İçeriğe geç
Educora
TR
AzərbaycancaEnglishРусскийTürkçe
ÖğrenmemEducora StudioAyarlar
İleri9–11. sınıf25 dk41 / 82

Parametreli problemler: ikinci dereceden üç terimlinin incelenmesi

Parametrenin anlamı ve a = 0 özel durumu, kök sayısı, her x için işaretini koruyan ikinci dereceden üç terimli, Vieta teoremiyle köklerin işaretleri, çarpmaya göre ters kökler, x₁² + x₂²’nin en küçük değeri, iki kökün de verilen bir sayıdan büyük olması, parabolün tepe noktasının yeri ve parametreli doğrusal denklem sistemleri — cevaplar aralık olarak, DİM tarzı kapalı uçlu ve kodlanan sorularla.

Kendini test et
Bu derste öğreneceklerin
  • Parametreli ikinci dereceden denklemde a = 0 durumunu ayırmak ve kök sayısını diskriminantla incelemek
  • İkinci dereceden üç terimlinin her x için işaretini koruma koşulunu (a ve D) uygulamak
  • Kökler üzerindeki koşulları (işaretler, ters kökler, x₁² + x₂², k’dan büyük kökler) Vieta teoremi ve D ile eşitsizliklere çevirmek
  • Tepe noktasının yeri ve parametreli doğrusal sistemin çözüm sayısıyla ilgili soruları çözmek

“a’nın hangi değerleri için…” — DİM giriş sınavında böyle başlayan sorular her yıl vardır: 2026’da I. ve II. grupların 60 sorusundan 6’sı parametreliydi (her x için negatif olan ikinci dereceden üç terimli, çarpmaya göre ters kökler, IV. bölgedeki tepe noktası, çözümü verilen sistem). Parametre, değeri bilinmeyen ama sabit bir sayıdır; soru onun bütün olası değerlerini incelemeyi ister. Bu ders “İkinci dereceden denklemler”, “İkinci dereceden fonksiyon ve grafiği” ve “İkinci dereceden eşitsizlikler ve işaret tablosu” derslerine dayanır.

a = 0 durumu ve kök sayısı

  1. 1
    1. Baş katsayı

    x²’nin katsayısı parametreye bağlıysa, sıfır olduğu durumu ayrıca incele: denklem birinci dereceden olur.

  2. 2
    2. Diskriminant

    a ≠ 0 için D’yi parametreyle yaz.

  3. 3
    3. Koşulu çevir

    Sözle verilen koşulu D, x₁ + x₂, x₁x₂, tepe noktası veya f(k) için eşitsizliklere çevir.

  4. 4
    4. Sistem

    Parametreye göre sistemi çöz ve a = 0 durumunun cevabını ekle.

  5. 5
    5. Cevap

    Cevabı aralık veya küme olarak yaz, sınır değerlerini ayrıca kontrol et.

a ≠ 0: D = b² − 4ac; D > 0 — iki farklı kök; D = 0 — bir kök; D < 0 — gerçek kök yok
burada:
  • a, b, cax² + bx + c = 0 denkleminin katsayıları (parametreye bağlı olabilir)

a = 0 olunca denklem bx + c = 0 olur: b ≠ 0 ise bir kök; b = 0 ise ya kök yoktur ya da her x köktür.

Kök sayısı

1) m’nin hangi değerleri için (m − 2)x² + 4x + 1 = 0 denkleminin tek kökü vardır?
2) k’nın hangi değerleri için x² − 6x + k = 0 denkleminin iki farklı kökü vardır?
3) k’nın hangi değerleri için kx² + 2x + 1 = 0 denkleminin kökü yoktur?

Çözümü göster
1) m = 2: 4x + 1 = 0 ⇒ x = −1/4 — bir kök, uyar.
m ≠ 2: D = 16 − 4(m − 2) = 24 − 4m = 0 ⇒ m = 6 (denklem 4x² + 4x + 1 = (2x + 1)² = 0).
Cevap: m ∈ {2, 6}. a = 0 durumu unutulursa m = 2 kaybolur.
2) D = 36 − 4k > 0 ⇒ k < 9. Cevap: (−∞, 9).
3) k = 0: 2x + 1 = 0 — kökü var, uymaz.
k ≠ 0: D = 4 − 4k < 0 ⇒ k > 1. Cevap: (1, +∞).

Her x için işaretini koruyan üç terimli

ax² + bx + c > 0 (her x) ⇔ a > 0 ve D < 0; ax² + bx + c < 0 (her x) ⇔ a < 0 ve D < 0
burada:
  • akolların yönü: a > 0 — yukarı, a < 0 — aşağı
  • D < 0parabol Ox eksenini kesmez

Kesin olmayan eşitsizliklerde (≥ 0, ≤ 0) D ≤ 0 alınır. a parametreye bağlıysa a = 0 durumunu ayrıca incele: bx + c her x için işaretini ancak b = 0 iken korur.

Etkileşimli
Simülasyon yükleniyor…
y = −x² + 4x + m parabolü. m kaydırıcısını oynat: m < −4 iken bütün parabol Ox ekseninin altındadır, m = −4 iken eksene teğettir.
İşaretini koruyan üç terimliler

1) m’nin hangi değerleri için −x² + 4x + m < 0 eşitsizliği her x için doğrudur?
2) a’nın hangi değerleri için (a − 1)x² − 2(a − 1)x + 3 > 0 eşitsizliği her x için doğrudur?
3) k’nın hangi değerleri için y = √(x² + 2x + k) fonksiyonunun tanım kümesi bütün sayı doğrusudur?

Çözümü göster
1) a = −1 < 0 ✓. D = 16 + 4m < 0 ⇒ m < −4. Cevap: (−∞, −4).
2) a = 1: 3 > 0 — her x için doğru, a = 1 uyar.
a ≠ 1: a − 1 > 0 ve D/4 = (a − 1)² − 3(a − 1) = (a − 1)(a − 4) < 0 ⇒ 1 < a < 4.
Cevap: [1, 4) — 1 dahil, 4 değil (a = 4 iken D = 0 ve x = 1’de ifade 0 olur).
3) Her x için x² + 2x + k ≥ 0: a = 1 > 0, D = 4 − 4k ≤ 0 ⇒ k ≥ 1. Cevap: [1, +∞).
DİM tarzı: kapalı uçlu soru

k’nın hangi değerleri için kx² − 4x + k − 3 < 0 eşitsizliği her x için doğrudur?
A) (−∞, −1) B) (−1, 4) C) (4, +∞) D) (−∞, 0) E) (−∞, −1) ∪ (4, +∞)

Çözümü göster
k = 0: −4x − 3 < 0 yalnızca x > −3/4 için doğrudur — uymaz.
k ≠ 0: { k < 0; D/4 = 4 − k(k − 3) < 0 } ⇒ { k < 0; k² − 3k − 4 > 0 } ⇒ { k < 0; k < −1 veya k > 4 } ⇒ k < −1.
Cevap: A.
E seçeneği yalnızca D < 0 koşulunun çözümüdür, k < 0’ı hesaba katmaz: k > 4 iken kollar yukarı bakar ve ifade pozitiftir.

Kökler üzerindeki koşullar: Vieta teoremi

x₁ + x₂ = −b/a; x₁ · x₂ = c/a; x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂x₁ + x₂ = −b/a; x₁ · x₂ = c/a; x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂
burada:
  • x₁, x₂ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri

Vieta formülleri ancak kökler varsa işe yarar: her seferinde D ≥ 0 (farklı kökler için D > 0) koşulunu da yaz.

KoşulParametre için sistem
Kökler zıt işaretlic/a < 0 (o zaman D > 0 kendiliğinden)
İki kök de pozitifD ≥ 0, x₁ + x₂ > 0, x₁x₂ > 0
İki kök de negatifD ≥ 0, x₁ + x₂ < 0, x₁x₂ > 0
Kökler çarpmaya göre ters (x₁x₂ = 1)c/a = 1 ve D ≥ 0
Kökler toplamaya göre ters (x₁ = −x₂)b = 0 ve c/a < 0
İki kök de k’dan büyükD ≥ 0, a · f(k) > 0, x₀ = −b/(2a) > k
f(x) = ax² + bx + c. Son satır: k noktası iki kökün de solundadır — orada f’nin işareti a’nınkiyle aynıdır, tepe noktası ise k’nın sağındadır.

Son satırdaki üç koşulun her biri gereklidir. D ≥ 0 köklerin varlığını sağlar. a · f(k) > 0, k’nın kökler arasında olmadığını söyler: kökler arasında f’nin işareti a’nın işaretinin tersidir. Ama k iki kökün de solunda ya da iki kökün de sağında olabilir — bunu x₀ > k ayırır. Örneğin x² − 2mx + m² − 1 = 0 denkleminde m = 0 iken D > 0 ve f(2) = 3 > 0’dır, ama kökler −1 ve 1’dir, ikisi de 2’den küçüktür: x₀ > 2 koşulu sağlanmaz (x₀ = 0).

Vieta teoremiyle koşullar

1) k’nın hangi değerleri için x² − 2x + k − 5 = 0 denkleminin kökleri zıt işaretlidir?
2) a’nın hangi değeri için x² + (a − 1)x + a² − 3 = 0 denkleminin kökleri çarpmaya göre terstir?
3) a’nın hangi değeri için x² + (a − 2)x − a = 0 denkleminin köklerinin kareleri toplamı en küçüktür? Bu en küçük değer nedir?
4) m’nin hangi değerleri için x² − 2mx + m² − 1 = 0 denkleminin iki kökü de 2’den büyüktür?

Çözümü göster
1) x₁x₂ = k − 5 < 0 ⇒ k < 5. Cevap: (−∞, 5).
2) x₁x₂ = a² − 3 = 1 ⇒ a = ±2.
a = 2: x² + x + 1 = 0, D = 1 − 4 = −3 < 0 — kök yok, a = 2 atılır.
a = −2: x² − 3x + 1 = 0, D = 9 − 4 = 5 > 0 ✓.
Cevap: −2.
3) x₁ + x₂ = 2 − a, x₁x₂ = −a; D = (a − 2)² + 4a = a² + 4 > 0 — kökler her zaman vardır.
x₁² + x₂² = (2 − a)² + 2a = a² − 2a + 4 = (a − 1)² + 3. En küçük değer 3’tür, a = 1 iken.
4) D/4 = m² − (m² − 1) = 1 > 0 ✓; f(2) = 4 − 4m + m² − 1 = m² − 4m + 3 > 0 ⇒ m < 1 veya m > 3; x₀ = m > 2.
Sistem: m > 3. Kontrol: kökler m − 1 ve m + 1’dir, m − 1 > 2 ⇔ m > 3. Cevap: (3, +∞).
DİM tarzı: kodlanan soru

m’nin hangi değeri için (m − 1)x² + 10x + 3m − 7 = 0 denkleminin kökleri çarpmaya göre terstir?

Çözümü göster
m ≠ 1 (yoksa denklem birinci dereceden olur). x₁x₂ = (3m − 7)/(m − 1) = 1 ⇒ 3m − 7 = m − 1 ⇒ m = 3.
Kontrol: m = 3 ⇒ 2x² + 10x + 2 = 0, D = 100 − 16 = 84 > 0 — kökler var ve çarpımları 2/2 = 1.
Cevap: 3.
İki yöntem: Vieta ve grafik

a’nın hangi değerleri için x² − 6x + 5 = a denkleminin iki farklı pozitif kökü vardır?

Çözümü göster
Vieta ile: x² − 6x + 5 − a = 0. D = 36 − 4(5 − a) = 16 + 4a > 0 ⇒ a > −4; x₁x₂ = 5 − a > 0 ⇒ a < 5; x₁ + x₂ = 6 > 0 ✓. Cevap: (−4, 5).
Grafikle: y = x² − 6x + 5 parabolünün tepe noktası (3, −4)’tür ve Oy eksenini (0, 5)’te keser. y = a doğrusu, grafiğin x > 0 olan kısmını yalnızca −4 < a < 5 iken iki noktada keser. a = 5 iken kökler 0 ve 6’dır — 0 pozitif değildir; a = −4 iken tek kök vardır. İki yöntem de aynı cevabı verir.
Yazılı soru: tam inceleme

a’nın hangi değerleri için ax² − (a + 1)x + 1 = 0 denkleminin iki farklı pozitif kökü vardır? Çözümün bütün aşamalarını yazın.

Çözümü göster
Çözüm. 1) a = 0: −x + 1 = 0 ⇒ x = 1 — tek kök, a = 0 uymaz.
2) a ≠ 0: D = (a + 1)² − 4a = (a − 1)². İki farklı kök için D > 0 ⇒ a ≠ 1.
3) Kökler: x = ((a + 1) ± |a − 1|)/(2a), yani x₁ = 1 ve x₂ = 1/a (kontrol: ax² − (a + 1)x + 1 = (ax − 1)(x − 1)).
4) x₁ = 1 > 0; x₂ = 1/a > 0 ⇒ a > 0.
5) Koşulları birleştiririz: a > 0 ve a ≠ 1.
Cevap: (0, 1) ∪ (1, +∞).
Ölçütler: a = 0 durumu incelenmiş — ⅓; kökler (veya D ve Vieta koşulları) doğru bulunmuş — ⅔; a ≠ 1 hesaba katılmış, cevap doğru yazılmış — 1.

Parabolün tepe noktası ve parametre

x₀ = −b/(2a); y₀ = f(x₀) = −D/(4a)x₀ = −b/(2a); y₀ = f(x₀) = −D/(4a)
burada:
  • (x₀; y₀)y = ax² + bx + c parabolünün tepe noktası

Tepe noktası I. bölgede: x₀ > 0, y₀ > 0; II.: x₀ < 0, y₀ > 0; III.: x₀ < 0, y₀ < 0; IV.: x₀ > 0, y₀ < 0. Ox üzerinde ⇔ D = 0; Oy üzerinde ⇔ b = 0.

Etkileşimli
Simülasyon yükleniyor…
y = x² − 2mx + 2m + 3 parabolünün tepe noktası (m, −m² + 2m + 3)’tür. m kaydırıcısıyla kontrol et: tepe noktası yalnızca m > 3 iken IV. bölgededir.
Tepe noktasının yeri

1) m’nin hangi değerleri için y = x² − 2mx + 2m + 3 parabolünün tepe noktası IV. bölgededir?
2) c’nin hangi değeri için y = x² + 4x + c parabolü Ox eksenine teğettir?
3) m’nin hangi değeri için y = x² + 2(m − 3)x + 5 parabolünün tepe noktası Oy ekseni üzerindedir?

Çözümü göster
1) x₀ = m, y₀ = m² − 2m² + 2m + 3 = −m² + 2m + 3.
{ m > 0; −m² + 2m + 3 < 0 } ⇒ { m > 0; m² − 2m − 3 > 0 } ⇒ { m > 0; m < −1 veya m > 3 } ⇒ m > 3.
Cevap: (3, +∞).
2) Teğetlik, tepe noktasının Ox üzerinde olması demektir: D = 16 − 4c = 0 ⇒ c = 4 (y = (x + 2)²).
3) x₀ = −(m − 3) = 0 ⇒ m = 3.

Parametreli doğrusal denklem sistemleri

a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ — tek çözüm; a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ — çözüm yok; a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ — sonsuz çözüma₁/a₂ ≠ b₁/b₂ — tek çözüm; a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ — çözüm yok; a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ — sonsuz çözüm
burada:
  • a₁x + b₁y = c₁, a₂x + b₂y = c₂sistemin denklemleri

Geometrik olarak doğrular kesişir, paraleldir ya da çakışır. Paydada 0 varsa oranlar yerine a₁b₂ − a₂b₁ = 0 koşulunu kontrol et. Ayrıntılar: “Doğrusal denklem sistemleri”.

Parametreli sistemler

1) m’nin hangi değerleri için { mx + 4y = 8; x + my = 4 } sisteminin tek çözümü vardır, çözümü yoktur, sonsuz çözümü vardır?
2) a ve b’nin hangi değerleri için (2, −3) ikilisi { ax + 2y = 4; 3x − by = 15 } sisteminin çözümüdür?
3) k’nın hangi değeri için { 2x + ky = 5; x + 3y = 2 } sisteminin çözümü yoktur?

Çözümü göster
1) m/1 = 4/m ⇔ m² = 4 ⇔ m = ±2.
m ≠ ±2 — tek çözüm.
m = 2: 2/1 = 4/2 = 8/4 = 2 — sonsuz çözüm (denklemler aynıdır).
m = −2: −2/1 = 4/(−2) = −2, ama 8/4 = 2 ≠ −2 — çözüm yok.
2) x = 2, y = −3 yerine koyalım: 2a − 6 = 4 ⇒ a = 5; 6 + 3b = 15 ⇒ b = 3.
3) 2/1 = k/3 ⇒ k = 6; 5/2 ≠ 2 ✓ — k = 6 iken doğrular paraleldir, çözüm yoktur.
Kodlanan sorular: cevabı sayıyla yaz
  1. 1.x² − 6x + k = 0 denkleminin tek kökü olması için k =
  2. 2.x² − 6x + k = 0 denkleminin iki farklı kökü olduğu en büyük tam sayı k:
  3. 3.x² + px + 12 = 0 denkleminin bir kökü 3’tür ⇒ p =
  4. 4.x² − 4x + m = 0 denkleminde x₁² + x₂² = 10 ⇒ m =
  5. 5.y = x² − 2mx + m² + 3 parabolünün tepe noktasının ordinatı:
  6. 6.{ 3x + ay = 6; x + 2y = 2 } sisteminin sonsuz çözümü vardır ⇒ a =

Önemli noktalar

  • Baş katsayı parametreye bağlıysa önce a = 0 durumunu ayrıca incele.
  • Her x için ax² + bx + c > 0 ⇔ a > 0, D < 0; < 0 ⇔ a < 0, D < 0.
  • Kökler üzerindeki koşullar Vieta formülleriyle yazılır, ama her zaman D ≥ 0 (veya D > 0) koşuluyla birlikte.
  • Tepe noktası (−b/(2a), −D/(4a))’dır: bölgeyi koordinatlarının işaretleri belirler.
  • Doğrusal sistem: a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂ oranları tek çözüm, çözümsüzlük veya sonsuz çözüm arasında karar verir.

Kendini test et

12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.

1 / 12
ax² + bx + c > 0 eşitsizliği her x için ne zaman doğrudur (a ≠ 0)?