İçeriğe geç
Educora
TR
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
ÖğrenmemEducora StudioAyarlar
Orta7. sınıf22 dk20 / 82

Açılar. Paralel doğrular

Açıların ölçülmesi ve çeşitleri, açıortay, komşu bütünler ve ters açılar, dik doğrular, iki paralel doğrunun bir kesenle oluşturduğu açılar (yöndeş, iç ters, karşı durumlu), doğruların paralellik koşulları ve saat problemleri.

Kendini test et
Bu derste öğreneceklerin
  • Açıları iletkiyle ölçmek, türünü belirlemek ve açıortayla ilgili hesaplar yapmak
  • Komşu bütünler ve ters açıların özellikleriyle bilinmeyen açıları bulmak
  • Paralel doğrular ve bir kesenle oluşan açı çiftlerini tanımak, özelliklerini ve paralellik koşullarını kullanmak
  • Herhangi bir anda akrep ile yelkovan arasındaki açıyı hesaplamak

Düz bir kara yolu, demir yolunu eğik olarak kesiyor. Raylar birbirine paraleldir; yol iki rayı da keser ve kesişme noktalarında sekiz açı oluşur. Bir mühendis bu sekiz açının hepsini ölçmek zorunda mı? Hayır, yalnızca birini. Kalan yedisi bu dersteki kurallarla hesaplanır. Önce açının kendisini tanıyacak, sonra kesişen ve paralel doğruların oluşturduğu açıları inceleyeceğiz. Bir sonraki derste, “Üçgenler” dersinde, bu bilgilerle bir üçgenin iç açıları toplamının 180° olduğunu ispatlayacağız.

Açı, ölçülmesi ve çeşitleri

Tanım
Açı

Aynı noktadan çıkan iki ışının oluşturduğu şekil. Bu nokta açının köşesi, ışınlar ise kenarlarıdır. Köşesi O olan ve kenarları üzerinde A ile B noktaları bulunan açı ∠AOB ya da kısaca ∠O biçiminde yazılır (köşenin harfi ortaya yazılır).

Açılar derece ile ölçülür. Kenarları bir doğru oluşturan açıya doğru açı denir; onu 180 eş parçaya bölersek her parça 1° olur. Tam bir dönüş 360°’dir. Daha hassas ölçüm için derece 60 dakikaya bölünür: 1° = 60′; örneğin 37,5° = 37°30′. Bir açı iletkiyle şöyle ölçülür:

  1. 1
    Merkez köşeye

    İletkinin merkezini açının köşesine yerleştir.

  2. 2
    Sıfır çizgisi kenar boyunca

    İletkinin sıfır çizgisini açının bir kenarı boyunca hizala.

  3. 3
    Doğru ölçek

    Diğer kenarın ölçeği kestiği sayıyı, ilk kenarda 0’dan başlayan ölçeğe göre oku.

  4. 4
    Gözle kontrol et

    Açı dar görünüyorsa sonuç 90°’den küçük olmalıdır: 50° yerine 130° okumak en sık yapılan hatadır.

Açının türüÖlçüsü
Dar açı0° < α < 90°
Dik açıα = 90°
Geniş açı90° < α < 180°
Doğru açıα = 180°
Tanım
Açıortay

Açının köşesinden çıkan ve açıyı iki eş açıya bölen ışın.

∠AOB = ∠AOC + ∠COB; OC açıortay ⇒ ∠AOC = ∠COB = ∠AOB / 2∠AOB = ∠AOC + ∠COB; OC açıortay ⇒ ∠AOC = ∠COB = ∠AOB / 2
burada:
  • ∠AOBaçının tamamı
  • OCaçının içinden geçen ışın; açıortay açıyı iki eş parçaya böler

Açının içinden geçen bir ışın açıyı, toplamı açının tamamına eşit olan iki açıya ayırır. Açıortay ise açıyı tam ortadan böler.

Açıortay ve açıların toplanması

1) OC ışını ∠AOB’nin açıortayıdır ve ∠AOB = 76°. ∠AOC’yi bulun.
2) OC ışını ∠AOB = 132°’nin içinden geçiyor ve ∠AOC, ∠COB’nin 3 katı. Bu açıları bulun.
3) Açıortay 75°’lik açıyı hangi açılara ayırır? Cevabı derece ve dakikayla yazın.

Çözümü göster
1) Açıortay açıyı iki eş parçaya böler: ∠AOC = 76° ÷ 2 = 38°.
2) ∠COB = x olsun; o hâlde ∠AOC = 3x. Açıların toplanmasından 3x + x = 132°, 4x = 132°, x = 33°.
Cevap: ∠COB = 33°, ∠AOC = 99°. Kontrol: 99° + 33° = 132°.
3) 75° ÷ 2 = 37,5°. 0,5° = 0,5 · 60′ = 30′; yani her açı 37°30′ olur.

Komşu bütünler ve ters açılar. Dik doğrular

Tanım
Komşu bütünler açılar

Bir kenarı ortak olan ve diğer iki kenarı birbirinin uzantısı (zıt ışınlar) olan iki açı. Komşu bütünler açılar birlikte bir doğru açı oluşturur.

α + β = 180°
burada:
  • α, βkomşu bütünler açılar

Komşu bütünler açıların toplamı 180°’dir, çünkü birlikte bir doğru açıyı tamamen doldururlar. Bu yüzden dar açının komşu bütünleri geniş açıdır, dik açınınki ise yine dik açıdır.

Komşu bütünler açılar

1) Komşu bütünler iki açıdan biri 35°’dir. Diğerini bulun.
2) Komşu bütünler iki açıdan biri diğerinden 40° büyüktür. Bu açıları bulun.
3) Komşu bütünler iki açının oranı 2 : 7’dir. Bu açıları bulun.

Çözümü göster
1) 180° − 35° = 145°.
2) Küçük açı x olsun; büyük açı x + 40° olur. x + x + 40° = 180°, 2x = 140°, x = 70°.
Cevap: 70° ve 110°.
3) Açılar 2k ve 7k olsun: 2k + 7k = 180°, 9k = 180°, k = 20°.
Cevap: 40° ve 140°. Kontrol: 40° + 140° = 180°.
Tanım
Ters açılar

Birinin kenarları diğerinin kenarlarının uzantısı olan iki açı. Kesişen iki doğru iki çift ters açı oluşturur.

1234O
Komşu bütünler çiftleri: 1 ve 2, 2 ve 3, 3 ve 4, 4 ve 1. Ters açı çiftleri: 1 ve 3, 2 ve 4; aynı renkteki açılar eşittir.
∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4
burada:
  • ∠1 ve ∠3; ∠2 ve ∠4iki çift ters açı

Ters açılar eşittir.

Neden? ∠1 ve ∠3 açılarının her biri ∠2’nin komşu bütünleridir. Bu yüzden ∠1 = 180° − ∠2 ve ∠3 = 180° − ∠2, yani ∠1 = ∠3. Aynı şekilde ∠2 = ∠4. Demek ki kesişen iki doğrunun oluşturduğu dört açıdan birini bilmek yeter: ters açısı ona eşittir, diğer ikisi ise onun komşu bütünleridir.

Kesişen doğrular

1) İki doğru kesişiyor ve oluşan açılardan biri 58°. Diğer üç açıyı bulun.
2) İki doğru kesiştiğinde oluşan dört açıdan ikisinin toplamı 100°’dir. Dört açının hepsini bulun.
3) İki doğru kesiştiğinde oluşan açılardan biri diğerinin 4 katıdır. Dört açının hepsini bulun.

Çözümü göster
1) Ters açısı da 58°’dir; ona komşu iki açının her biri 180° − 58° = 122°’dir.
2) Komşu bütünler açıların toplamı 180° olurdu; bunların toplamı ise 100°. Demek ki bu iki açı ters açıdır ve eşittir: her biri 100° ÷ 2 = 50°. Diğer ikisi 180° − 50° = 130°.
3) Açılar eşit olmadığı için ters açı olamazlar; komşu bütünlerdir: x + 4x = 180°, x = 36°.
Cevap: 36°, 144°, 36°, 144°.
Tanım
Dik doğrular

Kesiştiklerinde dik açı oluşturan iki doğru; a ⊥ b biçiminde yazılır. Oluşan dört açının hepsi 90°’dir.

Dört açının hepsi neden dik? 90°’lik açının komşu bütünleri 180° − 90° = 90°’dir, ters açılar ise eşittir. Düzlemin herhangi bir noktasından verilen doğruya yalnızca bir dik doğru çizilebilir. Bir noktadan doğruya indirilen dikmenin uzunluğuna noktanın doğruya uzaklığı denir; bu, noktayı doğrunun noktalarına birleştiren doğru parçalarının en kısasıdır.

Paralel doğrular ve kesen

Tanım
Paralel doğrular

Aynı düzlemde bulunan ve kesişmeyen iki doğru; a ∥ b biçiminde yazılır. Paralellik aksiyomu: bir doğrunun dışındaki bir noktadan bu doğruya yalnızca bir paralel doğru çizilebilir.

İki doğruyu kesen üçüncü doğruya kesen denir. c keseni a ve b doğrularını kestiğinde her kesişme noktasında dört, toplam sekiz açı oluşur. a ile b arasında kalan 3, 4, 5 ve 6 numaralı açılar iç açılar, 1, 2, 7 ve 8 numaralı açılar dış açılardır. Açı çiftlerinin adları yerlerini anlatır:

12345678abc
a ∥ b ise aynı renkteki açılar eşittir.
  • Yöndeş açılar her kesişmede aynı konumdadır: 1 ve 5, 2 ve 6, 3 ve 7, 4 ve 8.
  • İç ters açılar iç açılardır ve kesenin farklı taraflarında bulunur: 3 ve 5, 4 ve 6 (dış ters açılar ise 1 ve 7, 2 ve 8).
  • Karşı durumlu açılar iç açılardır ve kesenin aynı tarafında bulunur: 3 ve 6, 4 ve 5.
a ∥ b ⇒ ∠1 = ∠5, ∠3 = ∠5, ∠3 + ∠6 = 180°
burada:
  • ∠1, ∠5yöndeş açılar (eşit)
  • ∠3, ∠5iç ters açılar (eşit)
  • ∠3, ∠6karşı durumlu açılar (toplamı 180°)

Paralel doğruların bir kesenle oluşturduğu açıların özellikleri: yöndeş açılar eşittir, iç ters açılar eşittir, karşı durumlu açıların toplamı 180°’dir. Diğer çiftler için de aynısı geçerlidir.

Neden? Paralel doğruların doğrultusu aynıdır: b doğrusunu c boyunca kaydırıp a’nın üzerine getirirsek alttaki “çarpı” üsttekinin tam bir kopyası olur; yöndeş açıların eşit olmasının nedeni budur. (Geometri dersinde bu gerçek paralellik aksiyomuna dayanarak kesin olarak ispatlanır.) Diğer iki özellik buradan çıkar: ∠3 = ∠7 (yöndeş) ve ∠7 = ∠5 (ters açılar), yani ∠3 = ∠5. ∠6 ise ∠5’in komşu bütünleridir; bu yüzden ∠3 + ∠6 = ∠5 + ∠6 = 180°.

Sekiz açıyı bulmak

Şekildeki gibi a ∥ b ve c bir kesen.
1) ∠2 = 56°. Sekiz açının hepsini bulun.
2) Karşı durumlu açılardan biri diğerinden 50° büyük. Bu açıları bulun.
3) Sekiz açıdan biri diğerinin 3 katı. Bu açıları bulun.

Çözümü göster
1) ∠4 = ∠2 = 56° (ters açılar), ∠1 = ∠3 = 180° − 56° = 124° (komşu bütünler). Yöndeş açılar eşit olduğundan alttaki kesişmede de aynı değerler çıkar.
Cevap: ∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 = 56°, ∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7 = 124°.
2) Karşı durumlu açıların toplamı 180°’dir: x + x + 50° = 180°, x = 65°.
Cevap: 65° ve 115°.
3) Burada eşit olmayan iki açıdan biri dar, diğeri geniş açıdır ve toplamları 180°’dir: x + 3x = 180°, x = 45°.
Cevap: 45° ve 135°.

Doğruların paralellik koşulları

Ters soru da önemlidir: açılara bakarak iki doğrunun paralel olduğunu nasıl anlarız? Sonuçta doğruları sonsuza kadar uzatıp hiç kesişmediklerini kontrol edemeyiz. Özellikler tersine de doğrudur; bunlar paralellik koşullarıdır.

∠1 = ∠5 veya ∠3 = ∠5 veya ∠3 + ∠6 = 180° ⇒ a ∥ b
burada:
  • a, biki doğru
  • ∠1, ∠3, ∠5, ∠6c keseniyle oluşan açılar (numaralar şekildeki gibi)

Paralellik koşulları: yöndeş açılar eşitse ya da iç ters açılar eşitse ya da karşı durumlu açıların toplamı 180° ise doğrular paraleldir. Üç koşuldan birinin sağlanması yeter.

İspat (iç ters açılar için). ∠3 = ∠5 olsun. a doğrusunun c ile kesiştiği noktadan b’ye paralel a′ doğrusunu çizelim; paralellik aksiyomuna göre böyle bir doğru tektir. a′ ∥ b olduğundan a′ ile c arasındaki iç ters açı ∠5’e, yani ∠3’e eşittir. Demek ki a ve a′ bu noktadan c’nin aynı tarafında aynı açıyla çıkıyor; çakışırlar. O hâlde a = a′, yani a ∥ b. Diğer iki koşul buna indirgenir: yöndeş açılar eşitse ters açılar yardımıyla iç ters açılar da eşit olur; karşı durumlu açıların toplamı 180° ise komşu bütünler açılar yardımıyla yine aynı sonuç çıkar.

  • Aynı doğruya dik olan iki doğru paraleldir: karşı durumlu açılar 90° + 90° = 180°.
  • Üçüncü bir doğruya paralel olan iki doğru birbirine paraleldir: aksi hâlde kesişme noktalarından üçüncü doğruya iki paralel geçerdi; bu da aksiyomla çelişir.
Doğrular paralel mi?

c keseni a ve b doğrularını kesiyor (numaralar şekildeki gibi). Her durumda a ∥ b olup olmadığını belirleyin.
1) ∠4 = 47°, ∠6 = 47°.
2) ∠3 = 118°, ∠6 = 72°.
3) ∠1 = 125°, ∠8 = 55°.

Çözümü göster
1) ∠4 ve ∠6 iç ters açılardır ve eşittir; demek ki a ∥ b.
2) ∠3 ve ∠6 karşı durumlu açılardır: 118° + 72° = 190° ≠ 180°; demek ki a ve b paralel değildir. Kesenin öbür tarafında karşı durumlu açıların toplamı (180° − 118°) + (180° − 72°) = 62° + 108° = 170° < 180°’dir; doğrular tam da bu tarafta kesişir.
3) ∠8 = 55° olduğundan komşu bütünleri ∠5 = 180° − 55° = 125°. ∠1 = ∠5 = 125°; yöndeş açılar eşit olduğu için a ∥ b.
40°40°35°35°AMBKab
Yardımcı paralel doğru ∠AMB’yi iki parçaya ayırır; her parça dıştaki açılardan birine eşittir.
Zikzak: yardımcı paralel doğru

a ∥ b. A noktası a, B noktası b üzerinde, M noktası ise paralel doğruların arasında (şekle bakın). a doğrusu ile AM doğru parçası arasındaki açı 40°, b doğrusu ile BM doğru parçası arasındaki açı 35°’dir. ∠AMB’yi bulun.

Çözümü göster
1) M’den a’ya paralel MK doğrusunu çizelim. Bu doğru b’ye de paraleldir (üçüncü bir doğruya paralel iki doğru birbirine paraleldir).
2) a ∥ MK ve AM kesen: ∠KMA = 40° (iç ters açılar).
3) b ∥ MK ve BM kesen: ∠KMB = 35° (iç ters açılar).
4) ∠AMB = ∠KMA + ∠KMB = 40° + 35° = 75°.
Kural: böyle bir zikzakta ortadaki açı, dıştaki iki açının toplamına eşittir.

Akrep ile yelkovan arasındaki açı

Saat problemleri açılar için iyi bir alıştırmadır. Saat kadranı 12 eş parçaya bölünmüştür; her parça 360° ÷ 12 = 30°’dir. Yelkovan 60 dakikada tam bir tur atar, yani dakikada 360° ÷ 60 = 6° döner. Akrep ise saatte 30°, yani dakikada yalnızca 30° ÷ 60 = 0,5° döner. Saat h:m iken yelkovan 12’den itibaren 6m derece, akrep ise 30h + 0,5m derece dönmüş olur. Akrep ile yelkovan arasındaki açı bu iki sayının farkıdır.

θ = |30° · h − 5,5° · m|
burada:
  • hsaat (0’dan 11’e kadar; 12:00’den sonraki zamanlar için h = 0)
  • mdakika (0–59)
  • θakrep ile yelkovan arasındaki açı; 180°’den büyük çıkarsa 360° − θ alınır

Formül nereden geliyor: (30h + 0,5m) − 6m = 30h − 5,5m. Yelkovan her dakika akrebe göre 6° − 0,5° = 5,5° öne geçer.

Akrep ile yelkovan arasındaki açı

Akrep ile yelkovan arasındaki açıyı bulun: 1) 4:00; 2) 2:30; 3) 9:45; 4) 12:40.

Çözümü göster
1) θ = |30° · 4 − 0| = 120°.
2) θ = |30° · 2 − 5,5° · 30| = |60° − 165°| = 105°. Akrep 2 ile 3’ün tam ortasındadır; bu yüzden cevap 4 · 30° = 120° değildir.
3) θ = |30° · 9 − 5,5° · 45| = |270° − 247,5°| = 22,5° = 22°30′.
4) h = 0: θ = |0 − 5,5° · 40| = 220° > 180°; bu yüzden küçük açı 360° − 220° = 140°’dir.
Akrep ile yelkovan ne zaman çakışır?

1) Saat 3:00’ten sonra akrep ile yelkovan ilk kez ne zaman çakışır?
2) Saat 12:00’de akrep ile yelkovan çakışıktır. Bu bir sonraki sefer ne zaman olur?

Çözümü göster
1) Saat 3:00’te akrep 90° öndedir. Yelkovan ona her dakika 5,5° yaklaşır: 90° ÷ 5,5° = 16 4/11 dakika ≈ 16 dk 22 sn.
Cevap: yaklaşık 3:16:22’de.
2) Yelkovan akrebi tam bir tur, yani 360° geçmelidir: 360° ÷ 5,5° = 65 5/11 dakika ≈ 1 sa 5 dk 27 sn.
Cevap: yaklaşık 1:05:27’de. Demek ki akrep ile yelkovan 12 saatte 11 kez çakışır.
Kendini dene: boşluğu doldur
  1. 1.35°’lik açının komşu bütünleri °’dir.
  2. 2.İki doğru kesişiyor, açılardan biri 72°. Ters açısı °’dir.
  3. 3.a ∥ b, karşı durumlu açılardan biri 64°. Diğeri °’dir.
  4. 4.Açıortay 130°’lik açıyı °’lik iki açıya böler.
  5. 5.Saat 5:00’te akrep ile yelkovan arasındaki açı °’dir.

Önemli noktalar

  • Dar açı 90°’den küçük, dik açı 90°, geniş açı 90° ile 180° arasında, doğru açı 180°’dir; 1° = 60′.
  • Açıortay açıyı iki eş parçaya böler; komşu bütünler açıların toplamı 180°’dir, ters açılar eşittir.
  • Dik doğrular dört dik açı oluşturur; bir noktanın doğruya uzaklığı dikmenin uzunluğudur.
  • a ∥ b ise yöndeş ve iç ters açılar eşittir, karşı durumlu açıların toplamı 180°’dir.
  • Bu üç koşuldan biri sağlanıyorsa doğrular paraleldir; aynı doğruya dik iki doğru paraleldir.
  • Akrep ile yelkovan arasındaki açı θ = |30° · h − 5,5° · m|’dir; 180°’den büyükse 360° − θ alınır.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12
125°’lik açı hangi türdendir?