Перейти к содержанию
Educora
RU
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Моё обучениеEducora StudioНастройки
Продвинутый9–10 классы25 мин43 / 82

Функция и её свойства

Определение функции и способы её задания, область определения и множество значений, нули и промежутки знакопостоянства, возрастание и убывание, чётные и нечётные функции, периодичность, преобразования графиков (сдвиги, растяжения, отражения, |f(x)|), графики y = k/x, √x, |x|, x³ и обратная функция.

Проверь себя
В этом уроке ты узнаешь
  • Находить область определения и множество значений функции по формуле
  • Исследовать нули, промежутки знакопостоянства, возрастание и убывание, чётность, нечётность и периодичность
  • Строить новые графики из графиков основных функций сдвигами, растяжениями, отражениями и с помощью модуля
  • Находить обратную функцию и строить её график симметрией относительно прямой y = x

Приложение погоды в телефоне Эльвина показывает график температуры за зимний день: каждому моменту дня соответствует одна температура. Взглянув на график, сразу отвечаем на вопросы: когда теплее и холоднее всего, когда температура выше нуля, когда она растёт и когда падает? Такие вопросы можно задать о любой функции, а ответы на них называют свойствами функции. На этом уроке мы научимся находить их по формуле, без графика, и получать новые графики из старых без вычислений.

На уроке «Линейная функция и её график» мы познакомились с понятием функции, на уроке «Квадратичная функция и её график» сдвигали параболу, а на уроке «Квадратный корень, корень n-й степени и степень с рациональным показателем» увидели график y = √x. Теперь обобщим эти идеи на любую функцию. Этот язык понадобится при изучении показательной, логарифмической и тригонометрических функций, а затем производной.

Функция, область определения и множество значений

Определение
Функция

Правило, по которому каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y: y = f(x). Все значения, которые может принимать x, образуют область определения D(f), а все значения, которые принимает y, — множество значений E(f).

Функцию можно задать четырьмя способами: формулой (y = x² − 1), таблицей (температура по часам), графиком и словесно («каждому натуральному числу — количество его делителей»). По рисунку можно понять, является ли кривая графиком функции: любая вертикальная прямая должна пересекать её не более чем в одной точке. Окружность x² + y² = 25 — не график функции: при x = 3 получаем и y = 4, и y = −4.

Область определения функции, заданной формулой, — все x, при которых формула имеет смысл: знаменатель не равен нулю, выражение под корнем чётной степени неотрицательно (такие условия мы подробно решали на уроке «Квадратные неравенства и метод интервалов»). Найти множество значений труднее. Самый надёжный способ: число a принадлежит E(f) тогда и только тогда, когда уравнение f(x) = a имеет хотя бы одно решение.

a ∈ E(f) ⇔ уравнение f(x) = a имеет решение
где:
  • D(f)область определения — допустимые значения x
  • E(f)множество значений — значения, которые принимает y
  • aпроверяемое число

Вырази x через a и найди, при каких a это возможно. В простых случаях есть путь короче: оценить части (…)² ≥ 0, √(…) ≥ 0, |…| ≥ 0.

Область определения и множество значений

1) Найдите область определения функции y = √(8 − 2x) + 1/x. Найдите множество значений: 2) y = x² − 4x + 7; 3) y = 3 − √(x + 1); 4) y = 4/(x² + 1); 5) y = (2x + 1)/(x − 1).

Показать решение
1) 8 − 2x ≥ 0 и x ≠ 0 ⇒ x ≤ 4, x ≠ 0. D = (−∞; 0) ∪ (0; 4].
2) Выделяем полный квадрат: y = (x − 2)² + 3 ≥ 3, а при x = 2 y = 3. E = [3; +∞).
3) √(x + 1) принимает любые неотрицательные значения, поэтому y = 3 − √(x + 1) ≤ 3. E = (−∞; 3].
4) x² + 1 ≥ 1 ⇒ 0 < 4/(x² + 1) ≤ 4, при x = 0 y = 4. E = (0; 4].
5) (2x + 1)/(x − 1) = a ⇒ 2x + 1 = ax − a ⇒ x(a − 2) = a + 1 ⇒ x = (a + 1)/(a − 2). Это возможно при a ≠ 2 (условие x ≠ 1 тоже выполнено, так как a + 1 ≠ a − 2). E = (−∞; 2) ∪ (2; +∞).

Нули, знак, возрастание и убывание

Определение
Нули и промежутки знакопостоянства

Значения x, при которых f(x) = 0, — нули функции: в них график пересекает ось Ox или касается её. Промежутки, на которых функция сохраняет знак, называют промежутками знакопостоянства: где f(x) > 0, график выше оси Ox, где f(x) < 0 — ниже.

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) — возрастает; x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂) — убывает
где:
  • x₁, x₂любые два значения из промежутка
  • f(x₂) − f(x₁)разность, знак которой исследуют при доказательстве

У возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции, график идёт вверх слева направо. Возрастающая или убывающая функция принимает каждое значение не более одного раза, поэтому уравнение f(x) = a имеет не более одного корня.

Нули, знак и доказательство монотонности

1) Найдите нули и промежутки знакопостоянства функции f(x) = x³ − 4x.
2) Докажите, что функция f(x) = 5 − 2x убывает.
3) Докажите, что функция f(x) = 1/x убывает на промежутке (0; +∞).
4) Докажите, что функция f(x) = x³ возрастает на всей числовой прямой.

Показать решение
1) x³ − 4x = x(x − 2)(x + 2) = 0 ⇒ нули −2; 0; 2. Методом интервалов («+» справа): f(x) > 0 на (−2; 0) ∪ (2; +∞), f(x) < 0 на (−∞; −2) ∪ (0; 2).
2) Пусть x₁ < x₂. f(x₂) − f(x₁) = (5 − 2x₂) − (5 − 2x₁) = −2(x₂ − x₁) < 0, так как x₂ − x₁ > 0. Значит, f(x₂) < f(x₁) — функция убывает.
3) Пусть 0 < x₁ < x₂. f(x₂) − f(x₁) = 1/x₂ − 1/x₁ = (x₁ − x₂)/(x₁x₂). Числитель отрицателен, знаменатель положителен, значит, разность отрицательна — функция убывает.
4) x₂³ − x₁³ = (x₂ − x₁)(x₂² + x₁x₂ + x₁²). Вторая скобка равна (x₂ + x₁/2)² + ¾x₁² и положительна при x₁ ≠ x₂. Значит, x₁ < x₂ ⇒ x₁³ < x₂³ — функция возрастает.

Такие доказательства просты только для несложных функций. На уроке «Возрастание и убывание функции. Экстремумы» производная ответит на тот же вопрос для любой функции за один шаг.

Чётные и нечётные функции. Периодические функции

График y = x² симметричен относительно оси Oy, потому что x и −x дают одно и то же значение. График y = x³ симметричен относительно начала координат: напротив точки (2; 8) лежит точка (−2; −8). Эти два вида симметрии сокращают работу вдвое: достаточно построить правую половину графика и отразить её.

f(−x) = f(x) — чётная функция; f(−x) = −f(x) — нечётная функция
где:
  • D(f)−x тоже должно входить в область определения: она симметрична относительно 0
  • f(−x)выражение, в которое вместо x подставлено −x, после упрощения

График чётной функции симметричен относительно оси Oy, график нечётной — относительно начала координат. Большинство функций не являются ни чётными, ни нечётными.

  1. 1
    Область определения

    Если область определения не симметрична относительно 0, функция ни чётная, ни нечётная — проверка окончена.

  2. 2
    Вычисли f(−x)

    Подставь −x вместо x и упрости: (−x)² = x², (−x)³ = −x³, |−x| = |x|.

  3. 3
    Сравни

    f(−x) = f(x) — чётная, f(−x) = −f(x) — нечётная. Если ни то ни другое, покажи это на числе: например, f(−1) ≠ f(1) и f(−1) ≠ −f(1).

Чётная, нечётная или ни та ни другая?

Определите, является ли функция чётной или нечётной: 1) f(x) = x⁴ − 3x²; 2) f(x) = x³ + 2x; 3) f(x) = x/(x² + 1); 4) f(x) = x² + x; 5) f(x) = √x; 6) f(x) = |x| − x².

Показать решение
1) f(−x) = (−x)⁴ − 3(−x)² = x⁴ − 3x² = f(x) — чётная.
2) f(−x) = −x³ − 2x = −(x³ + 2x) = −f(x) — нечётная.
3) f(−x) = −x/(x² + 1) = −f(x) — нечётная.
4) f(1) = 2, f(−1) = 0: f(−1) ≠ f(1) и f(−1) ≠ −f(1) — ни чётная, ни нечётная.
5) D(f) = [0; +∞) не симметрична — ни чётная, ни нечётная.
6) |−x| − (−x)² = |x| − x² = f(x) — чётная.

Некоторые процессы повторяются через одно и то же время: движение стрелок часов, смена дня и ночи, фазы Луны. В математике такие функции называют периодическими. Важнейшие примеры — sin x и cos x с периодом 2π; подробно их изучим на уроке «Тригонометрические функции и их графики».

f(x + T) = f(x)
где:
  • Tпериод: число T ≠ 0; обычно указывают наименьший положительный период
  • xлюбое число из области определения (x ± T тоже в ней)

Если T — период, то 2T, 3T, −T тоже периоды: f(x + nT) = f(x). График состоит из повторяющегося куска длиной T.

Значения периодической функции

Функция f имеет период 4, f(1) = 3 и f(2) = −1. 1) Найдите f(9), f(−6) и f(2026). 2) Пусть, кроме того, f нечётная. Найдите f(7).

Показать решение
1) 9 = 1 + 2 · 4 ⇒ f(9) = f(1) = 3. −6 = 2 − 2 · 4 ⇒ f(−6) = f(2) = −1. 2026 = 4 · 506 + 2 ⇒ f(2026) = f(2) = −1: всё решает остаток от деления на 4.
2) 7 = −1 + 2 · 4 ⇒ f(7) = f(−1) = −f(1) = −3.

Основные функции и преобразования графиков

Графики четырёх функций ниже нужно знать: преобразования превращают их во множество новых графиков. График y = k/x — гипербола: при k > 0 её ветви лежат в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV; ветви неограниченно приближаются к осям, но никогда их не пересекают.

ФункцияD(f)E(f)ЧётностьМонотонность
y = k/x (k > 0)x ≠ 0y ≠ 0нечётнаяубывает на (−∞; 0) и на (0; +∞) по отдельности
y = √x[0; +∞)[0; +∞)ни чётная, ни нечётнаявозрастает
y = |x|(−∞; +∞)[0; +∞)чётнаяубывает на (−∞; 0], возрастает на [0; +∞)
y = x³(−∞; +∞)(−∞; +∞)нечётнаявозрастает
Графики: гипербола, «половина параболы», «галочка» и кубическая парабола. При k < 0 функция y = k/x возрастает на каждом промежутке отдельно.

Немного меняя формулу любой функции y = f(x), получаем новые графики. Правило легко запомнить: изменение с x действует по горизонтали и «наоборот», изменение всей функции — по вертикали и «как написано». Сдвиги параболы мы видели на уроке «Квадратичная функция и её график»; теперь эти правила — для любой функции.

y = f(x − a) + b
где:
  • aсдвиг по горизонтали: a > 0 — вправо, a < 0 — влево
  • bсдвиг по вертикали: b > 0 — вверх, b < 0 — вниз

Каждая точка графика переходит (x; y) → (x + a; y + b). Область определения сдвигается на a, множество значений — на b.

Сдвиги

Опишите, как получается график, и найдите область определения и множество значений: 1) y = √(x − 2) + 1; 2) y = 2/(x + 1) − 3; 3) y = (x − 1)³ + 2.

Показать решение
1) График y = √x сдвинут на 2 единицы вправо и на 1 вверх: начальная точка (0; 0) → (2; 1). D = [2; +∞), E = [1; +∞).
2) Гипербола y = 2/x сдвинута на 1 единицу влево и на 3 вниз. График приближается к прямым x = −1 и y = −3 (их называют асимптотами). D: x ≠ −1, E: y ≠ −3. Проверка: при x = 0 y = 2 − 3 = −1.
3) Кубическая парабола сдвинута на 1 вправо и на 2 вверх; центр симметрии (0; 0) → (1; 2). D = E = (−∞; +∞).
y = k · f(x); y = f(kx); y = −f(x); y = f(−x); y = |f(x)|
где:
  • k · f(x)растяжение (k > 1) или сжатие (0 < k < 1) вдоль оси Oy в k раз: (x; y) → (x; ky)
  • f(kx)сжатие вдоль оси Ox в k раз (k > 1): (x; y) → (x/k; y)
  • −f(x), f(−x)отражение относительно оси Ox и относительно оси Oy
  • |f(x)|части графика ниже оси Ox отражаются вверх, остальное не меняется

Если преобразований несколько, действуй по порядку: сначала преобразования с x (сдвиг, сжатие), затем растяжения и отражения, потом сдвиг по вертикали, а внешний модуль — в самом конце.

Растяжения, отражения и модуль

1) Сравните графики y = 2√x и y = √(4x). 2) Найдите область определения функции y = √(−x). 3) Постройте график y = |x² − 4| и найдите число решений уравнения |x² − 4| = a в зависимости от a.

Показать решение
1) √(4x) = √4 · √x = 2√x — один и тот же график: сжатие в 4 раза вдоль Ox здесь даёт то же, что растяжение в 2 раза вдоль Oy.
2) Это отражение графика y = √x относительно оси Oy: −x ≥ 0 ⇒ D = (−∞; 0].
3) Нули параболы y = x² − 4 — это ±2; при −2 < x < 2 она ниже оси Ox. Отражаем эту часть вверх: вершина (0; −4) → (0; 4). Число решений: a < 0 — 0; a = 0 — 2 (x = ±2); 0 < a < 4 — 4; a = 4 — 3 (x = 0 и x = ±2√2); a > 4 — 2.
Интерактив
Загрузка симуляции…
Первый график — y = √x, второй — y = k√(x − a) + b. a сдвигает график по горизонтали, b — по вертикали; k растягивает его вдоль оси Oy, а при k < 0 отражает относительно оси Ox. Начальная точка всегда (a; b).

Обратная функция

Функция y = 2x + 1 по x вычисляет y. Иногда нужен обратный вопрос: если известен y, чему равен x? x = (y − 1)/2. Это возможно, только если f принимает каждое значение один раз — например, если f возрастает или убывает. У функции y = x² на всей числовой прямой обратной нет: значение y = 4 получается и при x = 2, и при x = −2.

Определение
Обратная функция

Если функция f принимает каждое своё значение один раз, то функция g, которая каждому y из E(f) ставит в соответствие единственный x с f(x) = y, называется обратной к f. Её аргумент, как обычно, снова обозначают x: y = g(x).

g(f(x)) = x, f(g(x)) = x; D(g) = E(f), E(g) = D(f)
где:
  • gфункция, обратная к f; пишут также f⁻¹
  • D, Eу обратной функции область определения и множество значений меняются местами

Если точка (a; b) лежит на графике f, то точка (b; a) лежит на графике g. Значит, графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x.

  1. 1
    Существует ли обратная?

    f должна принимать каждое значение один раз (например, возрастать или убывать).

  2. 2
    Вырази x

    Из равенства y = f(x) вырази x через y.

  3. 3
    Поменяй буквы

    Поменяй x и y местами: y = g(x).

  4. 4
    Укажи область определения и проверь

    D(g) = E(f). Проверка: должно быть g(f(x)) = x.

Находим обратную функцию

Найдите обратную функцию: 1) y = 2x + 1; 2) y = √(x − 2); 3) y = x³ − 1; 4) y = x², x ≥ 0.

Показать решение
1) x = (y − 1)/2 ⇒ y = (x − 1)/2. Проверка: f(3) = 7, g(7) = 3.
2) D(f) = [2; +∞), E(f) = [0; +∞). y² = x − 2 ⇒ x = y² + 2 ⇒ y = x² + 2, x ≥ 0 — только правая ветвь параболы.
3) x³ = y + 1 ⇒ x = ∛(y + 1) ⇒ y = ∛(x + 1). Проверка: f(2) = 7, g(7) = ∛8 = 2.
4) При x ≥ 0 функция возрастает; x = √y ⇒ y = √x. Графики симметричны относительно прямой y = x. Такую же пару образуют y = aˣ и y = logₐx (урок «Логарифм и его свойства. Логарифмическая функция»).
Интерактив
Загрузка симуляции…
y = ax + b и обратная к ней функция y = (x − b)/a. Меняй a и b: графики всегда остаются симметричными относительно прямой y = x (третий график).
Проверь себя: заполни пропуск
  1. 1.Область определения функции y = √(x − 5): x ≥
  2. 2.Наименьшее значение функции y = (x + 2)² − 7:
  3. 3.Функция, обратная к y = 2x − 6: y = x/2 +

Главное

  • Функция каждому x ставит в соответствие единственный y; D(f) — допустимые x, E(f) — принимаемые значения: a ∈ E(f) ⇔ уравнение f(x) = a имеет решение.
  • Нули — корни уравнения f(x) = 0; возрастающая: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂), убывающая: f(x₁) > f(x₂); монотонная функция принимает каждое значение один раз.
  • Чётная: f(−x) = f(x), график симметричен относительно Oy; нечётная: f(−x) = −f(x), график симметричен относительно начала координат; область определения должна быть симметричной.
  • Периодическая: f(x + T) = f(x); сдвиг на целое число периодов не меняет значения.
  • y = f(x − a) + b — на a вправо, на b вверх; k · f(x) — растяжение по вертикали, f(kx) — сжатие по горизонтали; −f(x), f(−x) — отражения относительно осей; |f(x)| — часть ниже Ox отражается вверх.
  • Обратная функция существует, только если f принимает каждое значение один раз: вырази x и поменяй буквы; D(g) = E(f), графики симметричны относительно y = x.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12
Какое равенство определяет чётную функцию (область определения симметрична)?