- Bir fonksiyonun tanım ve görüntü kümesini formülden bulmak
- Sıfırları, işaret aralıklarını, artanlık ve azalanlığı, tekliği, çiftliği ve periyodikliği incelemek
- Temel fonksiyonların grafiklerinden öteleme, esnetme, yansıma ve mutlak değer ile yeni grafikler çizmek
- Ters fonksiyonu bulmak ve grafiğini y = x doğrusuna göre simetriyle çizmek
Elvin’in telefonundaki hava durumu uygulaması bir kış gününün sıcaklık grafiğini gösteriyor: günün her anına bir sıcaklık karşılık geliyor. Grafiğe bakar bakmaz bazı soruları cevaplarız: en sıcak ve en soğuk an ne zaman, sıcaklık ne zaman sıfırın üstünde, ne zaman yükseliyor, ne zaman düşüyor? Bu sorular her fonksiyon için sorulabilir; cevaplarına fonksiyonun özellikleri denir. Bu derste onları grafik çizmeden, formülden bulmayı ve bir grafikten hesap yapmadan yenilerini elde etmeyi öğreneceğiz.
“Doğrusal fonksiyon ve grafiği” dersinde fonksiyon kavramıyla tanıştık, “İkinci dereceden fonksiyon ve grafiği” dersinde parabolü öteledik, “Karekök, n. dereceden kök ve rasyonel üslü ifadeler” dersinde de y = √x grafiğini gördük. Şimdi bu fikirleri her fonksiyon için genelleştiriyoruz. Bu dil üstel, logaritma ve trigonometrik fonksiyonları, sonra da türevi öğrenirken gerekecek.
Fonksiyon, tanım kümesi ve görüntü kümesi
x değişkeninin her değerine y değişkeninin yalnızca bir değerini karşılık getiren kural: y = f(x). x’in alabileceği bütün değerler tanım kümesini D(f), y’nin aldığı bütün değerler ise görüntü kümesini E(f) oluşturur.
Bir fonksiyon dört biçimde verilebilir: formülle (y = x² − 1), tabloyla (saatlere göre sıcaklık), grafikle ve sözle (“her doğal sayıya bölenlerinin sayısı”). Bir eğrinin fonksiyon grafiği olup olmadığı da anlaşılabilir: her düşey doğru onu en fazla bir noktada kesmelidir. x² + y² = 25 çemberi bir fonksiyonun grafiği değildir: x = 3 için hem y = 4 hem y = −4 bulunur.
Formülle verilen bir fonksiyonun tanım kümesi, formülün anlamlı olduğu bütün x’lerdir: payda sıfır olmamalı, çift dereceden kökün içi negatif olmamalıdır (bu koşulları “İkinci dereceden eşitsizlikler ve işaret tablosu” dersinde ayrıntılı çözdük). Görüntü kümesini bulmak daha zordur. En güvenilir yöntem: a sayısı, f(x) = a denkleminin en az bir çözümü varsa ve yalnızca o zaman E(f)’ye aittir.
- D(f)tanım kümesi — x’in alabileceği değerler
- E(f)görüntü kümesi — y’nin aldığı değerler
- adenenen sayı
x’i a cinsinden yaz ve bunun hangi a değerleri için mümkün olduğunu bul. Basit durumlarda daha kısa bir yol vardır: (…)² ≥ 0, √(…) ≥ 0, |…| ≥ 0 parçalarını değerlendirmek.
1) y = √(8 − 2x) + 1/x fonksiyonunun tanım kümesini bulun. Görüntü kümesini bulun: 2) y = x² − 4x + 7; 3) y = 3 − √(x + 1); 4) y = 4/(x² + 1); 5) y = (2x + 1)/(x − 1).
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) Tam kareye tamamlarız: y = (x − 2)² + 3 ≥ 3 ve x = 2 için y = 3. E = [3, +∞).
3) √(x + 1) negatif olmayan her değeri alır; bu yüzden y = 3 − √(x + 1) ≤ 3. E = (−∞, 3].
4) x² + 1 ≥ 1 ⇒ 0 < 4/(x² + 1) ≤ 4 ve x = 0 için y = 4. E = (0, 4].
5) (2x + 1)/(x − 1) = a ⇒ 2x + 1 = ax − a ⇒ x(a − 2) = a + 1 ⇒ x = (a + 1)/(a − 2). Bu, a ≠ 2 iken mümkündür (a + 1 ≠ a − 2 olduğundan x ≠ 1 koşulu da sağlanır). E = (−∞, 2) ∪ (2, +∞).
Sıfırlar, işaret, artanlık ve azalanlık
f(x) = 0 olan x değerleri fonksiyonun sıfırlarıdır: orada grafik x eksenini keser ya da ona teğet olur. Fonksiyonun işaretini koruduğu aralıklara işaret aralıkları denir: f(x) > 0 olan yerde grafik x ekseninin üstünde, f(x) < 0 olan yerde altındadır.
- x₁, x₂aralıktan alınan herhangi iki değer
- f(x₂) − f(x₁)ispatta işaretini incelediğimiz fark
Artan fonksiyonda büyük değişkene büyük değer karşılık gelir; grafik soldan sağa yükselir. Artan ya da azalan bir fonksiyon her değeri en fazla bir kez alır; bu yüzden f(x) = a denkleminin en fazla bir kökü olur.
1) f(x) = x³ − 4x fonksiyonunun sıfırlarını ve işaret aralıklarını bulun.
2) f(x) = 5 − 2x fonksiyonunun azalan olduğunu ispatlayın.
3) f(x) = 1/x fonksiyonunun (0, +∞) aralığında azalan olduğunu ispatlayın.
4) f(x) = x³ fonksiyonunun bütün sayı doğrusunda artan olduğunu ispatlayın.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) x₁ < x₂ olsun. f(x₂) − f(x₁) = (5 − 2x₂) − (5 − 2x₁) = −2(x₂ − x₁) < 0, çünkü x₂ − x₁ > 0. Demek ki f(x₂) < f(x₁): fonksiyon azalandır.
3) 0 < x₁ < x₂ olsun. f(x₂) − f(x₁) = 1/x₂ − 1/x₁ = (x₁ − x₂)/(x₁x₂). Pay negatif, payda pozitiftir; fark negatiftir: fonksiyon azalandır.
4) x₂³ − x₁³ = (x₂ − x₁)(x₂² + x₁x₂ + x₁²). İkinci parantez (x₂ + x₁/2)² + ¾x₁² biçiminde yazılır ve x₁ ≠ x₂ iken pozitiftir. Demek ki x₁ < x₂ ⇒ x₁³ < x₂³: fonksiyon artandır.
Bu tür ispatlar yalnızca basit fonksiyonlarda kolaydır. “Artan ve azalan fonksiyonlar. Ekstremumlar” dersinde türev aynı soruyu her fonksiyon için tek adımda cevaplayacak.
Tek ve çift fonksiyonlar. Periyodik fonksiyonlar
y = x² grafiği y eksenine göre simetriktir, çünkü x ve −x aynı değeri verir. y = x³ grafiği ise orijine göre simetriktir: (2, 8) noktasının karşısında (−2, −8) noktası vardır. Bu iki simetri işi yarıya indirir: grafiğin sağ yarısını çizip yansıtmak yeter.
- D(f)−x de tanım kümesinde olmalıdır: küme 0’a göre simetriktir
- f(−x)x yerine −x yazılıp sadeleştirilmiş ifade
Çift fonksiyonun grafiği y eksenine, tek fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir. Fonksiyonların çoğu ne tek ne çifttir.
- 1Tanım kümesi
Tanım kümesi 0’a göre simetrik değilse fonksiyon ne tek ne çifttir; kontrol burada biter.
- 2f(−x)’i hesapla
x yerine −x yaz ve sadeleştir: (−x)² = x², (−x)³ = −x³, |−x| = |x|.
- 3Karşılaştır
f(−x) = f(x) ise çift, f(−x) = −f(x) ise tek. İkisi de değilse bunu bir sayıyla göster: örneğin f(−1) ≠ f(1) ve f(−1) ≠ −f(1).
Fonksiyonun tek mi, çift mi olduğunu belirleyin: 1) f(x) = x⁴ − 3x²; 2) f(x) = x³ + 2x; 3) f(x) = x/(x² + 1); 4) f(x) = x² + x; 5) f(x) = √x; 6) f(x) = |x| − x².
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) f(−x) = −x³ − 2x = −(x³ + 2x) = −f(x): tek.
3) f(−x) = −x/(x² + 1) = −f(x): tek.
4) f(1) = 2, f(−1) = 0: f(−1) ≠ f(1) ve f(−1) ≠ −f(1): ne tek ne çift.
5) D(f) = [0, +∞) simetrik değil: ne tek ne çift.
6) |−x| − (−x)² = |x| − x² = f(x): çift.
Bazı süreçler aynı süre sonra tekrarlanır: saatin akrep ve yelkovanı, gece ile gündüz, Ay’ın evreleri. Matematikte bu tür fonksiyonlara periyodik denir. En önemli örnekler sin x ve cos x’tir; periyotları 2π’dir. Onları “Trigonometrik fonksiyonlar ve grafikleri” dersinde ayrıntılı inceleyeceğiz.
- Tperiyot: T ≠ 0 bir sayı; genellikle en küçük pozitif periyot verilir
- xtanım kümesinden herhangi bir sayı (x ± T de kümededir)
T bir periyotsa 2T, 3T ve −T de periyottur: f(x + nT) = f(x). Grafik, uzunluğu T olan bir parçanın tekrarından oluşur.
f fonksiyonunun periyodu 4, f(1) = 3 ve f(2) = −1. 1) f(9), f(−6) ve f(2026) değerlerini bulun. 2) Ayrıca f tek fonksiyonsa f(7)’yi bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) 7 = −1 + 2 · 4 ⇒ f(7) = f(−1) = −f(1) = −3.
Temel fonksiyonlar ve grafik dönüşümleri
Aşağıdaki dört fonksiyonun grafiklerini tanımak gerekir: dönüşümler onlardan birçok yeni grafik üretir. y = k/x fonksiyonunun grafiği bir hiperboldür: k > 0 iken kolları I. ve III. bölgelerde, k < 0 iken II. ve IV. bölgelerdedir; kollar eksenlere giderek yaklaşır ama onları asla kesmez.
| Fonksiyon | D(f) | E(f) | Tek/çift | Monotonluk |
|---|---|---|---|---|
| y = k/x (k > 0) | x ≠ 0 | y ≠ 0 | tek | (−∞, 0) ve (0, +∞) aralıklarının her birinde azalan |
| y = √x | [0, +∞) | [0, +∞) | ne tek ne çift | artan |
| y = |x| | (−∞, +∞) | [0, +∞) | çift | (−∞, 0] aralığında azalan, [0, +∞) aralığında artan |
| y = x³ | (−∞, +∞) | (−∞, +∞) | tek | artan |
Herhangi bir y = f(x) fonksiyonunun formülünü biraz değiştirerek yeni grafikler elde ederiz. Kural kolay hatırlanır: x üzerinde yapılan değişiklik yatay yönde ve “tersine”, bütün fonksiyon üzerinde yapılan değişiklik ise düşey yönde ve “yazıldığı gibi” etki eder. Parabolün ötelenmesini “İkinci dereceden fonksiyon ve grafiği” dersinde görmüştük; şimdi bu kurallar her fonksiyon için geçerli.
- ayatay öteleme: a > 0 ise sağa, a < 0 ise sola
- bdüşey öteleme: b > 0 ise yukarı, b < 0 ise aşağı
Grafiğin her noktası (x, y) → (x + a, y + b) biçiminde taşınır. Tanım kümesi a kadar, görüntü kümesi b kadar kayar.
Grafiğin nasıl elde edildiğini söyleyin, tanım ve görüntü kümesini bulun: 1) y = √(x − 2) + 1; 2) y = 2/(x + 1) − 3; 3) y = (x − 1)³ + 2.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) y = 2/x hiperbolü 1 birim sola ve 3 birim aşağı ötelenir. Grafik x = −1 ve y = −3 doğrularına yaklaşır (bunlara asimptot denir). D: x ≠ −1, E: y ≠ −3. Kontrol: x = 0 için y = 2 − 3 = −1.
3) Kübik eğri 1 birim sağa ve 2 birim yukarı ötelenir; simetri merkezi (0, 0) → (1, 2). D = E = (−∞, +∞).
- k · f(x)y ekseni boyunca k kat esnetme (k > 1) ya da sıkıştırma (0 < k < 1): (x, y) → (x, ky)
- f(kx)x ekseni boyunca k kat sıkıştırma (k > 1): (x, y) → (x/k, y)
- −f(x), f(−x)x eksenine ve y eksenine göre yansıma
- |f(x)|x ekseninin altındaki parçalar yukarı yansıtılır, gerisi değişmez
Birkaç dönüşüm varsa sırayla çalış: önce x üzerindekiler (öteleme, sıkıştırma), sonra esnetme ve yansımalar, ardından düşey öteleme; dıştaki mutlak değer en sona kalır.
1) y = 2√x ile y = √(4x) grafiklerini karşılaştırın. 2) y = √(−x) fonksiyonunun tanım kümesini bulun. 3) y = |x² − 4| grafiğini çizin ve |x² − 4| = a denkleminin çözüm sayısının a’ya göre nasıl değiştiğini bulun.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) y = √x grafiğinin y eksenine göre yansımasıdır: −x ≥ 0 ⇒ D = (−∞, 0].
3) y = x² − 4 parabolünün sıfırları ±2’dir; −2 < x < 2 için x ekseninin altındadır. Bu kısmı yukarı yansıtırız: tepe noktası (0, −4) → (0, 4). Çözüm sayısı: a < 0 için 0; a = 0 için 2 (x = ±2); 0 < a < 4 için 4; a = 4 için 3 (x = 0 ve x = ±2√2); a > 4 için 2.
Ters fonksiyon
y = 2x + 1 fonksiyonu x’ten y’yi hesaplar. Bazen ters soru gerekir: y biliniyorsa x nedir? x = (y − 1)/2. Bu ancak f her değeri bir kez alıyorsa mümkündür; örneğin f artan ya da azalansa. y = x² fonksiyonunun bütün sayı doğrusunda tersi yoktur: y = 4 değeri hem x = 2 hem x = −2 için elde edilir.
f her değerini bir kez alıyorsa, E(f)’deki her y’ye f(x) = y eşitliğini sağlayan tek x’i karşılık getiren g fonksiyonu f’nin ters fonksiyonudur. Değişkenini yine x ile gösteririz: y = g(x).
- gf’nin tersi; f⁻¹ olarak da yazılır
- D, Eters fonksiyonda tanım kümesi ile görüntü kümesi yer değiştirir
(a, b) noktası f’nin grafiği üzerindeyse (b, a) noktası g’nin grafiği üzerindedir. Demek ki birbirinin tersi olan fonksiyonların grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.
- 1Ters var mı?
f her değeri bir kez almalıdır (örneğin artan ya da azalan olmalıdır).
- 2x’i yalnız bırak
y = f(x) eşitliğinden x’i y cinsinden yaz.
- 3Harfleri değiştir
x ile y’nin yerini değiştir: y = g(x).
- 4Tanım kümesini yaz ve kontrol et
D(g) = E(f). Kontrol: g(f(x)) = x olmalıdır.
Ters fonksiyonu bulun: 1) y = 2x + 1; 2) y = √(x − 2); 3) y = x³ − 1; 4) y = x², x ≥ 0.
Çözümü gösterÇözümü gizle
2) D(f) = [2, +∞), E(f) = [0, +∞). y² = x − 2 ⇒ x = y² + 2 ⇒ y = x² + 2, x ≥ 0; parabolün yalnızca sağ kolu.
3) x³ = y + 1 ⇒ x = ∛(y + 1) ⇒ y = ∛(x + 1). Kontrol: f(2) = 7, g(7) = ∛8 = 2.
4) x ≥ 0 için fonksiyon artandır; x = √y ⇒ y = √x. Grafikler y = x doğrusuna göre simetriktir. y = aˣ ve y = logₐx de böyle bir çift oluşturur (“Logaritma ve özellikleri. Logaritma fonksiyonu”).
- 1.y = √(x − 5) fonksiyonunun tanım kümesi: x ≥
- 2.y = (x + 2)² − 7 fonksiyonunun en küçük değeri:
- 3.y = 2x − 6 fonksiyonunun tersi: y = x/2 +
Önemli noktalar
- Fonksiyon her x’e tek bir y karşılık getirir; D(f) izin verilen x’ler, E(f) alınan değerlerdir: a ∈ E(f) ⇔ f(x) = a denkleminin çözümü vardır.
- Sıfırlar f(x) = 0 denkleminin kökleridir; artan: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂), azalan: f(x₁) > f(x₂); monoton bir fonksiyon her değeri bir kez alır.
- Çift: f(−x) = f(x), grafik y eksenine göre simetrik; tek: f(−x) = −f(x), grafik orijine göre simetrik; tanım kümesi simetrik olmalıdır.
- Periyodik: f(x + T) = f(x); periyodun tam katları kadar kaydırmak değeri değiştirmez.
- y = f(x − a) + b: a birim sağa, b birim yukarı; k · f(x): düşey esnetme, f(kx): yatay sıkıştırma; −f(x), f(−x): eksenlere göre yansıma; |f(x)|: x ekseninin altındaki kısım yukarı döner.
- Ters fonksiyon yalnızca f her değeri bir kez alıyorsa vardır: x’i yalnız bırak, harfleri değiştir; D(g) = E(f), grafikler y = x’e göre simetriktir.
Kendini test et
12 soru. Her doğru cevap XP kazandırır.