f(x) = x²/(x − 1) вычисли f′(3).

Показать решение
1) Правило произведения: y′ = (2x − 3) · eˣ + (x² − 3x) · eˣ = (x² − x − 3)eˣ.
2) Правило частного: y′ = ((1/x) · x − (1 + ln x) · 1)/x² = (1 − 1 − ln x)/x² = −ln x / x².
3) Правила суммы и произведения: y′ = (sin x + x cos x) + (−sin x) = x cos x.
4) Сначала разделим почленно: y = x^(1/2) + x^(−1/2), y′ = 1/(2√x) − 1/(2x√x) = (x − 1)/(2x√x).
5) f′(x) = eˣ(x² − 2x + 2) + eˣ(2x − 2) = x² · eˣ, f′(1) = e ≈ 2,72.
6) f′(x) = (2x(x − 1) − x² · 1)/(x − 1)² = (x² − 2x)/(x − 1)², f′(3) = (9 − 6)/2² = 3/4.
Проверь себя: значение производной
  1. 1.Если f(x) = 4x³ − 5x² + 7x − 1, то f′(1) =
  2. 2.Если f(x) = x · eˣ, то f′(0) =
  3. 3.Если f(x) = (x² + 1)(x − 3), то f′(3) =
  4. 4.Если f(x) = (2x + 1)/(x − 3), то f′(4) =
  5. 5.Если f(x) = x/(x + 1), то f′(1) =
  6. 6.Если f(x) = tg x, то f′(π/3) =

Правила этого урока охватывают только сложение, вычитание, умножение и деление. В функциях вроде sin 2x, e^(3x) или (3x − 2)⁵ одна функция стоит внутри другой: (3x − 2)⁵ можно раскрыть и продифференцировать почленно, но это очень долго. На следующем уроке мы изучим производную сложной функции — она позволяет дифференцировать такие функции за один шаг.

Главное

  • (u ± v)′ = u′ ± v′ и (C · u)′ = C · u′: многочлен дифференцируют почленно, свободный член исчезает, постоянный множитель остаётся.
  • (u · v)′ = u′ · v + u · v′, причём (u · v)′ ≠ u′ · v′. Для трёх множителей получается три слагаемых, в каждом дифференцируется один множитель.
  • (u / v)′ = (u′ · v − u · v′) / v²: числитель начинается с u′ · v, знаменатель возводится в квадрат.
  • При постоянном числителе (C / v)′ = −C · v′ / v²; правило частного даёт (tg x)′ = 1 / cos² x и (ctg x)′ = −1 / sin² x.
  • Когда можно, сначала упрощай: раскрывай скобки, дели дробь по числителю, записывай корни как степени — оба способа должны дать один ответ.
  • Чтобы найти значение производной в точке, сначала найди f′(x), а потом подставь x₀.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12
Какая формула выражает производную произведения?