- Değişken değiştirme ve kısmi integrasyonu uygulamak
- Rasyonel fonksiyonları basit kesirlere ayırarak integre etmek
- Genelleştirilmiş integrallerin yakınsaklığına karar vermek
- İntegralle dönel cisim hacmini ve işi hesaplamak
İntegral tablosu basit fonksiyonlarla başa çıkar; peki ∫ x eˣ dx, ∫ ln x dx veya ∫ dx/(x² − 1) ne olacak? Tabloda uygun formül yok. Türev kuralları gibi evrensel bir tarif yoktur; yine de küçük bir araç kutusu çoğu durumu çözer: değişken değiştirme zincir kuralını, kısmi integrasyon çarpım kuralını tersine çevirir, basit kesirlere ayırma ise karmaşık bir kesri basit parçalara böler.
Değişken değiştirme
- uyeni değişken (iç fonksiyon)
- duyeni değişkenin diferansiyeli
Belirli integralde sınırları da değiştirin: x = a, u = g(a)'ya; x = b ise u = g(b)'ye dönüşür.
a) ∫ 2x(x² + 1)⁵ dx b) ∫ tan x dx c) ∫₀¹ x · e^(x²) dx
Çözümü gösterÇözümü gizle
b) tan x = sin x / cos x. u = cos x, du = −sin x dx: ∫ (−du/u) = −ln|u| + C = −ln|cos x| + C.
c) u = x², du = 2x dx, yani x dx = du/2. Sınırlar: x = 0 ⇒ u = 0, x = 1 ⇒ u = 1.
(1/2) ∫₀¹ eᵘ du = (1/2)(e − 1) ≈ 0,859.
Kısmi integrasyon
Çarpım kuralından başlayalım: (uv)′ = u′v + uv′. İki tarafın integralini alınca uv = ∫ v du + ∫ u dv elde edilir. Terimleri yeniden düzenleyince bir integrali başka bir integralle değiştiren formül çıkar:
- utürevi alınan kısım: du = u′ dx
- dvintegrali alınan kısım: v = ∫ dv
Kısmi integrasyon formülü. Belirli integral için: ∫ₐᵇ u dv = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du.
a) ∫ x eˣ dx b) ∫ ln x dx c) ∫₀^π x sin x dx
Çözümü gösterÇözümü gizle
∫ x eˣ dx = x eˣ − ∫ eˣ dx = eˣ(x − 1) + C.
b) u = ln x (L), dv = dx ⇒ du = dx/x, v = x.
∫ ln x dx = x ln x − ∫ x · (1/x) dx = x ln x − x + C.
c) u = x, dv = sin x dx ⇒ du = dx, v = −cos x.
[−x cos x]₀^π + ∫₀^π cos x dx = (π − 0) + [sin x]₀^π = π + 0 = π.
Basit kesirler ve trigonometrik integraller
Payının derecesi paydanınkinden küçük olan bir P(x)/Q(x) rasyonel fonksiyonu, Q'nun çarpanlarına göre basit kesirlere ayrılabilir: doğrusal çarpan (x − a), A/(x − a) verir; tekrarlanan (x − a)² çarpanı A/(x − a) + B/(x − a)² verir; çarpanlarına ayrılamayan x² + px + q ise (Ax + B)/(x² + px + q) verir. Her parça tabloyla integre edilir: ∫ A/(x − a) dx = A ln|x − a| + C.
- a, bpaydanın farklı kökleri (a ≠ b)
- A, Bbulunacak sabitler
- P(x)derecesi 2'den küçük bir polinom
İki farklı doğrusal çarpan için basit kesirlere ayırma; ardından ∫ = A ln|x − a| + B ln|x − b| + C.
∫ (5x − 1)/(x² − x − 2) dx integralini hesaplayın.
Çözümü gösterÇözümü gizle
(5x − 1)/((x − 2)(x + 1)) = A/(x − 2) + B/(x + 1).
x = 2: A = (5 · 2 − 1)/(2 + 1) = 9/3 = 3. x = −1: B = (5 · (−1) − 1)/(−1 − 2) = −6/(−3) = 2.
Kontrol: 3(x + 1) + 2(x − 2) = 5x − 1. ✓
∫ = 3 ln|x − 2| + 2 ln|x + 1| + C.
- Çift kuvvetler: kuvveti düşürün: sin² x = (1 − cos 2x)/2, cos² x = (1 + cos 2x)/2. Buradan ∫ sin² x dx = x/2 − sin 2x/4 + C ve ∫₀^π sin² x dx = π/2.
- Tek kuvvet: bir çarpanı ayırın ve değişken değiştirin: ∫ sin³ x dx = ∫ (1 − cos² x) sin x dx; u = cos x ⇒ −cos x + cos³ x/3 + C.
- Çarpımlar: toplama çevirin: sin α · cos β = (1/2)[sin(α − β) + sin(α + β)] ve benzeri formüller.
Genelleştirilmiş (has olmayan) integraller
- ∞sonsuz sınır: önce sonlu b ile hesaplayın, sonra b → ∞
- limlimit sonluysa integral yakınsar, değilse ıraksar
Aynı fikir, bir uç noktada sınırsız olan fonksiyon için de geçerlidir: ∫₀¹ f(x) dx = lim (t→0⁺) ∫ₜ¹ f(x) dx.
- püs; sınır durum olan p = 1 her iki integralde de ıraksar
p-integralleri: diğer integralleri karşılaştırmak için ölçüt.
a) ∫₁^∞ dx/x² b) ∫₁^∞ dx/x c) ∫₀¹ dx/√x d) ∫₀^∞ e⁻ˣ dx
Çözümü gösterÇözümü gizle
b) lim (b→∞) [ln x]₁ᵇ = lim ln b = ∞: ıraksar.
c) lim (t→0⁺) [2√x]ₜ¹ = 2 − 0 = 2: fonksiyon 0 yakınında sınırsız olsa da yakınsar.
d) lim (b→∞) [−e⁻ˣ]₀ᵇ = lim (1 − e⁻ᵇ) = 1: yakınsar.
Uygulamalar: dönel cisim hacmi ve iş
- f(x)x konumundaki diskin yarıçapı
- π (f(x))² dxkalınlığı dx olan ince diskin hacmi
Disk yöntemi: y = f(x), a ≤ x ≤ b altındaki bölge x ekseni etrafında döner.
a) y = √x, 0 ≤ x ≤ 4 eğrisinin altındaki bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini bulun.
b) Küre hacmi formülünü türetin.
Çözümü gösterÇözümü gizle
b) R yarıçaplı küre, y = √(R² − x²), −R ≤ x ≤ R yarım çemberinin döndürülmesiyle oluşur:
V = π ∫ (R² − x²) dx (−R'den R'ye) = π [R²x − x³/3] = π (2R³ − 2R³/3) = (4/3)πR³.
Okuldan bilinen formül çıktı; bu iyi bir kontroldür.
- F(x)değişken kuvvet, N
- xhareket yönündeki konum, m
- Wiş, J (joule)
Değişken bir kuvvetin işi: “kuvvet × yol” formülünün integral hâli.
Yay sabiti k = 200 N/m olan bir yay Hooke yasasına uyar: F = kx. Yayı 0'dan 10 cm'ye, sonra 10 cm'den 20 cm'ye germek için ne kadar iş gerekir?
Çözümü gösterÇözümü gizle
0 → 0,1 m: W = 200 · 0,1²/2 = 1 J.
0,1 → 0,2 m: W = 100 · (0,2² − 0,1²) = 100 · 0,03 = 3 J.
İkinci 10 cm, birincinin üç katı iş gerektirir; çünkü kuvvet uzamayla birlikte artar.
Önemli noktalar
- Değişken değiştirme: ∫ f(g(x)) g′(x) dx = ∫ f(u) du; bir fonksiyonu türeviyle birlikte arayın.
- Kısmi integrasyon: ∫ u dv = uv − ∫ v du; u'yu LIATE sırasıyla seçin.
- Basit kesirler: paydayı çarpanlarına ayırın, kesri bölün, her parça bir logaritma verir (payın derecesi büyükse önce bölün).
- Genelleştirilmiş integral bir limit olarak tanımlanır; ∫₁^∞ dx/xᵖ yalnızca p > 1 için yakınsar.
- Dönel cisim hacmi V = π ∫ f² dx; değişken kuvvetin işi ∫ F dx.
Kendini test et
10 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.