Toplamın, çarpımın ve bölümün türevi

Bu derste öğreneceklerin

Toplam, fark ve sabit çarpan kurallarıyla her polinomun türevini terim terim almak ve türevin bir noktadaki değerini hesaplamak
Çarpım kuralını iki ve üç çarpan için uygulamak ve çarpımın türevinin neden u′ · v′ olmadığını açıklamak
Bölüm kuralıyla kesirli fonksiyonların türevini almak ve tan x ile cot x fonksiyonlarının türevlerini çıkarmak
Önce sadeleştirmenin ne zaman daha kolay olduğunu görmek ve cevabı iki yolla kontrol etmek

Leyla, Nevruz’un geleneksel Azerbaycan tatlısı şekerburayı yapıp kutuyla satıyor. Haftalık geliri, bir kutunun fiyatı ile satılan kutu sayısının çarpımıdır: R = p · q. Nevruz yaklaştıkça ikisi de artıyor: fiyat haftada 0,5 manat, satışlar haftada 5 kutu artıyor. Gelir hangi hızla artar? İki hızı çarpmak (0,5 · 5 = 2,5) akla ilk gelen yoldur ve yanlıştır. Toplamın, çarpımın ve bölümün türevini bulmanın kendi kuralları vardır; bu derste onları öğrenecek ve Leyla’nın problemini de çözeceğiz.

Önceki derste türev tablosunu öğrendik: xⁿ, √x, eˣ, ln x, sin x, cos x gibi temel fonksiyonların türevlerini biliyoruz. Problemlerde ise fonksiyonlar bu “tuğlalardan” toplama, çıkarma, çarpma ve bölmeyle kurulur: 3x² − 5x, x² · sin x, ln x / x. Fonksiyonun fonksiyonu (sin 2x veya (3x − 2)⁵ gibi) ise bir sonraki dersin, bileşke fonksiyonun türevinin konusudur.

Tanım

Türev alma kuralları

Fonksiyonların toplamının, farkının, bir sabitle çarpımının, çarpımının ve bölümünün türevini bu fonksiyonlar ve türevleri cinsinden veren formüller. Bunlarla tablo fonksiyonlarından dört işlemle kurulan her ifadenin türevi alınabilir.

Toplamın, farkın ve sabitle çarpımın türevi

Toplamın türevi neden türevlerin toplamına eşittir? f = u + v olsun. Değişken Δx kadar değişince u fonksiyonu Δu, v fonksiyonu Δv kadar, toplam ise Δf = Δu + Δv kadar değişir. İki tarafı Δx’e bölelim: Δf / Δx = Δu / Δx + Δv / Δx. Δx → 0 iken sağdaki oranlar u′ ve v′ değerlerine yaklaşır; demek ki f′ = u′ + v′. Sabit çarpanda da durum aynıdır: C · u fonksiyonunun artımı C · Δu olduğundan C türevin dışına çıkar.

(u ± v)′ = u′ ± v′

burada:

u, vx’e bağlı türevlenebilir fonksiyonlar
u′, v′bu fonksiyonların türevleri

Toplamın (farkın) türevi, türevlerin toplamına (farkına) eşittir. Kural istenen sayıda terim için geçerlidir: (u₁ + u₂ + … + uₙ)′ = u₁′ + u₂′ + … + uₙ′.

Toplamın türevi

Türevi bul: 1) y = x³ + sin x; 2) y = eˣ − ln x; 3) y = √x + 1/x − 5.

Çözümü göster

1) y′ = (x³)′ + (sin x)′ = 3x² + cos x.
2) y′ = (eˣ)′ − (ln x)′ = eˣ − 1/x.
3) y′ = (√x)′ + (1/x)′ − (5)′ = 1/(2√x) − 1/x² − 0 = 1/(2√x) − 1/x².
Her terimin türevi ayrı ayrı alınır; sabit terimin türevi 0 olduğu için kaybolur.

(C · u)′ = C · u′

burada:

Csabit bir sayı (örneğin 5, −3, π, 1/2)
ux’e bağlı türevlenebilir bir fonksiyon

Sabit çarpan türevin dışına çıkarılır. Paydadaki sabit de bir çarpandır: x³/6 = (1/6) · x³.

Sabit çarpan

Türevi bul: 1) y = 7x⁴; 2) y = −3 cos x; 3) y = x³/6; 4) y = 5/x.

Çözümü göster

1) y′ = 7 · (x⁴)′ = 7 · 4x³ = 28x³.
2) y′ = −3 · (cos x)′ = −3 · (−sin x) = 3 sin x.
3) y = (1/6) · x³, y′ = (1/6) · 3x² = x²/2.
4) y = 5 · (1/x), y′ = 5 · (−1/x²) = −5/x².
Karşılaştır: (x² + 5)′ = 2x — terim olan sabit kaybolur; (5x²)′ = 10x — çarpan olan sabit kalır.

Tanım

Türevin doğrusallığı

Toplam ve sabit çarpan kurallarının birlikte ifadesi: sabit katsayılarla toplanmış fonksiyonların türevi, türevlerinin aynı katsayılarla toplamına eşittir. Örneğin 3 · sin x − 2 · eˣ fonksiyonunun türevi 3 · cos x − 2 · eˣ’tir.

(aₙxⁿ + … + a₂x² + a₁x + a₀)′ = n · aₙxⁿ⁻¹ + … + 2a₂x + a₁

burada:

aₙ, …, a₁, a₀polinomun katsayıları (sabit sayılar); a₀ sabit terimdir
npolinomun derecesi (bir doğal sayı)

Polinomun türevi terim terim alınır: her terime (xᵏ)′ = k · xᵏ⁻¹ uygulanır, katsayı korunur, sabit terim a₀ ise kaybolur. Türevin derecesi bir azalır.

Polinomlar, kökler ve kesirler

Türevi bul: 1) y = 4x³ − 5x² + 7x − 1; 2) y = 2x⁵ − x³/3 + 6; 3) y = 3x⁴ − 2√x + 5/x − 7; 4) y = 6∛x − 4/x² + x/2. 5) f(x) = x³ − 6x² + 5 ise f′(2) ve f′(−1) değerlerini hesapla.

Çözümü göster

1) y′ = 4 · 3x² − 5 · 2x + 7 − 0 = 12x² − 10x + 7.
2) y′ = 2 · 5x⁴ − (1/3) · 3x² + 0 = 10x⁴ − x².
3) √x = x^(1/2), 1/x = x⁻¹: y′ = 12x³ − 2 · 1/(2√x) + 5 · (−1/x²) − 0 = 12x³ − 1/√x − 5/x².
4) Önce üslü biçimde yazalım: y = 6x^(1/3) − 4x⁻² + (1/2)x.
y′ = 6 · (1/3) · x^(−2/3) − 4 · (−2) · x⁻³ + 1/2 = 2/∛(x²) + 8/x³ + 1/2.
5) f′(x) = 3x² − 12x, f′(2) = 12 − 24 = −12, f′(−1) = 3 + 12 = 15.
Önce türev, sonra değer: x = 2 türev almadan önce yazılırsa f(2) sayısının türevi, yani 0 bulunur.

Çarpımın türevi

Çarpım kuralını bir dikdörtgen üzerinde görmek kolaydır. Kenarları u ve v olan dikdörtgenin alanı S = u · v’dir. Değişken Δx kadar artınca kenarlar Δu ve Δv kadar uzar ve alana üç parça eklenir: Δu · v şeridi, u · Δv şeridi ve küçük köşe Δu · Δv. Yani ΔS = Δu · v + u · Δv + Δu · Δv.

Alan artışı: ΔS = Δu · v + u · Δv + Δu · Δv. Δx’e bölüp Δx → 0 alınca şeritler u′ · v ve u · v′ verir, köşe ise kaybolur.

Şimdi Δx’e bölelim: ΔS / Δx = (Δu / Δx) · v + u · (Δv / Δx) + (Δu / Δx) · Δv. Δx → 0 iken ilk iki terim u′ · v ve u · v′ değerlerine yaklaşır. Üçüncüde Δu / Δx → u′ olur ama Δv → 0, bu yüzden bu terim sıfıra gider. Küçük köşe kaybolur ve geriye çarpım kuralı kalır.

(u · v)′ = u′ · v + u · v′

burada:

u, vçarpanlar — x’e bağlı türevlenebilir fonksiyonlar
u′, v′çarpanların türevleri

Çarpımın türevi: “birincinin türevi çarpı ikinci, artı birinci çarpı ikincinin türevi”. Terimlerin yeri değişebilir: u · v′ + u′ · v de doğrudur.

Tablo fonksiyonlarıyla çarpım kuralı

Türevi bul: 1) y = x² · sin x; 2) y = x³ · ln x; 3) y = eˣ · cos x; 4) y = x · eˣ, sonra y′(−1) değerini hesapla.

Çözümü göster

1) u = x², v = sin x, u′ = 2x, v′ = cos x.
y′ = 2x · sin x + x² · cos x.
2) u = x³, v = ln x, u′ = 3x², v′ = 1/x.
y′ = 3x² · ln x + x³ · (1/x) = 3x² ln x + x² = x²(3 ln x + 1).
3) y′ = (eˣ)′ · cos x + eˣ · (cos x)′ = eˣ cos x − eˣ sin x = eˣ(cos x − sin x).
4) y′ = 1 · eˣ + x · eˣ = (x + 1)eˣ, y′(−1) = 0 · e⁻¹ = 0.
Ortak çarpanı parantez dışına almak faydalıdır: böylece türevin işareti kolayca görülür.

Parantez açarak kontrol

y = (x² + 1)(x − 3) fonksiyonunun türevini iki yoldan bul ve y′(1) değerini hesapla.

Çözümü göster

1. yol (çarpım kuralı): u = x² + 1, v = x − 3, u′ = 2x, v′ = 1.
y′ = 2x · (x − 3) + (x² + 1) · 1 = 2x² − 6x + x² + 1 = 3x² − 6x + 1.
2. yol (önce parantezleri aç): y = x³ − 3x² + x − 3, y′ = 3x² − 6x + 1.
Cevaplar aynı. y′(1) = 3 − 6 + 1 = −2.
Yanlış “kural” u′ · v′ ise 2x · 1 = 2x verirdi — bambaşka bir fonksiyon.

Neden (u · v)′ ≠ u′ · v′? En basit kontrol: x² = x · x. Doğru cevap (x²)′ = 2x’tir; “türevleri çarpmak” ise 1 · 1 = 1 verirdi. Şekil nedenini de gösterir: u′ · v′ yalnızca küçük köşede ortaya çıkar (Δu · Δv / Δx ≈ u′ · v′ · Δx) ve Δx → 0 iken kaybolan tam da bu parçadır. Kuralı geriye kalan iki şerit verir.

Etkileşimli

Simülasyon yükleniyor…

İlk grafik f(x) = x² · sin x’tir. İkinci doğrunun eğimi çarpım kuralından gelir: f′(a) = 2a · sin a + a² · cos a; bu doğru grafiğe apsisi a olan noktada teğettir. Üçüncü doğrunun eğimi yanlış “kural” 2a · cos a ile alınmıştır; a’nın çoğu değerinde bu doğru grafiği keser. a değerini değiştirip karşılaştır.

Üç çarpanda kuralı iki kez uygularız; önce u · v’yi tek bir çarpan sayarız: (u · v · w)′ = (u · v)′ · w + (u · v) · w′. İlk parantezi de açınca aşağıdaki formül çıkar.

(u · v · w)′ = u′ · v · w + u · v′ · w + u · v · w′

burada:

u, v, wx’e bağlı üç türevlenebilir çarpan

Kaç çarpan varsa o kadar terim olur: her terimde sırayla yalnızca bir çarpanın türevi alınır, diğerleri olduğu gibi kalır.

Üç çarpan

1) y = x(x + 1)(x + 2) fonksiyonunun türevini üç çarpan kuralıyla bul ve parantezleri açarak kontrol et. 2) y = x · eˣ · sin x fonksiyonunun türevini bul.

Çözümü göster

1) u = x, v = x + 1, w = x + 2; u′ = v′ = w′ = 1.
y′ = (x + 1)(x + 2) + x(x + 2) + x(x + 1) = (x² + 3x + 2) + (x² + 2x) + (x² + x) = 3x² + 6x + 2.
Kontrol (parantezleri açarak): y = x³ + 3x² + 2x, y′ = 3x² + 6x + 2 — aynı sonuç.
2) y′ = 1 · eˣ · sin x + x · eˣ · sin x + x · eˣ · cos x = eˣ(sin x + x sin x + x cos x).

Leyla’nın geliri

Şu anda bir kutu şekerbura p = 12 manat ve haftada q = 40 kutu satılıyor. Fiyat haftada 0,5 manat, satışlar haftada 5 kutu artıyor: p′ = 0,5, q′ = 5. Haftalık gelir R = p · q hangi hızla artar?

Çözümü göster

1) Çarpım kuralı: R′ = p′ · q + p · q′.
2) R′ = 0,5 · 40 + 12 · 5 = 20 + 60 = 80 (manat/hafta).
3) 20 manat fiyat artışından, 60 manat satış artışından gelir.
Cevap: gelir haftada yaklaşık 80 manat artar. Hızların çarpımı 0,5 · 5 = 2,5 ise 32 kat küçük, yanlış bir cevap verirdi.
Kontrol: fiyat ve satışlar bir hafta bu hızla artarsa gelir 12 · 40 = 480 manattan 12,5 · 45 = 562,5 manata çıkar, yani 82,5 manat artar. 80 ile fark (2,5 manat) tam olarak dikdörtgenin küçük köşesidir: Δp · Δq = 0,5 · 5.

Bölümün türevi

Bölüm kuralı çarpım kuralından elde edilir. q = u / v olsun; o hâlde u = q · v. Çarpım kuralına göre u′ = q′ · v + q · v′. Buradan q′ = (u′ − q · v′) / v = (u′ − (u / v) · v′) / v. Pay ve paydayı v ile çarparsak bölüm kuralı bulunur.

(u / v)′ = (u′ · v − u · v′) / v²(u / v)′ = (u′ · v − u · v′) / v²

burada:

upay — x’e bağlı türevlenebilir bir fonksiyon
vpayda, v ≠ 0
u′, v′payın ve paydanın türevleri

Bölümün türevi: paydaki “−” yüzünden terimlerin sırası önemlidir — pay her zaman u′ · v ile başlar; paydada v’nin karesi vardır.

Bölüm kuralı uygulamada

Türevi bul: 1) y = (2x + 1)/(x − 3); 2) y = x/(x + 1); 3) y = ln x / x; 4) y = sin x/(1 + cos x).

Çözümü göster

1) u = 2x + 1, v = x − 3, u′ = 2, v′ = 1.
y′ = (2 · (x − 3) − (2x + 1) · 1)/(x − 3)² = (2x − 6 − 2x − 1)/(x − 3)² = −7/(x − 3)².
2) y′ = (1 · (x + 1) − x · 1)/(x + 1)² = 1/(x + 1)².
3) u = ln x, v = x, u′ = 1/x, v′ = 1.
y′ = ((1/x) · x − ln x · 1)/x² = (1 − ln x)/x².
4) y′ = (cos x · (1 + cos x) − sin x · (−sin x))/(1 + cos x)² = (cos x + cos² x + sin² x)/(1 + cos x)² = (1 + cos x)/(1 + cos x)² = 1/(1 + cos x).
Son adımda sin² x + cos² x = 1 özdeşliğini kullandık.

Pay sabit olduğunda (u = C) türevi sıfırdır ve bölüm kuralının ilk terimi kaybolur: (C / v)′ = (0 · v − C · v′) / v². Böyle kesirlerde kısa formülü kullanmak pratiktir.

(1 / v)′ = −v′ / v² (C / v)′ = −C · v′ / v²(1 / v)′ = −v′ / v² (C / v)′ = −C · v′ / v²

burada:

Csabit sayı (pay)
vpayda, v ≠ 0
v′paydanın türevi

Payı sabit olan kesrin türevi. Dikkat: (C / v)′ ≠ C / v′.

Payı sabit olan kesirler

Türevi bul: 1) y = 1/(x² + 1); 2) y = 5/(x − 2); 3) y = 3/(eˣ + 1); 4) y = 1/sin x. 5) Tablodaki (1/x)′ = −1/x² formülünü kontrol et.

Çözümü göster

1) v = x² + 1, v′ = 2x: y′ = −2x/(x² + 1)².
2) C = 5, v = x − 2, v′ = 1: y′ = −5/(x − 2)².
3) C = 3, v = eˣ + 1, v′ = eˣ: y′ = −3eˣ/(eˣ + 1)².
4) v = sin x, v′ = cos x: y′ = −cos x / sin² x.
5) v = x, v′ = 1: (1/x)′ = −1/x² — tablodaki formülle aynı.

tan x ve cot x türevlerinin çıkarılışı

tan x = sin x / cos x ve cot x = cos x / sin x olduğunu bilerek (tan x)′ ve (cot x)′ formüllerini bölüm kuralıyla çıkar. Sonra (tan x)′ değerini x = π/4’te, (cot x)′ değerini x = π/6’da hesapla.

Çözümü göster

1) (tan x)′ = ((sin x)′ · cos x − sin x · (cos x)′)/cos² x = (cos x · cos x + sin x · sin x)/cos² x = (cos² x + sin² x)/cos² x = 1/cos² x (cos x ≠ 0).
2) (cot x)′ = ((cos x)′ · sin x − cos x · (sin x)′)/sin² x = (−sin² x − cos² x)/sin² x = −1/sin² x (sin x ≠ 0).
3) x = π/4: 1/cos²(π/4) = 1/(1/2) = 2. x = π/6: −1/sin²(π/6) = −1/(1/4) = −4.
Temel trigonometrik özdeşlik sin² x + cos² x = 1 iki payı da bir sayıya dönüştürür. Tablonun bu iki satırını unutsan bile onları yarım dakikada yeniden çıkarabilirsin.

Önce sadeleştir, sonra türev al

Kurallar her zaman doğru cevabı verir ama her zaman en kısa yoldan değil. Türev almadan önce ifadeye bir saniye bak — belki çarpım ya da bölüm kuralı gerektirmeyen bir toplama dönüştürülebilir:

Parantezleri aç, çarpım iki küçük polinomdan oluşuyorsa: (x + 2)(x − 5) = x² − 3x − 10, türevi 2x − 3.
Kesri terimlere ayır, paydada tek terim varsa: (x² + 1)/x = x + 1/x.
Kökleri ve 1/xⁿ ifadelerini üslü biçimde yaz: √x = x^(1/2), 1/x³ = x⁻³, 1/√x = x^(−1/2).

İki yol, tek cevap

Türevi önce kuralla, sonra sadeleştirerek bul: 1) y = (x² + 1)/x; 2) y = (x³ − 2√x)/x; 3) y = (x² − 4)/(x − 2).

Çözümü göster

1) Bölüm kuralı: y′ = (2x · x − (x² + 1) · 1)/x² = (x² − 1)/x².
Sadeleştirerek: y = x + x⁻¹, y′ = 1 − 1/x² = (x² − 1)/x². Cevap aynı.
2) Bölüm kuralı: y′ = ((3x² − 1/√x) · x − (x³ − 2√x) · 1)/x² = (3x³ − √x − x³ + 2√x)/x² = (2x³ + √x)/x² = 2x + 1/(x√x).
Sadeleştirerek: y = x² − 2x^(−1/2), y′ = 2x − 2 · (−1/2) · x^(−3/2) = 2x + 1/(x√x). İkinci yol çok daha kısadır.
3) x ≠ 2 için y = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, bu yüzden y′ = 1.
Bölüm kuralı da bunu doğrular: y′ = (2x(x − 2) − (x² − 4))/(x − 2)² = (x² − 4x + 4)/(x − 2)² = 1.

Herhangi bir ifadenin türevini alırken bu sırayla çalış:

1
Yapıyı tanı
İfadenin değerini hesaplasaydın son işlem hangisi olurdu? Toplama veya çıkarma — toplam kuralı, çarpma — çarpım kuralı, bölme — bölüm kuralı. Sabit çarpanı hemen dışarı al.
2
Sadeleştirme ara
Parantezleri aç, paydası tek terimli kesri ayır, kökleri üslü yaz. Bu çoğu zaman çarpım ve bölüm kurallarını gereksiz kılar.
3
u, v, u′, v′ ifadelerini ayrı yaz
Çarpım ya da bölüm kaldıysa dört ifadeyi ayrı yaz: u, v ve tablodan türevleri u′, v′.
4
Formülde yerine koy
Her ifadeyi parantez içinde yaz; bölümde pay u′ · v ile başlar, payda v²’dir.
5
Sadeleştir ve kontrol et
Parantezleri aç, benzer terimleri topla, ortak çarpanı dışarı al. Sonucu ikinci bir yolla ya da basit bir noktada kontrol et.

Karışık alıştırma

Türevi bul: 1) y = (x² − 3x) · eˣ; 2) y = (1 + ln x)/x; 3) y = x · sin x + cos x; 4) y = (x + 1)/√x. 5) f(x) = eˣ · (x² − 2x + 2) ise f′(1) değerini hesapla. 6) f(x) = x²/(x − 1) ise f′(3) değerini hesapla.

Çözümü göster

1) Çarpım kuralı: y′ = (2x − 3) · eˣ + (x² − 3x) · eˣ = (x² − x − 3)eˣ.
2) Bölüm kuralı: y′ = ((1/x) · x − (1 + ln x) · 1)/x² = (1 − 1 − ln x)/x² = −ln x / x².
3) Toplam ve çarpım kuralları: y′ = (sin x + x cos x) + (−sin x) = x cos x.
4) Önce kesri ayır: y = x^(1/2) + x^(−1/2), y′ = 1/(2√x) − 1/(2x√x) = (x − 1)/(2x√x).
5) f′(x) = eˣ(x² − 2x + 2) + eˣ(2x − 2) = x² · eˣ, f′(1) = e ≈ 2,72.
6) f′(x) = (2x(x − 1) − x² · 1)/(x − 1)² = (x² − 2x)/(x − 1)², f′(3) = (9 − 6)/2² = 3/4.

Kendini dene: türevin değeri

1.f(x) = 4x³ − 5x² + 7x − 1 ise f′(1) =
2.f(x) = x · eˣ ise f′(0) =
3.f(x) = (x² + 1)(x − 3) ise f′(3) =
4.f(x) = (2x + 1)/(x − 3) ise f′(4) =
5.f(x) = x/(x + 1) ise f′(1) =
6.f(x) = tan x ise f′(π/3) =

Bu dersin kuralları yalnızca toplama, çıkarma, çarpma ve bölmeyi kapsar. sin 2x, e^(3x) veya (3x − 2)⁵ gibi fonksiyonlarda ise bir fonksiyon diğerinin içindedir: (3x − 2)⁵ açılıp terim terim türevi alınabilir ama bu çok uzun sürer. Bir sonraki derste bileşke fonksiyonun türevini, yani zincir kuralını öğreneceğiz; bu kural böyle fonksiyonların türevini tek adımda verir.

Önemli noktalar

(u ± v)′ = u′ ± v′ ve (C · u)′ = C · u′: polinomun türevi terim terim alınır, sabit terim kaybolur, sabit çarpan kalır.
(u · v)′ = u′ · v + u · v′ ve (u · v)′ ≠ u′ · v′. Üç çarpanda üç terim olur; her birinde bir çarpanın türevi alınır.
(u / v)′ = (u′ · v − u · v′) / v²: pay u′ · v ile başlar, paydanın karesi alınır.
Pay sabitse (C / v)′ = −C · v′ / v²; bölüm kuralı (tan x)′ = 1 / cos² x ve (cot x)′ = −1 / sin² x formüllerini verir.
Mümkünse önce sadeleştir: parantezleri aç, kesri payına göre ayır, kökleri üslü yaz — iki yolun cevabı aynı olmalıdır.
Türevin bir noktadaki değeri için önce f′(x) bulunur, sonra x₀ yerine yazılır.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12

Çarpımın türevi formülü hangisidir?