Перейти к содержанию
Educora
RU
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
Моё обучениеEducora StudioНастройки
Средний7 класс25 мин13 / 82

Формулы сокращённого умножения

Квадрат суммы и разности, разность квадратов, куб суммы и разности, сумма и разность кубов — с наглядными моделями площади и объёма; применение формул в обе стороны, устный счёт, первое знакомство с выделением полного квадрата и типичные ошибки.

Проверь себя
В этом уроке ты узнаешь
  • Объяснять формулы квадрата суммы и разности и разности квадратов и применять их для раскрытия скобок
  • Пользоваться формулами куба суммы и разности, суммы и разности кубов
  • Читать формулы справа налево: узнавать полный квадрат, считать устно и выделять полный квадрат
  • Упрощать выражения и находить их значения с помощью формул сокращённого умножения

Лейла предложила одноклассникам игру: «Назовите пример вроде 49 · 51 или 99², и я посчитаю быстрее калькулятора». Мурад назвал 49 · 51 — через две секунды Лейла ответила: 2499. Эльвин назвал 99² — ответ: 9801. Секрет Лейлы не в волшебстве, а в формулах этого урока: 49 · 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 2500 − 1.

На уроке «Алгебраические выражения. Одночлены и многочлены» мы научились умножать многочлены: каждый член на каждый. Некоторые произведения встречаются так часто, что выгоднее один раз запомнить результат в виде формулы, чем каждый раз перемножать заново. Такие формулы называют формулами сокращённого умножения. На следующем уроке, «Разложение многочлена на множители», эти же формулы будут работать в обратную сторону.

Определение
Тождество

Равенство, верное при любых значениях переменных: a + b = b + a, 2(x + 3) = 2x + 6. Чтобы доказать тождество, преобразуют одну его часть, пока она не совпадёт с другой. Проверка на одном-двух числах — не доказательство, но хороший способ поймать ошибку.

Квадрат суммы и квадрат разности

(a + b)² означает (a + b)(a + b). Умножим каждый член на каждый: a · a + a · b + b · a + b · b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b². Два одинаковых средних члена дают 2ab — весь секрет в этом «удвоенном произведении».

(a + b)² = a² + 2ab + b²(a − b)² = a² − 2ab + b²
где:
  • aпервый член (число, переменная или одночлен)
  • bвторой член
  • 2abудвоенное произведение первого и второго

Словами: квадрат первого плюс (для разности — минус) удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго. Квадрат разности получается из квадрата суммы, ведь a − b = a + (−b): меняется только знак среднего члена, а квадраты всегда со знаком «+».

a²ababb²abab
Площадь большого квадрата (a + b)² = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b². Если взять только a² и b², потеряются два оранжевых прямоугольника — вот почему (a + b)² ≠ a² + b².
Квадрат суммы и разности

Раскройте скобки по формуле сокращённого умножения:
1) (x + 5)²
2) (3a − 2)²
3) (2x + 3y)²
4) (−m − 4)²

Показать решение
1) x² + 2 · x · 5 + 5² = x² + 10x + 25.
2) (3a)² − 2 · 3a · 2 + 2² = 9a² − 12a + 4.
3) (2x)² + 2 · 2x · 3y + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y².
4) −m − 4 = −(m + 4), а квадрат «съедает» знак минус: (−m − 4)² = (m + 4)² = m² + 8m + 16.
Интерактив
Загрузка симуляции…
Меняй b ползунком: графики y = (x + b)² и y = x² + b² встречаются только при x = 0 (или при b = 0). Разница между ними всегда равна 2bx — это потерянное удвоенное произведение.

Разность квадратов

Умножим разность двух выражений на их сумму: (a − b)(a + b) = a² + ab − ab − b² = a² − b². На этот раз средние члены взаимно уничтожаются и остаются только два члена. Если в скобках стоят одни и те же два выражения — один раз с «+», другой раз с «−», — вспоминай эту формулу.

(a − b)(a + b) = a² − b²
где:
  • a − bразность двух выражений
  • a + bсумма тех же выражений
  • a² − b²разность их квадратов

Произведение разности двух выражений на их сумму равно разности их квадратов. Слева направо: произведение раскрывается за один шаг. Справа налево: разность квадратов записывается произведением — это пригодится в устном счёте и при разложении на множители.

1212b²aababa + ba − b
Площадь фигуры с вырезом равна a² − b². При перекладывании частей площадь не меняется, а фигура превращается в прямоугольник со сторонами a + b и a − b: a² − b² = (a + b)(a − b).
Произведение разности на сумму

Найдите произведение:
1) (x − 7)(x + 7)
2) (3a + 2b)(3a − 2b)
3) (5 − y²)(5 + y²)
4) (x − 2)(x + 2)(x² + 4)

Показать решение
1) x² − 7² = x² − 49.
2) Множители можно поменять местами: (3a − 2b)(3a + 2b) = (3a)² − (2b)² = 9a² − 4b².
3) 5² − (y²)² = 25 − y⁴.
4) Применяем формулу дважды: (x − 2)(x + 2) = x² − 4, затем (x² − 4)(x² + 4) = x⁴ − 16.
Проверка при x = 3: 1 · 5 · 13 = 65 и 81 − 16 = 65.

Куб суммы и разности. Сумма и разность кубов

Куб — в одном шаге от квадрата: (a + b)³ = (a + b)² · (a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b). Умножим каждый член на каждый и приведём подобные: a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
где:
  • 3a²bутроенное произведение квадрата первого на второе
  • 3ab²утроенное произведение первого на квадрат второго

Коэффициенты 1, 3, 3, 1; показатель a убывает от 3 до 0, показатель b растёт от 0 до 3. В кубе разности знаки чередуются: +, −, +, −. Степень каждого члена равна 3.

ЧастьРазмерыКоличествоОбщий объём
большой кубa × a × a1a³
пластинаa × a × b33a²b
брусокa × b × b33ab²
маленький кубb × b × b1b³
Если разрезать куб с ребром a + b на части длиной a и b по всем трём направлениям, получится 8 частей. Сумма их объёмов a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³ — в этом геометрический смысл формулы.
Куб суммы и разности

1) Запишите (x + 2)³ в виде многочлена.
2) Запишите (2a − 1)³ в виде многочлена.
3) Вычислите устно 11³.

Показать решение
1) x³ + 3 · x² · 2 + 3 · x · 2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8.
2) (2a)³ − 3 · (2a)² · 1 + 3 · 2a · 1² − 1³ = 8a³ − 12a² + 6a − 1.
Проверка при a = 1: 1³ = 1 и 8 − 12 + 6 − 1 = 1.
3) (10 + 1)³ = 1000 + 3 · 100 · 1 + 3 · 10 · 1 + 1 = 1000 + 300 + 30 + 1 = 1331.

Сумма кубов a³ + b³ и куб суммы (a + b)³ — совершенно разные выражения: например, 1³ + 2³ = 9, а (1 + 2)³ = 27. Сумму и разность кубов записывают в виде произведения так:

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
где:
  • a² − ab + b²неполный квадрат разности (в середине ab, а не 2ab)
  • a² + ab + b²неполный квадрат суммы

Проверка: (a + b)(a² − ab + b²) = a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³ = a³ + b³ — четыре средних члена попарно уничтожаются. Точно так же (a − b)(a² + ab + b²) = a³ − b³.

Сумма и разность кубов

1) Найдите произведение (x − 2)(x² + 2x + 4).
2) Найдите произведение (3 + y)(9 − 3y + y²).
3) Запишите a³ + 8 в виде произведения.
4) Вычислите 7³ + 3³.

Показать решение
1) a = x, b = 2: вторая скобка равна x² + x · 2 + 2², значит, произведение равно x³ − 2³ = x³ − 8.
2) a = 3, b = y: 9 − 3y + y² = 3² − 3 · y + y², значит, произведение равно 3³ + y³ = 27 + y³.
3) a³ + 2³ = (a + 2)(a² − 2a + 4).
4) (7 + 3)(7² − 7 · 3 + 3²) = 10 · (49 − 21 + 9) = 10 · 37 = 370. Проверка: 343 + 27 = 370.

Формулы в обе стороны. Устный счёт

Каждое тождество читается в обе стороны. Слева направо раскрываем произведение: (x + 5)² = x² + 10x + 25. Справа налево «сворачиваем» длинное выражение обратно: x² + 10x + 25 = (x + 5)². Так узнают полный квадрат: крайние члены — квадраты двух выражений (x² и 5²), а средний член — их удвоенное произведение (2 · x · 5 = 10x). Это умение понадобится и в вычислениях, и на уроке «Разложение многочлена на множители».

Читаем формулы справа налево

1) Запишите 4a² − 12a + 9 в виде квадрата двучлена.
2) Вычислите 37² + 2 · 37 · 13 + 13².
3) Вычислите 87² − 13².
4) Является ли x² + 6x + 4 полным квадратом?

Показать решение
1) 4a² = (2a)², 9 = 3², 12a = 2 · 2a · 3, а средний член со знаком «−»: (2a − 3)².
2) Это раскрытая формула (a + b)² при a = 37, b = 13: (37 + 13)² = 50² = 2500.
3) (87 − 13)(87 + 13) = 74 · 100 = 7400.
4) Нет. Раз есть x² и 6x = 2 · x · 3, полным квадратом было бы (x + 3)² = x² + 6x + 9, но 4 ≠ 9.
Устный счёт

Вычислите устно:
1) 51²
2) 99²
3) 49 · 51
4) 102 · 98
5) 29²
6) 998 · 1002

Показать решение
1) (50 + 1)² = 2500 + 100 + 1 = 2601.
2) (100 − 1)² = 10000 − 200 + 1 = 9801.
3) (50 − 1)(50 + 1) = 2500 − 1 = 2499.
4) (100 + 2)(100 − 2) = 10000 − 4 = 9996.
5) (30 − 1)² = 900 − 60 + 1 = 841.
6) (1000 − 2)(1000 + 2) = 1000000 − 4 = 999996.

Выделение полного квадрата. Упрощение выражений

x² + 6x + 11 — не полный квадрат, но очень близко к нему. Так как x² + 6x + 9 = (x + 3)², то x² + 6x + 11 = (x + 3)² + 2. Такое преобразование называют выделением полного квадрата. Польза видна сразу: квадрат не бывает отрицательным, поэтому (x + 3)² + 2 ≥ 2. Значит, наименьшее значение выражения равно 2, и достигается оно при x = −3.

x² + px = (x + p/2)² − (p/2)²x² + px = (x + p/2)² − (p/2)²
где:
  • pкоэффициент при x
  • p/2p/2его половина — именно она пишется в скобки
  • (p/2)²(p/2)²число, которое добавляют до полного квадрата и сразу вычитают

Раздели коэффициент при x пополам, запиши в скобки вместе с x и вычти «лишнее» (p/2)², которое появляется при возведении в квадрат. На уроке «Квадратные уравнения» этим способом решают квадратные уравнения.

Выделяем полный квадрат

1) Выделите полный квадрат в выражении x² − 8x + 20 и найдите его наименьшее значение.
2) Выделите полный квадрат в выражении x² + 5x.
3) Докажите, что a² + b² ≥ 2ab при любых a и b.

Показать решение
1) p = −8, p/2 = −4, (p/2)² = 16: x² − 8x + 20 = (x² − 8x + 16) + 4 = (x − 4)² + 4.
(x − 4)² ≥ 0, поэтому наименьшее значение равно 4, и достигается оно при x = 4.
2) p = 5, p/2 = 2,5: x² + 5x = (x + 2,5)² − 6,25. Наименьшее значение −6,25 (при x = −2,5).
3) a² + b² − 2ab = (a − b)² ≥ 0, значит, a² + b² ≥ 2ab. Равенство выполняется только при a = b.
  1. 1
    Найди формулы

    В каждом произведении ищи формулу: квадрат или куб двучлена, произведение разности одних и тех же выражений на их сумму.

  2. 2
    Раскрой в скобках

    Произведение, перед которым стоит «−», сначала раскрой внутри скобок, затем раскрой скобки со сменой знаков: −(x − 3)(x + 3) = −(x² − 9) = −x² + 9.

  3. 3
    Приведи подобные

    Приведи подобные — выражение часто сильно сокращается.

  4. 4
    Подставляй в конце

    Подставляй число только в упрощённое выражение, а ответ проверяй по исходному.

Упрости и вычисли

1) Упростите выражение (x + 3)² − (x − 3)(x + 3) и вычислите его при x = −0,5.
2) Докажите, что значение выражения (2a − 1)² − 4a(a − 1) не зависит от a.
3) Упростите выражение (a + b)² − (a − b)² и вычислите его при a = 2,5, b = 0,4.
4) Упростите выражение (y + 1)³ − (y³ + 1) и вычислите его при y = 2.

Показать решение
1) x² + 6x + 9 − (x² − 9) = x² + 6x + 9 − x² + 9 = 6x + 18.
x = −0,5: 6 · (−0,5) + 18 = −3 + 18 = 15. Проверка: 2,5² − (−3,5) · 2,5 = 6,25 + 8,75 = 15.
2) 4a² − 4a + 1 − 4a² + 4a = 1 — при любом a выражение равно 1.
3) a² + 2ab + b² − (a² − 2ab + b²) = 4ab; 4 · 2,5 · 0,4 = 4.
4) y³ + 3y² + 3y + 1 − y³ − 1 = 3y² + 3y; y = 2: 12 + 6 = 18. Проверка: 3³ − 9 = 27 − 9 = 18.
Проверь себя: заполни пропуск
  1. 1.(x + 6)² = x² + + 36
  2. 2.(a − 5)² = a² − 10a +
  3. 3.(2y + 1)(2y − 1) = · y² − 1
  4. 4.x² − 14x + 49 = (x − )²
  5. 5.x³ − 27 = (x − 3)(x² + + 9)
  6. 6.48 · 52 =

Главное

  • (a ± b)² = a² ± 2ab + b²: не забывай удвоенное произведение, (a + b)² ≠ a² + b².
  • (a − b)(a + b) = a² − b²: произведение разности двух выражений на их сумму равно разности их квадратов.
  • (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³ (коэффициенты 1, 3, 3, 1); a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²).
  • Формулы работают и справа налево: x² + 10x + 25 = (x + 5)², 87² − 13² = 74 · 100 = 7400.
  • Выделение полного квадрата: x² + px = (x + p/2)² − (p/2)²; квадрат не бывает отрицательным, поэтому наименьшее значение выражения видно сразу.
  • Сначала упрости выражение, потом подставляй число; произведение со знаком «−» перед ним раскрывай в скобках.

Проверь себя

Вопросов: 12. Каждый правильный ответ приносит XP.

1 / 12
Чему равно (x + 4)²?