Перейти к содержанию
Educora
RU
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Моё обучениеEducora StudioНастройки
Продвинутый10–11 классы25 мин64 / 82

Производная сложной функции

Как распознать внутреннюю и внешнюю функции, правило (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x), частный случай f(kx + b), табличные формулы для сложной функции, функции с несколькими слоями и сочетание правила с производной произведения и частного — с подробно разобранными примерами.

Проверь себя
В этом уроке ты узнаешь
  • Выделять в сложной функции внутреннюю и внешнюю функции
  • Применять правило дифференцирования сложной функции и его частный случай f(kx + b)
  • Дифференцировать сложные степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции по формулам для сложной функции
  • Дифференцировать функции с несколькими слоями и сочетать правило с производной произведения и частного

Эльвин катается на велосипеде по Бакинскому бульвару. Он делает один оборот педалей в секунду; передача за каждый оборот педалей поворачивает заднее колесо 3 раза; за каждый оборот колеса велосипед проезжает 2 м. С какой скоростью едет Эльвин? 1 · 3 · 2 = 6 м/с. Мы перемножили скорости изменения величин, связанных в цепочку: педали → колесо → дорога. Производная сложной функции находится точно так же.

На уроках «Таблица производных» и «Производная суммы, произведения и частного» мы научились дифференцировать sin x, eˣ, ln x, их суммы, произведения и частные. А как быть с sin(x²), e^(−x) или (3x − 2)⁵? Раскрывать скобки в (3x − 2)⁵ долго, а sin(x²) вообще нельзя записать как произведение простых функций. Правило дифференцирования сложной функции решает все такие задачи в одну строку.

Сложная функция: внутренняя и внешняя функции

Чтобы вычислить значение y = sin(x²) при x = 3, сначала возводим в квадрат: 3² = 9, и только потом берём синус: sin 9. Значит, функция состоит из двух «машин», соединённых в цепочку: первая превращает x в u = x², вторая превращает u в y = sin u.

Определение
Сложная функция

Функция вида y = f(g(x)): сначала вычисляется внутренняя функция u = g(x), затем к результату применяется внешняя функция y = f(u). Другие записи: y = f(u), u = g(x) или (f ∘ g)(x). Здесь u называют промежуточным аргументом.

Как узнать внешнюю функцию? Представьте, что вычисляете значение на калькуляторе. Действие, которое выполняется последним, — внешняя функция; всё, что стоит «внутри» него, — выражение в скобках, под корнем, в показателе степени или после sin, cos, ln, — внутренняя функция. Внешняя функция обычно одна из табличных: uⁿ, √u, eᵘ, aᵘ, ln u, sin u, cos u, tg u, ctg u.

ФункцияВнутренняя функцияВнешняя функцияПоследнее действие
(3x − 2)⁵u = 3x − 2y = u⁵возведение в пятую степень
sin(x²)u = x²y = sin uсинус
e^(−x)u = −xy = eᵘпоказательная функция eᵘ
√(x² + 9)u = x² + 9y = √uквадратный корень
ln(cos x)u = cos xy = ln uнатуральный логарифм
sin² x = (sin x)²u = sin xy = u²возведение в квадрат
cos 5xu = 5xy = cos uкосинус
Внутренняя функция — то, что стоит «внутри»: в скобках, под корнем, в показателе или после sin, cos, ln. Внимание: в sin² x внешняя функция — квадрат, а в sin(x²) — синус.

Главное правило: скорости изменения перемножаются

Вернёмся к велосипеду Эльвина. Угол поворота колеса зависит от угла поворота педалей, а пройденный путь — от угла поворота колеса. Если u меняется в 3 раза быстрее x, а y — в 2 раза быстрее u, то y меняется в 3 · 2 = 6 раз быстрее x. Так же переводят единицы: 1 час = 60 минут, 1 минута = 60 секунд, значит, 1 час = 60 · 60 = 3600 секунд. Производная — это скорость изменения, поэтому вдоль цепочки функций производные перемножаются.

(f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x)
где:
  • g(x)внутренняя функция
  • fвнешняя функция
  • f′(g(x))производная внешней функции; внутренняя функция остаётся внутри без изменений
  • g′(x)производная внутренней функции

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции (взятой от внутренней функции) на производную внутренней функции.

dy/dx = dy/du · du/dxdy/dx = dy/du · du/dx
где:
  • uпромежуточный аргумент, u = g(x)
  • dy/dudy/duпроизводная y по u (производная внешней функции)
  • du/dxdu/dxпроизводная u по x (производная внутренней функции)

Запись Лейбница. Кажется, будто du «сокращается», как в обычных дробях, — это удобно для запоминания, но не является доказательством. Для велосипеда: dy/du = 2 (2 м за оборот колеса), du/dx = 3, значит, dy/dx = 6.

Почему это верно? Дадим x приращение Δx. Тогда внутренняя функция получит приращение Δu, а внешняя — Δy, и (при Δu ≠ 0) Δy/Δx = (Δy/Δu) · (Δu/Δx). При Δx → 0 приращение Δu тоже стремится к нулю, первое отношение стремится к f′(u), второе — к g′(x). Переходя к пределу, получаем правило.

  1. 1
    Найдите слои

    Определите, какое действие выполняется последним (внешняя функция), и отдельно запишите внутреннюю: u = …

  2. 2
    Производная внутренней функции

    Вычислите u′.

  3. 3
    Производная внешней функции

    Найдите по таблице производную внешней функции по u: f′(u). Сам u не трогайте — он остаётся как есть.

  4. 4
    Перемножьте и подставьте

    Запишите y′ = f′(u) · u′ и подставьте вместо u его выражение через x.

  5. 5
    Упростите

    Соберите числовые множители впереди и, если можно, упростите ответ.

Производные пяти функций из таблицы

Найдите производную: 1) y = (3x − 2)⁵; 2) y = sin(x²); 3) y = e^(−x); 4) y = √(x² + 9); 5) y = ln(cos x).

Показать решение
1) u = 3x − 2, y = u⁵. В записи Лейбница: dy/du = 5u⁴, du/dx = 3, значит, y′ = 5u⁴ · 3 = 15(3x − 2)⁴.
2) u = x², u′ = 2x; внешняя функция — sin u, её производная — cos u. y′ = cos(x²) · 2x = 2x · cos(x²).
3) u = −x, u′ = −1; (eᵘ)′ = eᵘ. y′ = e^(−x) · (−1) = −e^(−x).
4) u = x² + 9, u′ = 2x; (√u)′ = 1/(2√u). y′ = 1/(2√(x² + 9)) · 2x = x / √(x² + 9).
5) u = cos x, u′ = −sin x; (ln u)′ = 1/u. y′ = (1/cos x) · (−sin x) = −tg x.
Проверка раскрытием скобок

f(x) = (x² + 1)³. Найдите f′(1) по правилу дифференцирования сложной функции и проверьте, раскрыв скобки.

Показать решение
1) u = x² + 1, u′ = 2x. f′(x) = 3(x² + 1)² · 2x = 6x(x² + 1)².
2) f′(1) = 6 · 1 · 2² = 24.
3) Проверка: (x² + 1)³ = x⁶ + 3x⁴ + 3x² + 1, f′(x) = 6x⁵ + 12x³ + 6x, f′(1) = 6 + 12 + 6 = 24.
Ответы совпали, но правило для сложной функции гораздо короче, а для (x² + 1)⁵⁰ раскрывать скобки практически невозможно.

Частный случай: внутренняя функция kx + b

Чаще всего внутренняя функция линейная: u = kx + b. Её производная — просто число k, поэтому правило становится совсем коротким: дифференцируйте так, будто kx + b — это просто x, а затем умножьте на k.

(f(kx + b))′ = k · f′(kx + b)
где:
  • kкоэффициент при x — производная внутренней функции: (kx + b)′ = k
  • bсвободный член; отдельного множителя не даёт, просто остаётся внутри
  • f′табличная производная внешней функции

Дифференцируйте скобку как x, затем умножьте на коэффициент при x. Например, (sin 3x)′ = 3 cos 3x, (e^(−2x))′ = −2e^(−2x).

Двенадцать быстрых примеров

Найдите производную устно: 1) sin 3x; 2) cos(2x + 1); 3) e^(5x); 4) e^(−2x); 5) (4x + 1)³; 6) √(2x + 7); 7) ln(3x − 1); 8) tg(x/2); 9) 1/(5 − x); 10) ln 7x; 11) (1 − x)⁴; 12) 2^(3x).

Показать решение
1) k = 3: (sin 3x)′ = 3 cos 3x.
2) k = 2: (cos(2x + 1))′ = −2 sin(2x + 1).
3) k = 5: (e^(5x))′ = 5e^(5x).
4) k = −2: (e^(−2x))′ = −2e^(−2x).
5) k = 4: 3(4x + 1)² · 4 = 12(4x + 1)².
6) k = 2: 2 · 1/(2√(2x + 7)) = 1/√(2x + 7).
7) k = 3: 3 · 1/(3x − 1) = 3/(3x − 1).
8) k = ½: ½ · 1/cos²(x/2) = 1/(2cos²(x/2)).
9) 1/u = u⁻¹ и (u⁻¹)′ = −1/u²; k = −1: (−1) · (−1/(5 − x)²) = 1/(5 − x)².
10) k = 7: 7 · 1/(7x) = 1/x. Проверка: ln 7x = ln 7 + ln x, а (ln 7)′ = 0, поэтому производная равна 1/x.
11) k = −1: 4(1 − x)³ · (−1) = −4(1 − x)³.
12) k = 3: 3 · 2^(3x) · ln 2.
Интерактив
Загрузка симуляции…
Первый график — y = sin kx, второй — её производная y′ = k · cos kx. Меняйте k: чем больше k, тем сильнее сжата волна и тем она круче, а график производной становится в k раз выше. Этот множитель k и есть производная внутренней функции kx.

Табличные формулы для сложной функции

Если применить правило к каждой строке таблицы производных с произвольной внутренней функцией u = u(x), получится «таблица для сложной функции». Её полезно выучить именно в таком виде: каждая формула — прежняя, только в конце добавлен множитель u′.

Табличная формулаДля сложной функцииПример
(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹(uⁿ)′ = n · uⁿ⁻¹ · u′((x² + 1)³)′ = 3(x² + 1)² · 2x
(√x)′ = 1 / (2√x)(√u)′ = u′ / (2√u)(√(3x + 1))′ = 3 / (2√(3x + 1))
(eˣ)′ = eˣ(eᵘ)′ = eᵘ · u′(e^(x³))′ = 3x² · e^(x³)
(aˣ)′ = aˣ · ln a(aᵘ)′ = aᵘ · ln a · u′(5^(2x))′ = 2 · 5^(2x) · ln 5
(ln x)′ = 1 / x(ln u)′ = u′ / u(ln(x² + 3))′ = 2x / (x² + 3)
(sin x)′ = cos x(sin u)′ = cos u · u′(sin 4x)′ = 4 cos 4x
(cos x)′ = −sin x(cos u)′ = −sin u · u′(cos(x³))′ = −3x² · sin(x³)
(tg x)′ = 1 / cos² x(tg u)′ = u′ / cos² u(tg 2x)′ = 2 / cos² 2x
(ctg x)′ = −1 / sin² x(ctg u)′ = −u′ / sin² u(ctg 3x)′ = −3 / sin² 3x
В каждой формуле последний множитель — u′, производная внутренней функции. При u = x имеем u′ = 1, и получается обычная таблица.
(uⁿ)′ = n · uⁿ⁻¹ · u′ (√u)′ = u′ / (2√u)(uⁿ)′ = n · uⁿ⁻¹ · u′ (√u)′ = u′ / (2√u)
где:
  • uвнутренняя функция u(x)
  • nлюбой действительный показатель (в том числе отрицательный и дробный)
  • u′производная внутренней функции

Степени и корни. Дроби вида 1/uⁿ сначала запишите как u⁻ⁿ, а корни — как степени: ∛u = u^(1/3). Тогда правило частного не понадобится.

Степени и корни: примеры

Найдите производную: 1) y = (x² − 3x + 1)⁴; 2) y = 1/(x² + 1)³; 3) y = √(4 − x²); 4) y = ∛(x² + 1); 5) для f(x) = √(x² + 16) вычислите f′(3).

Показать решение
1) u = x² − 3x + 1, u′ = 2x − 3: y′ = 4(x² − 3x + 1)³ · (2x − 3).
2) Запишем в виде степени: y = (x² + 1)⁻³. y′ = −3(x² + 1)⁻⁴ · 2x = −6x / (x² + 1)⁴. Правило частного не понадобилось.
3) u = 4 − x², u′ = −2x: y′ = −2x / (2√(4 − x²)) = −x / √(4 − x²).
4) y = (x² + 1)^(1/3): y′ = ⅓ · (x² + 1)^(−2/3) · 2x = 2x / (3∛((x² + 1)²)).
5) f′(x) = 2x / (2√(x² + 16)) = x / √(x² + 16); f′(3) = 3 / √25 = 3/5.
(eᵘ)′ = eᵘ · u′ (aᵘ)′ = aᵘ · ln a · u′ (ln u)′ = u′ / u(eᵘ)′ = eᵘ · u′ (aᵘ)′ = aᵘ · ln a · u′ (ln u)′ = u′ / u
где:
  • uвнутренняя функция u(x)
  • aоснование показательной функции: a > 0, a ≠ 1
  • ln aнатуральный логарифм основания — постоянное число
  • u′производная внутренней функции

Показательные и логарифмические функции. Формулу (ln u)′ = u′/u запомните так: «производная того, что внутри, делённая на то, что внутри». Для ln u внутренняя функция должна быть положительной.

Показательные и логарифмические функции: примеры

Найдите производную: 1) y = e^(x² − 1) (и вычислите y′(1)); 2) y = 3^(2x + 1); 3) y = 2^(−x²); 4) y = ln(x² + 4); 5) y = ln(sin x).

Показать решение
1) u = x² − 1, u′ = 2x. Экспонента остаётся без изменений и умножается на u′: y′ = 2x · e^(x² − 1); y′(1) = 2 · e⁰ = 2.
2) u = 2x + 1, u′ = 2: y′ = 3^(2x + 1) · ln 3 · 2 = 2 ln 3 · 3^(2x + 1).
3) u = −x², u′ = −2x: y′ = 2^(−x²) · ln 2 · (−2x) = −2x · ln 2 · 2^(−x²).
4) u = x² + 4, u′ = 2x: y′ = 2x / (x² + 4).
5) u = sin x, u′ = cos x: y′ = cos x / sin x = ctg x.
(sin u)′ = cos u · u′ (cos u)′ = −sin u · u′
где:
  • uвнутренняя функция (угол в радианах)
  • u′производная внутренней функции

Синус и косинус. Аргумент u остаётся без изменений, а минус в (cos u)′ не теряется.

Синус и косинус: примеры

Найдите производную: 1) y = sin(x³); 2) y = cos(π/3 − 2x); 3) y = cos(eˣ); 4) для f(x) = sin 2x вычислите f′(π/6).

Показать решение
1) u = x³, u′ = 3x²: y′ = cos(x³) · 3x² = 3x² · cos(x³).
2) u = π/3 − 2x, u′ = −2: y′ = −sin(π/3 − 2x) · (−2) = 2 sin(π/3 − 2x). Два минуса дают плюс.
3) u = eˣ, u′ = eˣ: y′ = −sin(eˣ) · eˣ = −eˣ · sin(eˣ).
4) f′(x) = 2 cos 2x; f′(π/6) = 2 cos(π/3) = 2 · ½ = 1.
(tg u)′ = u′ / cos² u (ctg u)′ = −u′ / sin² u(tg u)′ = u′ / cos² u (ctg u)′ = −u′ / sin² u
где:
  • uвнутренняя функция
  • cos² u, sin² uквадрат косинуса (синуса) всей внутренней функции

Тангенс и котангенс: производная внутренней функции попадает в числитель.

Тангенс и котангенс: примеры

Найдите производную: 1) y = tg(x²); 2) y = ctg 4x; 3) y = tg(ln x); 4) для f(x) = tg 3x вычислите f′(π/12).

Показать решение
1) u = x², u′ = 2x: y′ = 2x / cos²(x²).
2) u = 4x, u′ = 4: y′ = −4 / sin² 4x.
3) u = ln x, u′ = 1/x: y′ = (1/x) / cos²(ln x) = 1 / (x · cos²(ln x)).
4) f′(x) = 3 / cos² 3x; при x = π/12 имеем 3x = π/4 и cos²(π/4) = ½, значит, f′(π/12) = 3 / ½ = 6.
Проверь себя: заполни пропуск
  1. 1.(sin 4x)′ = · cos 4x
  2. 2.(e^(−3x))′ = · e^(−3x)
  3. 3.((2x + 5)⁴)′ = · (2x + 5)³
  4. 4.(ln(x² + 5))′ = / (x² + 5)
  5. 5.(cos(x²))′ = − · sin(x²)
  6. 6.(√(6x + 1))′ = / √(6x + 1)

Сложнее: несколько слоёв, произведения и частные

В некоторых функциях три слоя и больше. В sin³(2x) = (sin 2x)³ внешний слой — куб, средний — синус, внутренний — 2x. Для такой функции правило применяется несколько раз подряд: снимаем слои по одному, как с луковицы, снаружи внутрь и перемножаем производные всех слоёв.

(f(g(h(x))))′ = f′(g(h(x))) · g′(h(x)) · h′(x)
где:
  • fвнешний слой
  • gсредний слой
  • hвнутренний слой

Три слоя — три множителя; производная каждого слоя берётся от того, что стоит у него внутри. В записи Лейбница: dy/dx = dy/du · du/dv · dv/dx, где u = g(v), v = h(x).

  1. 1
    Внешний слой

    Продифференцируйте самое внешнее действие; всё, что под ним, перепишите без изменений.

  2. 2
    Следующий слой

    Умножьте на производную следующего слоя, снова не трогая то, что внутри.

  3. 3
    До самого x

    Продолжайте, пока не дойдёте до самого x: линейный слой даёт просто число.

  4. 4
    Упростите

    Перемножьте числа и, где можно, используйте формулы вроде 2 sin u · cos u = sin 2u.

Снимаем слои по одному

Найдите производную: 1) y = sin³(2x); 2) y = e^(sin² x); 3) y = √(ln x); 4) y = ln(cos 3x); 5) для f(x) = cos²(πx) вычислите f′(1/4).

Показать решение
1) Слои: ( )³ → sin → 2x. y′ = 3 sin²(2x) · cos(2x) · 2 = 6 sin²(2x) · cos(2x).
2) Слои: e^( ) → ( )² → sin x. y′ = e^(sin² x) · 2 sin x · cos x = sin 2x · e^(sin² x).
3) Слои: √( ) → ln x. y′ = 1/(2√(ln x)) · 1/x = 1 / (2x√(ln x)).
4) Слои: ln( ) → cos → 3x. y′ = (1/cos 3x) · (−sin 3x) · 3 = −3 tg 3x.
5) Слои: ( )² → cos → πx. f′(x) = 2 cos(πx) · (−sin(πx)) · π = −π sin(2πx); f′(1/4) = −π sin(π/2) = −π.
До упрощения в каждом ответе столько множителей, сколько слоёв.

В x · e^(−x) последнее действие — умножение, значит, главное правило — производная произведения (урок «Производная суммы, произведения и частного»); правило для сложной функции нужно только внутри, для множителя e^(−x). Поэтому каждый раз сначала спросите себя: «Какое действие последнее — умножение, деление или применение функции?» — и начните с этого правила.

Смешанные примеры

Найдите производную: 1) y = x · e^(−x); 2) y = x² · √(1 − x); 3) y = sin 2x / x; 4) y = x / √(x² + 1); 5) y = e^(2x) · sin 3x.

Показать решение
1) Произведение: y′ = (x)′ · e^(−x) + x · (e^(−x))′ = e^(−x) + x · (−e^(−x)) = (1 − x) · e^(−x).
2) Произведение; (√(1 − x))′ = −1/(2√(1 − x)). y′ = 2x · √(1 − x) − x² / (2√(1 − x)). Приведём к общему знаменателю: y′ = (4x(1 − x) − x²) / (2√(1 − x)) = x(4 − 5x) / (2√(1 − x)).
3) Частное; (sin 2x)′ = 2 cos 2x. y′ = (2 cos 2x · x − sin 2x · 1) / x² = (2x cos 2x − sin 2x) / x².
4) Частное; (√(x² + 1))′ = x / √(x² + 1). y′ = (√(x² + 1) − x · x/√(x² + 1)) / (x² + 1) = ((x² + 1) − x²) / ((x² + 1)√(x² + 1)) = 1 / ((x² + 1)√(x² + 1)).
5) Произведение, в каждом множителе линейная внутренняя функция: y′ = 2e^(2x) · sin 3x + e^(2x) · 3 cos 3x = e^(2x)(2 sin 3x + 3 cos 3x).

Главное

  • Сложная функция y = f(g(x)): сначала вычисляется внутренняя функция u = g(x), затем внешняя f; действие, выполняемое последним, — внешняя функция.
  • (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x), то есть dy/dx = dy/du · du/dx: скорости изменения перемножаются.
  • Линейная внутренняя функция: (f(kx + b))′ = k · f′(kx + b), например, (sin 3x)′ = 3 cos 3x, (e^(−2x))′ = −2e^(−2x).
  • В таблице для сложной функции каждая формула — табличная, умноженная на u′: (uⁿ)′ = n · uⁿ⁻¹ · u′, (eᵘ)′ = eᵘ · u′, (ln u)′ = u′/u, (sin u)′ = cos u · u′.
  • При нескольких слоях снимайте их снаружи внутрь и перемножайте производные всех слоёв; в произведениях и частных сначала применяйте правило последнего действия.
  • Не забывайте производную внутренней функции и не путайте sin² x = (sin x)² с sin x² = sin(x²).

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12
Какая функция является внутренней в y = cos(x³)?