Doğal sayılar ve işlem önceliği

Parantez, üslü ifade, çarpma-bölme ve toplama-çıkarma: bir ifadenin değerini doğru sırayla hesaplamayı öğren.

Bu derste öğreneceklerin

Doğal sayıları ve dört işlemi tanımak
İşlem önceliği kuralını uygulamak
Parantezli ve üslü ifadelerin değerini hesaplamak
İşlem özellikleriyle zihinden işlemi kolaylaştırmak

Aysel ve Murad aynı işlemi yaptı: 2 + 3 · 4. Aysel önce 2 ile 3'ü topladı ve 20 buldu; Murad ise önce çarpmayı yaptı ve 14 buldu. Hangisi haklı? Cevap, matematikte herkes için aynı olan bir kuralda saklı: işlem önceliği.

Doğal sayılar ve dört işlem

Tanım

Doğal sayılar

Saymak ve sıralamak için kullandığımız sayılar: 0, 1, 2, 3, … Sıfırdan farklı olanlara (1, 2, 3, …) sayma sayıları denir. En büyük doğal sayı yoktur.

Doğal sayılarla dört işlem yapılır: toplama, çıkarma, çarpma ve bölme. Her işlemin sonucunun kendi adı vardır: toplamada toplam, çıkarmada fark, çarpmada çarpım, bölmede bölüm elde edilir. Bir sayının kendisiyle birkaç kez çarpımını kısaca yazmak için üslü ifadeleri kullanırız.

aⁿ = a · a · … · a (n tane çarpan)

burada:

ataban
nüs — tabanın kaç kez çarpıldığını gösterir

Örneğin 2³ = 2 · 2 · 2 = 8 ve 5² = 5 · 5 = 25.

İşlem önceliği kuralı

Bir ifadede birden fazla işlem varsa bunları istediğimiz sırayla değil, belirli bir kurala göre yaparız. Aksi hâlde aynı ifadeden farklı kişiler farklı sonuçlar bulurdu. Kural şöyledir:

Parantez içindeki işlemler.
Üslü ifadeler.
Çarpma ve bölme — soldan sağa, yazıldıkları sırayla.
Toplama ve çıkarma — yine soldan sağa.

Kim haklı?

2 + 3 · 4 ifadesinin değerini bulun.

Çözümü göster

Parantez ve üslü ifade yok, o hâlde önce çarpma: 3 · 4 = 12.
Sonra toplama: 2 + 12 = 14.
Murad haklı. Aysel aslında başka bir ifadeyi hesaplamış: (2 + 3) · 4 = 20.

Tüm işlemler tek ifadede

48 ÷ (2 + 6) · 3 − 2³ ifadesinin değerini hesaplayın.

Çözümü göster

1) Parantez: 2 + 6 = 8.
2) Üslü ifade: 2³ = 8.
3) Soldan sağa bölme ve çarpma: 48 ÷ 8 = 6, sonra 6 · 3 = 18.
4) Çıkarma: 18 − 8 = 10.

Kırtasiyede

Leyla tanesi 2 manat olan 3 defter ve tanesi 1 manat olan 2 kalem aldı. Satıcıya 20 manat verdi. Leyla ne kadar para üstü almalı?

Çözümü göster

Para üstünü tek bir ifadeyle yazalım: 20 − (3 · 2 + 2 · 1).
Parantez içi: 3 · 2 + 2 · 1 = 6 + 2 = 8 manat.
Para üstü: 20 − 8 = 12 manat.
Parantez burada önemlidir: parantez olmasaydı 20 − 6 + 2 = 16 bulunurdu ve bu yanlıştır.

İşlemleri kolaylaştıran özellikler

Özellik	Gösterim	Örnek
Değişme özelliği	a + b = b + a, a · b = b · a	7 · 5 = 5 · 7 = 35
Birleşme özelliği	(a · b) · c = a · (b · c)	(17 · 25) · 4 = 17 · (25 · 4) = 1700
Dağılma özelliği	a · (b + c) = a · b + a · c	17 · 6 + 17 · 4 = 17 · 10 = 170

Bu özellikler ifadenin değerini değiştirmez ama işlemi çok kolaylaştırır. Örneğin 4 · 13 · 25 çarpımını bulmak için çarpanların yerini değiştirip önce 4 · 25 = 100 hesaplamak pratiktir: 100 · 13 = 1300.

Önemli noktalar

Sayma sayıları 1, 2, 3, … sayılarıdır; doğal sayılara 0 da dahildir ve en büyük doğal sayı yoktur.
İşlem önceliği: parantez → üslü ifade → çarpma ve bölme → toplama ve çıkarma.
Çarpma ile bölme, toplama ile çıkarma eşit önceliklidir ve soldan sağa yapılır.
Değişme, birleşme ve dağılma özellikleri işlemleri kolaylaştırır.

Kendini test et

10 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 10

5 + 2 · 3 ifadesinin değeri kaçtır?