- Çarpma ve toplama yoluyla olasılıkları saymak
- Sıranın önemli olup olmadığına göre permütasyon veya kombinasyon seçmek
- Binomu Pascal üçgeniyle açmak ve istenen katsayıyı bulmak
Bir banka kartının 4 haneli PIN kodu kaç farklı şekilde olabilir? Her haneye 10 rakamdan biri yazılır: 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 seçenek. 25 kişilik bir sınıftan 3 temsilci kaç farklı şekilde seçilebilir? 2300 şekilde! Tüm seçenekleri tek tek yazmak imkânsızdır; kombinatorik, onları listelemeden saymayı öğretir. Olasılık, kriptografi ve programlama bu bilgilere dayanır.
Çarpma ve toplama yoluyla sayma
- n₁, n₂, …, nₖher adımdaki seçenek sayısı
- Ntoplam sonuç sayısı
Çarpma yoluyla sayma: seçim art arda birkaç adımda yapılıyorsa (“hem bu hem o”), her adımdaki seçenek sayıları çarpılır.
- n, mortak elemanı olmayan iki gruptaki seçenek sayıları
Toplama yoluyla sayma: seçim “ya bu ya o” biçimindeyse ve gruplar ortak eleman içermiyorsa seçenek sayıları toplanır.
a) Bir kafede 3 çeşit çorba, 4 çeşit ana yemek ve 2 çeşit içecek var. Bir çorba, bir ana yemek ve bir içecekten oluşan kaç farklı öğle yemeği sipariş edilebilir?
b) Rakamları farklı kaç tane üç basamaklı sayı vardır?
c) Leyla raftaki 5 romandan veya 7 şiir kitabından birini seçecek. Kaç seçeneği var?
Çözümü gösterÇözümü gizle
b) Yüzler basamağı 0 olamaz: 9 seçenek. Onlar basamağı: 0 dahil, ilk rakam dışında herhangi biri: 9 seçenek. Birler basamağı: kalan 8 rakam. 9 · 9 · 8 = 648.
c) “Ya roman ya şiir kitabı”; toplama yoluyla sayma: 5 + 7 = 12.
Faktöriyel ve permütasyon
n! = 1 · 2 · 3 · … · n; 1'den n'ye kadar bütün doğal sayıların çarpımı. Tanım gereği 0! = 1'dir. Örneğin 5! = 120, 10! = 3 628 800; faktöriyel çok hızlı büyür.
- nsıralanan farklı elemanların sayısı
Permütasyon sayısı: n farklı elemanı bir sıraya dizmenin yol sayısı. Birinci yer için n, ikinci yer için n − 1 seçenek kalır ve böyle devam eder.
a) 5 farklı kitap bir rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?
b) 6 öğrenci bir sıraya diziliyor. Aysel ile Murad yan yana durmak zorundaysa kaç farklı sıralama vardır?
Çözümü gösterÇözümü gizle
b) Aysel ile Murad'ı “yapıştırıp” tek bir eleman sayalım: 5 eleman 5! = 120 şekilde dizilir. Çiftin içinde ise 2! = 2 şekilde durabilirler.
120 · 2 = 240. (Koşul olmasaydı 6! = 720 olurdu.)
r'li permütasyon ve kombinasyon
- ntoplam eleman sayısı
- rseçilip sıralanan eleman sayısı (r ≤ n)
r'li permütasyon: n elemandan r tanesini seçip sıralarız; sıra önemlidir. Sağ tarafta n'den başlayarak azalan r tane çarpan vardır.
- ntoplam eleman sayısı
- rseçilen eleman sayısı; sıra dikkate alınmaz
Kombinasyon: n elemandan r tanesini yalnızca seçeriz; sıra önemli değildir. r elemanlı her grup permütasyonlarda r! kez sayıldığı için r!'e böleriz.
| Ne yapıyoruz? | Sıra önemli mi? | Formül | Örnek |
|---|---|---|---|
| n elemanın hepsini sıralarız | evet | n! | rafta 5 kitap: 120 |
| n elemandan r tanesini seçip sıralarız | evet | P(n, r) | 25 kişiden başkan, yardımcı, sekreter: 13 800 |
| n elemandan r tanesini yalnızca seçeriz | hayır | C(n, r) | 25 kişiden 3 temsilci: 2300 |
| r yerin her birine n seçenekten biri (tekrar olabilir) | evet | nʳ | 4 haneli PIN: 10⁴ = 10 000 |
25 öğrencilik bir sınıfta:
a) sınıf başkanı, başkan yardımcısı ve sekreter kaç farklı şekilde seçilebilir?
b) bir konferansa gidecek 3 temsilci kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
b) Üç temsilci eşit haklara sahip, sıra önemli değil: C(25, 3) = P(25, 3) / 3! = 13 800 / 6 = 2300.
- n, rr ≤ n olan doğal sayılar
Birinci özellik: r eleman seçmek, kalan n − r elemanı “dışarıda bırakmak” demektir. İkinci özellik Pascal üçgeninin kurulma kuralıdır: C(5, 2) + C(5, 3) = 10 + 10 = 20 = C(6, 3).
Bir kulüpte 6 erkek ve 4 kız var. 5 kişilik bir takım seçilecek.
a) Tam 2 kız içeren kaç takım vardır?
b) En az bir kız içeren kaç takım vardır?
c) Kulüpten rastgele 2 kişi seçiliyor. İkisinin de kız olma olasılığı nedir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
b) Tümleyeni kullanırız: “en az bir kız” = tüm takımlar − kızsız takımlar. C(10, 5) − C(6, 5) = 252 − 6 = 246.
c) Tüm ikililer: C(10, 2) = 45, iki kızlı ikililer: C(4, 2) = 6. P = 6/45 = 2/15 ≈ 0,13.
Binom açılımı ve Pascal üçgeni
- ndoğal sayı üs
- C(n, r)binom katsayıları
Binom açılımı. Genel terim: C(n, r) · aⁿ⁻ʳ · bʳ. Açılımda n + 1 terim vardır, katsayıların toplamı 2ⁿ'dir. (a − b)ⁿ açılımında işaretler sırayla değişir: +, −, +, …
| n | Binom katsayıları | Toplam |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 = 2⁰ |
| 1 | 1 1 | 2 = 2¹ |
| 2 | 1 2 1 | 4 = 2² |
| 3 | 1 3 3 1 | 8 = 2³ |
| 4 | 1 4 6 4 1 | 16 = 2⁴ |
| 5 | 1 5 10 10 5 1 | 32 = 2⁵ |
| 6 | 1 6 15 20 15 6 1 | 64 = 2⁶ |
a) (x + 2)⁴ ifadesini açın.
b) (2x − 1)⁵ açılımında x²'nin katsayısını bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
(x + 2)⁴ = x⁴ + 4 · 2x³ + 6 · 4x² + 4 · 8x + 16 = x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16.
b) Genel terim: C(5, r) · (2x)⁵⁻ʳ · (−1)ʳ. x² için 5 − r = 2 ⇒ r = 3.
C(5, 3) · 2² · (−1)³ = 10 · 4 · (−1) = −40.
Önemli noktalar
- Çarpma yoluyla sayma: art arda adımların seçenekleri çarpılır; toplama yoluyla sayma: “ya/ya da” seçenekleri toplanır.
- n!, n elemanın tüm sıralanışlarının sayısıdır.
- Sıra önemliyse P(n, r) = n!/(n − r)!, değilse C(n, r) = n!/(r!(n − r)!).
- “En az bir” türündeki sorularda tersini tümünden çıkarmak daha kolaydır.
- (a + b)ⁿ açılımının katsayıları Pascal üçgeninin n. satırıdır; genel terim C(n, r)aⁿ⁻ʳbʳ.
Kendini test et
10 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.