- Verileri bir sıklık tablosunda düzenlemek ve uygun grafiği (sütun, daire, çizgi, histogram) seçmek
- Ortalamayı (ağırlıklı ortalama dâhil), medyanı, modu ve açıklığı bulmak
- Küçük bir veri kümesinin varyansını ve standart sapmasını hesaplamak ve anlamını açıklamak
- Medyanın ne zaman ortalamadan daha uygun olduğuna karar vermek ve yanıltıcı grafikleri tanımak
Leyla ve sınıf arkadaşları kendileri hakkında bir anket yaptı: boy, en sevdikleri spor, yazın okudukları kitap sayısı. Ortaya yüzlerce sayı ve kelime çıktı; bu karışık hâlleriyle hiçbir şey söylemiyorlar. İstatistik, verileri toplamayı, tablo ve grafiklerle düzenlemeyi ve birkaç sayıyla (ortalama, medyan, yayılım) özetlemeyi öğretir. Haberlerdeki grafikleri eleştirel okumaya da yardım eder. Verilerden olasılığa geçiş ise “Olasılığın temelleri” dersindedir.
Veri toplama ve sıklık tablosu
Veriler anket, gözlem ve ölçümle toplanır. Nitel (kategorik) veriler ad ya da etiketlerdir: spor dalı, şehir, renk. Nicel (sayısal) veriler ise üzerinde hesap yapılabilen sayılardır: puan, boy, kardeş sayısı. Bir veri kümesindeki değerlerin sayısı n ile gösterilir.
Bir değerin sıklığı f, veride kaç kez geçtiğidir. Göreli sıklığı w = f/n ise bütün verideki payıdır (kesir ya da yüzde olarak).
- fᵢi’nci değerin sıklığı
- wᵢi’nci değerin göreli sıklığı
- nbütün değerlerin sayısı
- kfarklı değerlerin sayısı
İki toplam hazır bir kontroldür: sıklıkların toplamı n etmiyorsa bir değer atlanmış ya da iki kez sayılmıştır.
- 1Değerleri yazın
Bütün olası değerleri bir sütuna yazın (sayıları küçükten büyüğe).
- 2Çetele tutun
Verinin üzerinden bir kez geçin: her cevap için değerinin yanına bir çizgi koyun ve cevabın üstünü çizin.
- 3Sıklıkları bulun
Çizgileri sayın; bunlar sıklıklardır. Toplamlarının n olduğunu kontrol edin.
- 4Payları hesaplayın
Her sıklığı n’ye bölün, yüzde için 100 ile çarpın. Payların toplamı 1 (%100) olmalıdır.
20 öğrenciye yazın kaç kitap okudukları soruldu: 2, 1, 3, 0, 2, 2, 4, 1, 2, 3, 1, 2, 0, 3, 2, 1, 4, 2, 3, 1. Göreli sıklıklarıyla birlikte bir sıklık tablosu hazırlayın.
Çözümü gösterÇözümü gizle
0 kitap: f = 2, w = 2/20 = 0,10 (%10)
1 kitap: f = 5, w = 0,25 (%25)
2 kitap: f = 7, w = 0,35 (%35)
3 kitap: f = 4, w = 0,20 (%20)
4 kitap: f = 2, w = 0,10 (%10)
Kontrol: 2 + 5 + 7 + 4 + 2 = 20 ve %10 + %25 + %35 + %20 + %10 = %100.
Grafikler: hangi veriye hangi grafik
| Grafik | Ne için uygun | Örnek |
|---|---|---|
| Sütun grafiği | kategorileri ya da sıklıkları karşılaştırmak; sütunlar ayrı durur | okunan kitap sayısı |
| Daire grafiği | bir bütünün parçaları (%100) | en sevilen sporlar |
| Çizgi grafiği | zaman içindeki değişim | gün boyunca sıcaklık |
| Histogram | eşit aralıklara ayrılmış sayısal veriler; sütunlar bitişiktir | öğrencilerin boyu |
- αkategorinin daire dilimi açısı
- fkategorinin sıklığı
- nbütün cevapların sayısı
Daire grafiği, daire biçiminde çizilmiş bir sıklık tablosudur: her dilimin açısı 360°’deki payıdır ve bütün açıların toplamı 360°’dir.
40 öğrenci en sevdiği sporu söyledi: futbol 14, basketbol 8, voleybol 6, yüzme 7, satranç 5. Her dilimin açısını ve yüzdesini bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
Futbol: 14 · 9° = 126° (%35)
Basketbol: 8 · 9° = 72° (%20)
Voleybol: 6 · 9° = 54° (%15)
Yüzme: 7 · 9° = 63° (%17,5)
Satranç: 5 · 9° = 45° (%12,5)
Kontrol: 126° + 72° + 54° + 63° + 45° = 360°.
Histogram, boy gibi çok sayıda farklı değeri olan sayısal veriler içindir. Değerler eşit aralıklara gruplanır, sınırdaki değer sağdaki aralığa yazılır ve her sütunun yüksekliği o aralığın sıklığıdır. Sütun grafiğinden farklı olarak histogramın sütunları bitişik çizilir, çünkü aralıklar boşluksuz birbirini izler.
Yukarıdaki histograma göre: 1) kaç öğrencinin boyu 155 cm’den kısadır? 2) öğrencilerin yüzde kaçının boyu en az 165 cm’dir? 3) en çok öğrenci hangi aralıktadır?
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) Son iki sütun: 4 + 2 = 6; 6/30 = 0,2 = %20.
3) En yüksek sütun: [155, 160), 9 öğrenci.
Merkezî eğilim ölçüleri: ortalama, medyan, mod
- x̄aritmetik ortalama (“x bar” diye okunur)
- x₁, …, xₙveri değerleri
- ndeğer sayısı
Ortalama “adil paydır”: bütün değerler bir araya toplanıp eşit bölünse her birine x̄ düşer. Yani değerlerin toplamı n · x̄’dir; eksik değer sorularının anahtarı budur.
1) Leyla 7 sınavdan 9, 6, 8, 10, 9, 5, 9 puan aldı. Ortalamayı bulun.
2) Murad’ın 4 sınavdaki puan ortalaması 7’dir. 5 sınavın ortalamasının 7,4 olması için beşinci sınavdan kaç puan almalıdır?
3) 5 sayının ortalaması 12’dir. Bunlardan biri, 20, siliniyor. Kalan sayıların ortalaması kaçtır?
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) Gereken toplam: 5 · 7,4 = 37. Şimdiye kadar: 4 · 7 = 28. Beşinci sınav: 37 − 28 = 9 puan.
3) Toplam 5 · 12 = 60; 20 çıkınca 4 sayı için 40 kalır: 40 ÷ 4 = 10.
- xᵢfarklı değerler
- fᵢsıklıkları ya da ağırlıkları
Ağırlıklı ortalama, sıklık tablosunda ve değerlerin önemi farklı olduğunda kullanılır. Ağırlıklar yüzde olarak verilip toplamı %100 ise x · w çarpımlarını toplamanız yeter: x̄ = x₁w₁ + … + xₖwₖ.
1) Kitaplarla ilgili sıklık tablosunu kullanarak bir öğrencinin yazın okuduğu ortalama kitap sayısını bulun.
2) Dönem puanı şöyle hesaplanıyor: ödevler (ortalama 9) %20, kısa sınavlar (ortalama 7) %30, dönem sonu sınavı (8) %50. Dönem puanı kaçtır?
3) Bir sınıfta 20 öğrenci var ve ortalama 80; diğerinde 30 öğrenci var ve ortalama 70. İki sınıfın birlikte ortalaması kaçtır?
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) 0,2 · 9 + 0,3 · 7 + 0,5 · 8 = 1,8 + 2,1 + 4 = 7,9.
3) Bütün puanların toplamı: 20 · 80 + 30 · 70 = 1600 + 2100 = 3700; 50 öğrenci: 3700 ÷ 50 = 74. (80 ile 70’in düz ortalaması olan 75 yanlış olurdu: ikinci sınıf daha kalabalık.)
Küçükten büyüğe sıralanmış verinin ortasındaki değer: değerlerin yarısı ondan büyük değildir, yarısı da ondan küçük değildir.
- x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ xₙküçükten büyüğe sıralanmış veri
- ndeğer sayısı: tek (2k + 1) ya da çift (2k)
n tek ise: (n + 1)/2’nci sıradaki değer. n çift ise: ortadaki iki değerin ortalaması. Her zaman önce sıralayın!
En sık tekrarlanan değer. Bir veri kümesinin iki ya da daha fazla modu olabilir ya da hiç olmayabilir (bütün değerler eşit sıklıktaysa). Üç ölçüden yalnızca mod nitel verilere de uygulanabilir.
Medyanı ya da modu bulun:
1) 1, 4, 6, 9, 20 dizisinin medyanı;
2) 3, 8, 5, 10, 7, 2 dizisinin medyanı;
3) kitap sıklık tablosunun medyanı ve modu;
4) 2, 3, 3, 5, 7, 7 dizisinin modu ve spor anketinin modu.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) Sıralayalım: 2, 3, 5, 7, 8, 10; n = 6 çift: medyan = (5 + 7) ÷ 2 = 6.
3) n = 20; 10’uncu ve 11’inci değerler gerekir. Birikimli sıklıklar: 0 kitap 1–2’nci sıralar, 1 kitap 3–7’nci, 2 kitap 8–14’üncü sıralar. İkisi de 2: medyan = 2. Mod da 2’dir (f = 7).
4) 3 ve 7 ikişer kez geçiyor: iki mod var, 3 ve 7. Anketin modu futboldur; burada ortalama ya da medyan anlamsızdır.
Yayılım: açıklık, varyans ve standart sapma
İki basketbolcu maç başına ortalama 12 sayı atıyor. Murad’ın son beş maçı: 10, 12, 14, 12, 12; Elvin’inki: 4, 20, 12, 6, 18. Ortalamaları aynı, ama Murad istikrarlı oynuyor, Elvin ise bir çok bir az atıyor. Merkezî eğilim ölçüleri bu farkı göremez; onu yayılım ölçüleri ölçer.
- Raçıklık
- xₘₐₓ, xₘᵢₙen büyük ve en küçük değer
Açıklık kolay bulunur ama yalnızca iki uç değere bağlıdır; bu yüzden tek bir aykırı değer onu çok değiştirir.
- σ²varyans: sapmaların karelerinin ortalaması
- σstandart sapma
- xᵢ − x̄bir değerin ortalamadan sapması
Sapmaları doğrudan toplayamayız, toplamları her zaman 0’dır; bu yüzden karelerini alırız. σ verilerle aynı birimdedir ve değerlerin ortalamadan tipik uzaklığını gösterir. Örneklem verilerinde üniversite istatistiği n yerine n − 1’e böler.
- 1Ortalamayı bulun
x̄’ı hesaplayın.
- 2Sapmaları yazın
Her değer için xᵢ − x̄; toplamları 0 olmalıdır (kontrol).
- 3Karelerini alın
Her sapmanın karesini alıp kareleri toplayın.
- 4n’ye bölün, karekök alın
Toplam ÷ n = varyans; σ onun kareköküdür.
Murad’ın (10, 12, 14, 12, 12) ve Elvin’in (4, 20, 12, 6, 18) sayıları için açıklığı, varyansı ve standart sapmayı bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
Murad: açıklık = 14 − 10 = 4. Sapmalar −2, 0, 2, 0, 0; kareler 4, 0, 4, 0, 0, toplam 8. σ² = 8 ÷ 5 = 1,6, σ = √1,6 ≈ 1,26.
Elvin: açıklık = 20 − 4 = 16. Sapmalar −8, 8, 0, −6, 6; kareler 64, 64, 0, 36, 36, toplam 200. σ² = 200 ÷ 5 = 40, σ = √40 ≈ 6,32.
Sonuç: Murad’ın sayıları ortalamadan genellikle 1–2 sayı, Elvin’inkiler ise yaklaşık 6 sayı uzaklaşıyor.
Aykırı değerler, ortalama mı medyan mı, yanıltıcı grafikler
Diğer değerlerin çoğundan çok uzak olan değer. Bir hata (yazım yanlışı, bozuk ölçüm) ya da gerçek ama sıra dışı bir durum olabilir; silmeden önce kontrol edin.
Küçük bir firmada 5 çalışanın aylık maaşı: 700, 700, 800, 900 ve 4400 manat (sonuncusu müdürün). Ortalamayı ve medyanı bulun, sonra müdür olmadan yeniden hesaplayın.
Çözümü gösterÇözümü gizle
Müdür olmadan: ortalama = 3100 ÷ 4 = 775, medyan = (700 + 800) ÷ 2 = 750.
Tek bir aykırı değer ortalamayı 725 manat, medyanı ise yalnızca 50 manat değiştirdi. “Tipik” maaşı medyan daha iyi gösterir: beş çalışandan dördü 1500 manattan çok daha az kazanıyor.
| Ölçü | Ne zaman seçilir | Örnekler |
|---|---|---|
| Ortalama | yaklaşık simetrik, aykırı değeri olmayan sayısal veriler | sınav puanları, boy, sıcaklık |
| Medyan | çarpık veriler ya da aykırı değer varsa | maaşlar, daire fiyatları, bekleme süreleri |
| Mod | nitel veriler ya da “en popüler” soruları | en sevilen spor, bir mağazanın en çok ihtiyaç duyduğu ayakkabı numarası |
Bir grafik sayılar bakımından doğru olup yine de yanlış bir izlenim bırakabilir. Yanıltıcı grafiklerin başlıca hileleri şunlardır:
- Kesilmiş eksen: sütun grafiğinin dikey ekseni 0’dan başlamaz, bu yüzden küçük farklar dev gibi görünür.
- Düzensiz ölçek: eksendeki eşit adımlar farklı miktarları gösterir ya da histogram aralıkları farklı genişliktedir.
- İki yönde büyütülmüş resimler: iki kat uzun ve iki kat geniş bir şeklin alanı 4 kat büyüktür; bu yüzden 2 katlık artış 4 kat gibi görünür.
- Seçilmiş zaman aralığı ya da birimsiz, kaynaksız grafik: yalnızca iddiayı destekleyen yıllar gösterilir ya da sayılar kontrol edilemez.
- 1.3, 5 ve 10 sayılarının ortalaması ’dır.
- 2.1, 2, 8, 9 dizisinin medyanı ’tir.
- 3.4, 7, 7, 2, 4, 7 dizisinin modu ’dir.
- 4.12, 5, 19, 8 dizisinin açıklığı ’tür.
- 5.Cevapların %25’ini alan bir kategori, daire grafiğinde açısı ° olan bir dilim alır.
Önemli noktalar
- Sıklık tablosunda sıklıkların toplamı n, göreli sıklıkların toplamı 1’dir (%100).
- Sütun grafiği kategoriler, daire grafiği bir bütünün parçaları (α = 360° · f/n), çizgi grafiği zaman içindeki değişim, histogram gruplanmış sayısal veriler içindir.
- Ortalama = toplam ÷ n; ağırlıklı ortalama = Σ x·f ÷ Σ f; bütün değerlerin toplamı n · x̄’dır.
- Medyan sıralı verinin ortasıdır (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması), mod en sık tekrarlanan değerdir, açıklık = en büyük − en küçük.
- Varyans, sapmaların karelerinin ortalamasıdır; onun karekökü σ, değerlerin ortalamadan tipik uzaklığını gösterir.
- Aykırı değer ya da çarpık veri varsa medyanı seçin; bir grafiğe güvenmeden önce eksenleri, ölçeği ve alanları kontrol edin.
Kendini test et
12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.