Rasyonel sayılarla işlemler

Kabala’da sabah saat 7’de hava −5 °C idi. Öğlene kadar sıcaklık 9 derece yükseldi, akşam ise 6 derece düştü. Elvin’in telefon hattında 3 manat borç vardı (−3 manat); hattına 10 manat yükledi, sonra konuşmalara 8,5 manat harcadı. Akşam sıcaklık kaç derece oldu, Elvin’in bakiyesi şimdi ne kadar? Bu tür soruları cevaplamak için pozitif ve negatif sayılarla dört işlemi, kuvvetleri ve işlem önceliğini bilmek gerekir.

Önceki derste, “Pozitif ve negatif sayılar, sayı doğrusu ve mutlak değer” dersinde, sayı doğrusunu, ters işaretli sayıyı ve mutlak değeri öğrendin. Bu derste onlar her kuralın temelidir: toplamada mutlak değerler toplanır ya da çıkarılır, çıkarmada ters işaretli sayı yardıma gelir. Kesirlerle işlemleri “Kesirlerle işlemler” ve “Ondalık gösterimler” derslerinden biliyorsun; burada onlara yalnızca işaret ekleniyor.

Toplama: aynı ve farklı işaretli sayılar

Toplamayı sayı doğrusunda bir hareket olarak düşün. Birinci toplanandan başlarsın. Pozitif bir sayı eklemek sağa, negatif bir sayı eklemek sola gitmek demektir; kaç birim gideceğini eklenen sayının mutlak değeri söyler. Örneğin 3 + (−5): 3 noktasından 5 birim sola gideriz ve −2’ye varırız.

İşaretler farklı olduğunda iki hareket birbirine engel olur: sola gitmek, sağa gittiğimiz yolun bir kısmını geri alır. Sonuç hangi hareketin daha uzun olduğuna bağlıdır; yani mutlak değeri büyük olan toplanan “kazanır”.

1. 1
   İşaretleri karşılaştır

   İşaretler aynıysa 2. adıma, farklıysa 3. adıma geç.

2. 2
   Aynı işaretler

   Mutlak değerleri topla ve ortak işareti yaz: (−4) + (−9) = −13.

3. 3
   Farklı işaretler

   Büyük mutlak değerden küçüğü çıkar: (−9) + 4 için 9 − 4 = 5.

4. 4
   İşareti koy

   Mutlak değeri büyük olan toplananın işaretini al: −9’un mutlak değeri büyüktür, sonuç −5’tir.

Çıkarma, ters işaretliyi toplamaktır

5’ten 2’yi çıkarmak, 5’e −2 eklemekle aynıdır: 5 − 2 = 5 + (−2) = 3, çünkü iki durumda da doğru üzerinde 5’ten 2 birim sola gideriz. Aynı fikir negatif bir sayıyı çıkarırken de işler: 2 − (−6) = 2 + 6 = 8. Tanıma göre kontrol: 8 + (−6) = 2. Para diliyle: biri 6 manatlık borcunu silerse 6 manat kazanmış olursun.

Çıkarmanın önemli bir uygulaması iki büyüklük arasındaki farktır: sıcaklık farkı, yükseklik farkı, sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık. Önceki derste bu tür soruları birimleri sayarak cevaplıyorduk; şimdi tek bir formülle hesaplayabiliriz.

Çarpma ve bölme: işaret kuralları

Pozitif bir sayıyla çarpmak tekrarlı toplamadır: 3 · (−2) = (−2) + (−2) + (−2) = −6; üç tane 2 manatlık borç 6 manat borç eder. Peki (−1) · (−2) kaçtır? Örüntüye bak: 3 · (−2) = −6, 2 · (−2) = −4, 1 · (−2) = −2, 0 · (−2) = 0. Birinci çarpan her seferinde 1 azaldıkça çarpım 2 artıyor. Örüntü bozulmasın diye sonraki adım (−1) · (−2) = 2 olmalıdır. Demek ki iki negatif sayının çarpımı pozitiftir.

Bölme, çarpmanın tersidir: (−12) ÷ 3 = −4, çünkü (−4) · 3 = −12. Bu yüzden bölümün işareti de aynı kurala göre bulunur. Sıfıra bölme ise tanımsızdır: hiçbir sayı 0 ile çarpılınca −12 vermez.

Negatif sayıların kuvvetleri: (−a)ⁿ ve −aⁿ

Kuvvet, eşit çarpanların çarpımıdır: (−2)³ = (−2) · (−2) · (−2). Burada üç negatif çarpan vardır; yani sonuç negatiftir: −8. (−2)⁴ ifadesinde ise dört negatif çarpan vardır ve sonuç pozitiftir: 16. Parantez çok önemlidir: (−2)⁴ yazımında kuvveti alınan sayı −2’dir; −2⁴ yazımında ise yalnızca 2’nin kuvveti alınır, sonra ters işaretlisi yazılır: −2⁴ = −(2 · 2 · 2 · 2) = −16.

İşlem özellikleri ve işlem önceliği

Doğal sayılar için bildiğin özellikler bütün rasyonel sayılar için de geçerlidir. Hesabı epeyce kolaylaştırırlar: pozitif sayıları ayrı, negatif sayıları ayrı gruplayabilir; toplamı 10, 100 ya da 0 eden sayıları yan yana yazabilir; ortak çarpanı parantez dışına alabilirsin.

İşlem önceliği doğal sayılardaki gibidir (“Doğal sayılar ve işlem önceliği” dersine bak); yalnızca her adımda işarete dikkat etmek gerekir. Bir işlem işaretinden sonra gelen negatif sayı paranteze alınır: 5 · (−2), “5 · −2” değil.

1. 1
   Parantezler

   Önce parantez içindeki işlemleri yap; en içteki parantezden başla.

2. 2
   Kuvvetler

   Kuvvetleri hesapla; (−a)ⁿ ile −aⁿ’yi karıştırma.

3. 3
   Çarpma ve bölme

   Soldan sağa; her seferinde önce işareti, sonra mutlak değeri bul.

4. 4
   Toplama ve çıkarma

   Her çıkarmayı ters işaretliyi toplamaya çevir, sonra soldan sağa topla ya da pozitifleri ve negatifleri ayrı grupla.

Artık her türlü rasyonel sayıyla — tam sayılar, kesirler ve ondalık gösterimler, pozitif ve negatif — dört işlemi ve kuvvet almayı yapabilirsin. Sonraki konuda, “Cebirsel ifadeler, tek terimliler ve polinomlar” dersinde, sayıların yerini harfler alacak: parantez önündeki “−”, negatif katsayılar ve benzer terimlerin toplanması tam da bu dersteki işaret kurallarına dayanır.