Перейти к содержанию
Educora
RU
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Моё обучениеEducora StudioНастройки
Начальный5–6 классы22 мин3 / 82

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

НОД перебором делителей, через разложение на простые множители и алгоритмом Евклида, взаимно простые числа, НОК, равенство НОД · НОК = a · b, три числа и задачи на деление поровну, разрезание, новую встречу и общий знаменатель.

Проверь себя
В этом уроке ты узнаешь
  • Находить НОД двух и трёх чисел перебором делителей, через разложение на простые множители и алгоритмом Евклида
  • Распознавать взаимно простые числа и находить НОК перебором кратных и через разложение на простые множители
  • Находить НОК по НОД и наоборот с помощью равенства НОД · НОК = a · b
  • Определять, нужен ли в задаче НОД или НОК, и решать её

Мурад купил на день рождения 24 яблока и 36 груш. Он хочет собрать одинаковые подарочные пакеты: в каждом поровну яблок и поровну груш, и чтобы ничего не осталось. Какое наибольшее число пакетов у него получится? В тот же день с остановки один автобус отправляется каждые 12 минут, а другой — каждые 18 минут; в 8:00 они отправились одновременно. Когда они снова отправятся вместе? В первом вопросе ищут наибольшее число, на которое делятся оба числа, во втором — наименьшее число, которое делится на оба. Это НОД и НОК.

Понадобятся инструменты предыдущего урока, «Признаки делимости. Простые и составные числа»: поиск делителей парами, признаки делимости и разложение на простые множители. А НОД и НОК сразу пригодятся на следующем уроке, «Обыкновенные дроби: смысл, сокращение и сравнение»: НОД помогает сокращать дроби, а НОК даёт общий знаменатель.

Общие делители и НОД

Определение
Общий делитель и НОД

Число, на которое делится каждое из данных чисел, называют их общим делителем. Наибольший из общих делителей называют наибольшим общим делителем и записывают НОД(a; b). Например, общие делители чисел 24 и 36 — это 1, 2, 3, 4, 6, 12, поэтому НОД(24; 36) = 12.

Самый простой способ — выписать делители каждого числа (парами) и выбрать общие. 1 всегда общий делитель, а НОД не может быть больше меньшего из чисел. Если меньшее число — делитель большего, то оно само и есть НОД: НОД(12; 36) = 12.

Перебор делителей

Найдите перебором делителей: 1) НОД(18; 30); 2) НОД(16; 40); 3) НОД(15; 28).

Показать решение
1) 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18; 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Общие: 1, 2, 3, 6 → НОД = 6.
2) 16: 1, 2, 4, 8, 16; 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. Общие: 1, 2, 4, 8 → НОД = 8. Меньшее число 16 не делит 40, поэтому ответ не 16.
3) 15: 1, 3, 5, 15; 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28. Единственный общий делитель — 1 → НОД = 1, хотя оба числа составные.
Определение
Взаимно простые числа

Числа, НОД которых равен 1, называют взаимно простыми: у них нет общих делителей, кроме 1. 15 и 28 взаимно простые, хотя оба числа составные. Два соседних натуральных числа всегда взаимно простые: любой их общий делитель делит и их разность, то есть 1. Два различных простых числа тоже взаимно простые.

НОД через разложение на простые множители

Выписывать делители больших чисел долго, а простые множители сокращают работу. Общий делитель может состоять только из простых множителей, которые есть в обоих числах, причём каждый входит в него не больше раз, чем в любое из разложений. Поэтому НОД — это произведение общих простых множителей, каждый из которых взят с наименьшим показателем степени.

  1. 1
    Разложи

    Разложи каждое число на простые множители и запиши одинаковые множители степенью.

  2. 2
    Выбери общие

    Выбери простые множители, которые есть в обоих разложениях. Множители, которые есть только в одном числе, в НОД не входят.

  3. 3
    Возьми меньший показатель

    Запиши каждый общий множитель с меньшим из двух показателей и перемножь. Если общих множителей нет, НОД = 1.

120 = 2³ · 3 · 5126 = 2 · 3² · 7НОД(120; 126) = 2 · 3 = 6
где:
  • 2, 3общие простые множители с меньшими показателями: из 2³ и 2¹ — 2¹, из 3¹ и 3² — 3¹
  • 5, 7есть только в одном из чисел — в НОД не входят

НОД — произведение общих простых множителей, каждый с наименьшим показателем. Проверка: 120 : 6 = 20, 126 : 6 = 21, а 20 и 21 взаимно простые.

НОД через простые множители

Найдите: 1) НОД(360; 84); 2) НОД(72; 120); 3) НОД(105; 88).

Показать решение
1) 360 = 2³ · 3² · 5, 84 = 2² · 3 · 7. Общие множители 2 и 3, меньшие показатели: 2², 3¹. НОД = 2² · 3 = 12.
2) 72 = 2³ · 3², 120 = 2³ · 3 · 5. НОД = 2³ · 3 = 24.
3) 105 = 3 · 5 · 7, 88 = 2³ · 11. Общих простых множителей нет: НОД = 1, числа взаимно простые.

Алгоритм Евклида

Иногда трудно даже разложить числа на множители: попробуйте 391 и 299. Около 2300 лет назад Евклид описал способ, которому разложение не нужно. Его идея — из прошлого урока: если a и b делятся на d, то и разность a − b делится на d. И наоборот, если b и a − b делятся на d, то делится и a = (a − b) + b. Значит, у пар (a; b) и (a − b; b) одни и те же общие делители, а потому и один и тот же НОД.

НОД(a; b) = НОД(a − b; b)
где:
  • a, bнатуральные числа, a > b
  • a − bразность — пишется вместо большего числа

Замени большее число разностью и повторяй. Когда числа станут равными, это число и есть НОД.

Вычитанием

Найдите вычитанием: 1) НОД(48; 18); 2) НОД(35; 21).

Показать решение
1) (48; 18) → (30; 18) → (12; 18) → (12; 6) → (6; 6). НОД = 6.
2) (35; 21) → (14; 21) → (14; 7) → (7; 7). НОД = 7. Проверка: 35 = 5 · 7, 21 = 3 · 7.

Из 48 мы дважды вычли 18 и получили 12 — это деление с остатком: 48 = 18 · 2 + 12. Поэтому вместо многократного вычитания можно сразу брать остаток. Это быстрая форма алгоритма Евклида.

a = b · q + rНОД(a; b) = НОД(b; r)
где:
  • qнеполное частное
  • rостаток, 0 ≤ r < b

Замени пару (a; b) парой (b; r). Когда остаток станет равен 0, последний делитель (последний ненулевой остаток) и есть НОД.

  1. 1
    Раздели с остатком

    Раздели большее число на меньшее с остатком.

  2. 2
    Посмотри на остаток

    Если остаток равен 0, делитель и есть НОД — работа окончена.

  3. 3
    Обнови пару

    Иначе делитель становится делимым, а остаток — делителем; вернись к шагу 1. Остатки каждый раз уменьшаются, поэтому алгоритм обязательно закончится.

Алгоритмом Евклида

Найдите: 1) НОД(391; 299); 2) НОД(1071; 462).

Показать решение
1) 391 = 299 · 1 + 92
299 = 92 · 3 + 23
92 = 23 · 4 + 0
НОД(391; 299) = 23. Проверка: 391 = 23 · 17, 299 = 23 · 13.
2) 1071 = 462 · 2 + 147
462 = 147 · 3 + 21
147 = 21 · 7 + 0
НОД(1071; 462) = 21. Проверка: 1071 = 21 · 51, 462 = 21 · 22.

Общие кратные и НОК

Определение
Общее кратное и НОК

Число, которое делится на каждое из данных чисел, называют их общим кратным. Наименьшее из общих кратных называют наименьшим общим кратным и записывают НОК(a; b). Кратные 6: 6, 12, 18, 24, 30, …; кратные 8: 8, 16, 24, 32, … Значит, НОК(6; 8) = 24.

Общие кратные 6 и 8 — это 24, 48, 72, …: все они кратны НОК, и их бесконечно много, поэтому «наибольшего общего кратного» не бывает. Удобный перебор: проверяй по очереди кратные большего числа и остановись на первом, которое делится на меньшее. НОК(12; 18): 18 на 12 не делится, 36 делится — значит, ответ 36. НОК не бывает меньше большего из чисел и больше их произведения.

  1. 1
    Разложи

    Разложи каждое число на простые множители.

  2. 2
    Возьми все множители

    Возьми каждый простой множитель, который есть хотя бы в одном разложении, с наибольшим показателем.

  3. 3
    Перемножь

    Перемножь их. Короткий путь: выпиши разложение большего числа и допиши недостающие множители меньшего.

120 = 2³ · 3 · 5126 = 2 · 3² · 7НОК(120; 126) = 2³ · 3² · 5 · 7 = 2520
где:
  • 2³, 3²множители, которые есть в обоих числах, — с большим показателем
  • 5, 7множители только одного числа тоже берутся

НОК — произведение всех простых множителей, каждый с наибольшим показателем. Проверка: 2520 : 120 = 21, 2520 : 126 = 20.

Находим НОК

Найдите: 1) НОК(12; 18); 2) НОК(40; 60); 3) НОК(15; 28); 4) НОК(9; 36).

Показать решение
1) 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3² → НОК = 2² · 3² = 36.
2) 40 = 2³ · 5, 60 = 2² · 3 · 5 → НОК = 2³ · 3 · 5 = 120.
3) 15 = 3 · 5, 28 = 2² · 7 — общих множителей нет, поэтому НОК = 15 · 28 = 420.
4) 36 делится на 9, поэтому НОК = 36.
243622233НОД = 2 · 2 · 3 = 12НОК = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72
НОД — множители в пересечении, НОК — все множители на рисунке. Если посчитать пересечение дважды, получится 24 · 36: НОД · НОК = 12 · 72 = 864 = 24 · 36.

Рисунок объясняет важное равенство. Для каждого простого множителя НОД берёт меньший показатель, а НОК — больший, и вместе они берут оба, как и произведение a · b. Для 24 = 2³ · 3 и 36 = 2² · 3² показатель двойки в НОД равен 2, в НОК — 3, всего 5; в произведении 24 · 36 тоже 3 + 2 = 5.

НОД(a; b) · НОК(a; b) = a · b
где:
  • a, bлюбые два натуральных числа
  • НОКНОК = a · b : НОД — самая удобная форма

Верно только для двух чисел. Для взаимно простых чисел НОД = 1, поэтому НОК = a · b.

От НОД к НОК

1) НОД(18; 24) = 6. Чему равен НОК(18; 24)?
2) Произведение двух чисел равно 864, а их НОД равен 12. Чему равен их НОК?
3) Чему равен НОК(8; 15)?

Показать решение
1) НОК = 18 · 24 : 6 = 432 : 6 = 72. Удобнее сначала разделить, потом умножить: 18 : 6 = 3, 3 · 24 = 72.
2) НОК = 864 : 12 = 72. (Например, это числа 24 и 36.)
3) 8 = 2³ и 15 = 3 · 5 взаимно простые, НОД = 1, поэтому НОК = 8 · 15 = 120.

Три числа и задачи

Для трёх чисел правила те же: НОД берёт множители, которые есть во всех трёх разложениях, с наименьшими показателями, а НОК — все множители с наибольшими показателями. Можно считать и по шагам: НОД(a; b; c) = НОД(НОД(a; b); c), и так же для НОК.

Три числа

1) Найдите НОД и НОК чисел 12, 18 и 30.
2) Найдите НОК(4; 6; 9) по шагам.

Показать решение
1) 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², 30 = 2 · 3 · 5.
НОД: во всех трёх есть 2 и 3, с наименьшими показателями: 2 · 3 = 6.
НОК: 2², 3², 5 → 4 · 9 · 5 = 180.
2) НОК(4; 6) = 12, затем НОК(12; 9) = 36. Ответ: 36.
Нужен НОД, если…Нужен НОК, если…
предметы делят на равные группы без остаткаповторяющиеся события должны снова совпасть
ищут наибольший кусок, пакет, плитку или группуищут наименьшее число, время, длину или знаменатель
ответ не больше данных чиселответ не меньше данных чисел
Делим поровну и разрезаем

1) У Мурада 24 яблока и 36 груш (задача из начала урока). Какое наибольшее число одинаковых пакетов можно собрать и что будет в каждом?
2) Две ленты длиной 48 см и 72 см нужно без остатка разрезать на равные куски как можно большей длины. Какова длина куска и сколько всего кусков?
3) Пол размером 240 см × 180 см покрывают одинаковыми квадратными плитками как можно большего размера, не разрезая их. Какова сторона плитки и сколько плиток нужно?

Показать решение
1) Число пакетов должно быть делителем и 24, и 36, причём наибольшим: НОД(24; 36) = 12 пакетов. В каждом пакете 24 : 12 = 2 яблока и 36 : 12 = 3 груши.
2) Длина куска должна быть делителем и 48, и 72: НОД(48; 72) = 24 см. Кусков: 48 : 24 + 72 : 24 = 2 + 3 = 5.
3) Сторона плитки должна быть делителем и 240, и 180: 240 = 2⁴ · 3 · 5, 180 = 2² · 3² · 5, НОД = 2² · 3 · 5 = 60 см. По длине 240 : 60 = 4 плитки, по ширине 180 : 60 = 3, всего 4 · 3 = 12 плиток.
Снова вместе

1) Автобусы из начала урока: один отправляется каждые 12 минут, другой — каждые 18 минут, в 8:00 они отправились вместе. Когда они снова отправятся вместе?
2) Один маяк вспыхивает каждые 6 секунд, другой — каждые 10 секунд. Только что они вспыхнули одновременно. Через сколько секунд они снова вспыхнут вместе?
3) Трое бегунов одновременно стартуют и пробегают круг соответственно за 4, 6 и 9 минут. Через сколько минут все трое снова встретятся на старте? Сколько кругов пробежит к этому времени каждый?

Показать решение
1) Нужно наименьшее число, которое делится и на 12, и на 18: 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², НОК = 2² · 3² = 36. Значит, через 36 минут, в 8:36.
2) НОК(6; 10): проверяем кратные 10: 10, 20, 30 — 30 делится на 6. Ответ: через 30 секунд.
3) НОК(4; 6; 9) = 2² · 3² = 36 минут. За это время бегуны пробегут 36 : 4 = 9, 36 : 6 = 6 и 36 : 9 = 4 круга.
НОД и НОК в дробях

1) Приведите дроби 5/12 и 7/18 к наименьшему общему знаменателю.
2) Сократите дробь 72/120 за один шаг.

Показать решение
1) Общий знаменатель должен делиться на оба знаменателя, а наименьший из них — НОК(12; 18) = 36. Дополнительные множители: 36 : 12 = 3, 36 : 18 = 2. Значит, 5/12 = 15/36, 7/18 = 14/36.
2) НОД(72; 120) = 24 (мы нашли его выше). 72/120 = (72 : 24)/(120 : 24) = 3/5.
Подробно — в уроке «Обыкновенные дроби: смысл, сокращение и сравнение».
Интерактив
Загрузка симуляции…
Спроси себя: ответ будет меньше данных чисел (НОД) или больше (НОК)?
Проверь себя
  1. 1.НОД(18; 27) =
  2. 2.НОК(6; 14) =
  3. 3.НОД(8; 15) =
  4. 4.Если НОД(a; b) = 4 и a · b = 96, то НОК(a; b) =
  5. 5.НОК(4; 6; 10) =
  6. 6.НОД(91; 65) =

Ты освоил три способа найти НОД, научился находить НОК и понимать, какой из них нужен в задаче. На следующем уроке, «Обыкновенные дроби: смысл, сокращение и сравнение», НОД поможет сокращать дроби, а НОК — приводить их к общему знаменателю и сравнивать; а в уроке «Действия с обыкновенными дробями» ты будешь складывать дроби с разными знаменателями.

Главное

  • НОД — наибольшее число, на которое делится каждое из чисел; НОК — наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из них.
  • Через простые множители: НОД — общие множители с наименьшими показателями; НОК — все множители с наибольшими показателями.
  • Алгоритм Евклида: НОД(a; b) = НОД(b; r); когда остаток равен 0, последний делитель и есть НОД.
  • У взаимно простых чисел НОД = 1 и НОК = a · b; два соседних числа всегда взаимно простые.
  • Для двух чисел НОД · НОК = a · b.
  • «Разделить поровну, наибольший кусок» — НОД; «снова вместе, наименьшее общее» — НОК.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12
Какие числа взаимно простые?