Matrisler ve matris işlemleri

Bir video oyununda karakter geri döndüğünde bilgisayar binlerce noktayı aynı anda döndürür: her birini dört sayıdan oluşan aynı küçük tabloyla çarpar. Bir mağazanın ürünlere ve günlere göre haftalık satışları, bir fotoğrafın pikselleri, bir denklem sisteminin katsayıları; hepsi böyle tablolardır. Doğrusal denklem sistemleri dersinde iki bilinmeyenli iki denklem çözmüştük; matrisler ise üç, yüz ya da bir milyon bilinmeyeni tek ve sistemli bir yöntemle ele almamızı sağlar.

Matris gösterimi ve türleri

Matrisler büyük harflerle gösterilir. Metin içinde matrisi satır satır yazacağız ve satırları noktalı virgülle ayıracağız: A = [2 −1 0; 4 3 5], ilk satırı 2, −1, 0 olan 2 × 3 boyutlu bir matristir. İlk indis her zaman satırın, ikincisi sütunun numarasıdır: burada a₁₂ = −1 ve a₂₃ = 5.

• Kare matris: m = n; asal köşegeni a₁₁, a₂₂, …, aₙₙ elemanlarıdır.
• Satır vektörü (1 × n) ve sütun vektörü (m × 1); örneğin [3; 1] bir sütundur.
• Sıfır matris O: bütün elemanları 0'dır.
• Birim matris I: asal köşegende 1, diğer yerlerde 0; I₂ = [1 0; 0 1].
• Simetrik matris: aᵢⱼ = aⱼᵢ, yani Aᵀ = A (devrik matris aşağıda açıklanıyor).

Matris işlemleri

Yalnızca aynı boyutlu matrisler toplanabilir: aynı konumdaki elemanlar toplanır. Bir matrisi k sayısıyla çarpmak için her elemanı k ile çarpılır. Bu işlemler sıradan aritmetik gibi davranır: A + B = B + A ve k(A + B) = kA + kB.

Matris çarpımı AB, yalnızca A'nın sütun sayısı B'nin satır sayısına eşit olduğunda tanımlıdır. AB'nin i. satır ve j. sütundaki elemanını bulmak için A'nın i. satırı ve B'nin j. sütunu boyunca ilerlenir, karşılıklı elemanlar çarpılır ve çarpımlar toplanır.

Bilinen diğer kurallar ise geçerlidir: (AB)C = A(BC) (birleşme), A(B + C) = AB + AC (dağılma) ve AI = IA = A; yani birim matris 1 sayısının rolünü oynar. Devrik Aᵀ matrisinde satırlar sütun olur: [2 −1 0; 4 3 5] matrisinin devriği 3 × 2 boyutlu [2 4; −1 3; 0 5] matrisidir.

Düzlemin dönüşümü olarak matris

2 × 2 boyutlu bir matris [x; y] sütun vektörüyle çarpıldığında yeni bir vektör elde edilir; yani matris düzlemi dönüştürür. Böyle bir dönüşüm doğrusaldır: orijin yerinde kalır, doğrular doğrulara gider. Temel gözlem şu: matrisin birinci sütunu [1; 0] vektörünün, ikinci sütunu ise [0; 1] vektörünün görüntüsüdür. İki taban vektörünün nereye gittiğini bilen, bütün dönüşümü bilir.

Önce B, sonra A dönüşümünü uygulamak, tek bir AB matrisiyle çarpmakla aynıdır: çarpım sağdan sola okunur. Matris çarpımının tam da satır çarpı sütun biçiminde tanımlanmasının nedeni budur. Değişme özelliğinin olmaması da geometrik olarak anlaşılır: S = [2 0; 0 1] için SR = [0 −2; 1 0], RS ise [0 −1; 2 0] olur. Önce döndürüp sonra germek, önce gerip sonra döndürmekle aynı şey değildir.

Ax = b biçiminde sistemler: Gauss yöntemi ve rank

Şu sisteme bakalım:
2x + y − z = 8
−3x − y + 2z = −11
−2x + y + 2z = −3
Bunu kısaca Ax = b biçiminde yazarız: burada A = [2 1 −1; −3 −1 2; −2 1 2] katsayılar matrisi, x = [x; y; z] bilinmeyenler sütunu, b = [8; −11; −3] ise sabitler sütunudur. b'yi ek bir sütun olarak yazarsak genişletilmiş matris [A | b] elde edilir.

Gauss yok etme yöntemi üç temel satır işlemi kullanır; bunların hiçbiri sistemin çözüm kümesini değiştirmez:

1. İki satırın yerini değiştirmek.
2. Bir satırı sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak.
3. Bir satırın katını başka bir satıra eklemek.

Amaç satır basamak biçimi elde etmektir: her satır bir öncekinden daha fazla sıfırla başlar, bir satırın sıfırdan farklı ilk elemanına pivot (öncü eleman) denir. Sonra bilinmeyenler aşağıdan yukarıya bulunur (geriye doğru yerine koyma). Aşağıda Sᵢ, i. satırı gösterir.

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[0, 1], [5, -2]])
print(A @ B)
print(B @ A)

M = np.array([[2, 1, -1], [-3, -1, 2], [-2, 1, 2]])
b = np.array([8, -11, -3])
print(np.linalg.solve(M, b))
print(np.linalg.matrix_rank(M))

[[10 -3]
 [20 -5]]
[[ 3  4]
 [-1  2]]
[ 2.  3. -1.]
3