Geometrik diziler

Kalınlığı 0,1 mm olan bir kâğıdı ikiye katlayalım: kalınlık 0,2 mm olur. Bir daha katlayalım: 0,4 mm, sonra 0,8 mm, 1,6 mm, … Her katlamada kalınlık iki katına çıkar. 10 katlamadan sonra yalnızca 102,4 mm’dir ama 42 katlamadan sonra, bu mümkün olsaydı, 0,1 · 2⁴² mm ≈ 440.000 km olurdu. Bu, Dünya ile Ay arasındaki ortalama uzaklıktan (yaklaşık 384.000 km) fazladır! Gerçek bir kâğıt bu kadar katlanamaz ama hesap şunu gösterir: sürekli aynı sayıyla çarpılan bir nicelik inanılmaz hızla büyür.

“Diziler ve aritmetik dizi” dersinde her seferinde aynı sayıyı ekliyorduk. Şimdi her seferinde aynı sayıyla çarpacağız. Bu derste geometrik dizinin formüllerini, sonsuz sayıda terimi toplamayı, devirli ondalık gösterimleri kesre çevirmeyi ve bileşik faizin neden bir geometrik dizi olduğunu öğreneceksin.

Geometrik dizi ve ortak çarpan

Neden b₁ ≠ 0 ve r ≠ 0? Aksi hâlde ikinci terimden itibaren bütün terimler sıfır olur ve bₙ₊₁ ÷ bₙ oranı hesaplanamaz. Ortak çarpan dizinin davranışını belirler. b₁ > 0 iken r > 1 ise dizi artar (3, 6, 12, 24, …), 0 < r < 1 ise azalır (81, 27, 9, 3, …). r < 0 ise terimlerin işaretleri sırayla değişir (2, −6, 18, −54, …), r = 1 ise bütün terimler eşittir (7, 7, 7, …).

Genel terimi adımları sayarak buluruz; yalnız her adımda eklemek yerine çarparız: b₂ = b₁r, b₃ = b₁r², b₄ = b₁r³. İlk terimden n. terime n − 1 adım vardır, yani r çarpan olarak n − 1 kez yer alır.

İlk terim ve ortak çarpan verilmediğinde bilinen iki terimi birbirine böleriz: bₘ’den bₙ’ye n − m adım vardır ve her adımda r ile çarparız.

Geometrik ortalama özelliği

Art arda üç terim alalım: bₙ₋₁, bₙ, bₙ₊₁. Komşu terimlerin oranı aynıdır: bₙ ÷ bₙ₋₁ = bₙ₊₁ ÷ bₙ = r. Orantının temel özelliğine göre (içler çarpımı dışlar çarpımına eşittir) bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁ olur. Terimler pozitifse bₙ = √(bₙ₋₁ · bₙ₊₁): her terim komşularının geometrik ortalamasıdır; dizinin adı da buradan gelir. Tersi de doğrudur: sıfırdan farklı sayılardan oluşan bir dizinin her terimi için bu eşitlik sağlanıyorsa dizi geometriktir.

İlk n terimin toplamı

Gauss yöntemi burada işe yaramaz: 1 + 2 + 4 + 8 toplamında 1 + 8 ve 2 + 4 çiftleri eşit değildir. Başka bir yol vardır. Sₙ = b₁ + b₁r + b₁r² + … + b₁rⁿ⁻¹ toplamını r ile çarpalım: rSₙ = b₁r + b₁r² + … + b₁rⁿ. İki toplam neredeyse aynıdır: birincide fazladan yalnız b₁, ikincide yalnız b₁rⁿ vardır. Birinciyi ikinciden çıkarınca geri kalan her şey sadeleşir: rSₙ − Sₙ = b₁rⁿ − b₁, yani Sₙ(r − 1) = b₁(rⁿ − 1).

Sonsuz azalan geometrik dizi ve devirli ondalık gösterimler

2 m’lik bir yolu şöyle yürüdüğümüzü düşünelim: önce 1 m, sonra kalan yolun yarısı (1/2 m), sonra yine kalanın yarısı (1/4 m) ve böyle devam eder. Yürünen yol 1 + 1/2 + 1/4 + … olur. Her adım kalan yolu yarıya indirir; bu yüzden toplam 2’ye istediğimiz kadar yaklaşır ama onu geçmez. Formülle: |r| < 1 ise n büyüdükçe rⁿ sıfıra yaklaşır; bu yüzden Sₙ = b₁(1 − rⁿ)/(1 − r) toplamı b₁/(1 − r) sayısına yaklaşır.

Devirli bir ondalık gösterim aslında sonsuz azalan bir geometrik dizinin toplamıdır. Örneğin 0,3̅ = 0,3 + 0,03 + 0,003 + …: burada b₁ = 0,3, r = 0,1’dir; bu yüzden 0,3̅ = 0,3 ÷ (1 − 0,1) = 0,3 ÷ 0,9 = 1/3. “Ondalık gösterimler” dersinde gördüğümüz 0,3̅6̅ = 4/11 eşitliği de böyle gösterilir.

Büyüme ve azalma problemleri

Bir nicelik her dönemde (yılda, saatte, sekişte) aynı yüzde kadar değişiyorsa değerleri bir geometrik dizi oluşturur: %p artışta her seferinde r = 1 + p/100 ile, %p azalışta r = 1 − p/100 ile çarparız. “Yüzdeler” dersindeki bileşik faiz formülü S = P · (1 + p/100)ⁿ tam olarak bir geometrik dizinin terimidir: P ilk terim, n yıl sonraki tutar ise (n + 1). terimdir.