Üçgenlerde benzerlik

Güneşli bir günde okul bahçesindeki bayrak direğinin yüksekliğini, direğe tırmanmadan nasıl ölçebiliriz? Aysel, boyu 1,6 m olan Elvin’in gölgesini ölçer: 2 m. Aynı anda direğin gölgesi 15 m’dir. Gölge, cismin kendisinin 1,25 katıdır; öyleyse direğin yüksekliği 15 ÷ 1,25 = 12 m’dir. Bu hesabın arkasında dersin ana fikri vardır: benzer üçgenlerin biçimi aynıdır, boyutları ise aynı oranda farklıdır.

“Üçgenlerde eşlik” dersinde biçimi de boyutu da aynı olan üçgenleri, “Dörtgenler: paralelkenar, dikdörtgen, eşkenar dörtgen, kare ve yamuk” dersinde ise Tales teoremini öğrendik. Şimdi Tales teoremini orantılı doğru parçalarına genelleştirecek, üç benzerlik kuralını öğrenecek ve bunları “Pisagor teoremi”nin yeni bir ispatında ve gölgeyle ölçmede kullanacağız. Bir fotoğrafı büyütmek, harita ve plan çizmek de benzerliğe dayanır.

Orantılı parçalar ve temel orantı teoremi

ABC üçgeninde M noktası AB kenarı, N noktası BC kenarı üzerindedir ve MN ∥ AC’dir. Bu iki paralel doğru B açısının kollarını keser. Tales teoremine göre bir açının bir kolunda eşit parçalar ayıran paralel doğrular öbür kolda da eşit parçalar ayırır. Parçalar eşit değilse ne olur? BM : MA = 3 : 2 olsun. BM’yi 3, MA’yı 2 eşit parçaya bölelim ve bölme noktalarından MN’ye paralel doğrular çizelim. Tales teoremine göre BC de eşit parçalara bölünür: BN’de 3, NC’de 2 parça olur; yani BN : NC = 3 : 2. Oran korunur!

Bir doğru parçasını verilen oranda bölmek (örneğin AB’yi 2 : 3 oranında) bu teoreme dayanan basit bir pergel-cetvel çizimidir:

1. 1
   Yardımcı ışın

   A noktasından AB ile açı yapan herhangi bir ışın çiz.

2. 2
   Eş parçalar

   Işın üzerine pergelle art arda 2 + 3 = 5 eş parça aktar; son noktaya P de.

3. 3
   Birleştir

   P noktasını B ile birleştir.

4. 4
   Paralel çiz

   İkinci bölme noktasından PB’ye paralel bir doğru çiz; bu doğru AB’yi aranan K noktasında keser: AK : KB = 2 : 3.

Bu teoremin üçgenin açıortayıyla ilgili güzel bir sonucu da vardır.

Neden? C’den BL’ye paralel bir doğru çizelim; bu doğru AB’nin B’den sonraki uzantısını K noktasında keser. ∠BKC = ∠ABL (yöndeş açılar), ∠BCK = ∠LBC (iç ters açılar), açıortay ise ∠ABL = ∠LBC olmasını sağlar. Demek ki BCK üçgeninde iki açı eşittir ve üçgen ikizkenardır: BK = BC. Şimdi BL ve KC paralel doğruları A açısının kollarını keser ve temel orantı teoremine göre AL / LC = AB / BK = AB / BC olur.

Benzer üçgenler ve üç benzerlik kuralı

Eşlikte olduğu gibi harflerin sırası eşleşmeyi gösterir: △ABC ∼ △KLM yazılışı A ↔ K, B ↔ L, C ↔ M demektir. Karşılıklı kenarlar eşit açıların karşısındadır. Tanımda altı koşul vardır ama hepsini kontrol etmek gerekmez. Temel yardımcı bilgi şudur: üçgenin bir kenarına paralel bir doğru, üçgenden ona benzer bir üçgen ayırır. İlk şekilde MN ∥ AC olduğunda △MBN ∼ △ABC olur: B açısı ortaktır, ∠BMN = ∠BAC ve ∠BNM = ∠BCA yöndeş açılardır, BM / BA = BN / BC ise temel orantı teoreminden gelir. N’den AB’ye paralel bir doğru çizersek bir paralelkenar oluşur ve aynı teorem MN / AC oranının da bu sayıya eşit olduğunu gösterir.

Nedeni: toplam 180° olduğundan üçüncü açılar da eşittir. A₁B₁ > AB olsun. A₁B₁ üzerinde A₁M = AB parçasını ayırıp MN ∥ B₁C₁ çizelim. A₁MN üçgeni büyük üçgene benzerdir (paralel doğru) ve AKA kuralına göre △ABC’ye eştir. Demek ki △ABC ∼ △A₁B₁C₁. En çok kullanılan kural budur: iki eşit açı çoğu zaman şekilden görünür; ortak açı, ters açılar, paralel doğrulardaki açılar, dik açılar.

İki kural da aynı yolla ispatlanır: büyük üçgenin içinde küçüğün bir “kopyasını” kurarız (A₁M = AB, MN ∥ B₁C₁) ve bunun küçük üçgene eş olduğunu KAK ve KKK eşlik kurallarıyla gösteririz.

Çevrelerin ve alanların oranı

Benzer üçgende her kenar k katına çıkarsa kenarların toplamı olan çevre de k katına çıkar. Karşılıklı yükseklikler, kenarortaylar ve açıortaylar da k katına çıkar, çünkü bunlar da benzer üçgenlerin karşılıklı kenarlarıdır. Alan ise taban ile yüksekliğin çarpımının yarısıdır: iki çarpan da k katına çıktığı için alan k · k = k² katına çıkar.

Dik üçgende Öklid bağıntıları

C açısı dik olan ABC üçgeninde (∠C = 90°) dik köşeden CH yüksekliğini çizelim. Yükseklik üçgeni iki küçük dik üçgene ayırır ve üçü de birbirine benzerdir: △ACH ile △ABC’nin A açısı, △CBH ile △ABC’nin B açısı ortaktır; her çiftte bir dik açı da vardır (AA). BH = p ve AH = q parçaları, a = BC ve b = AC dik kenarlarının hipotenüs üzerindeki izdüşümleridir.

Formüllerin kaynağı: △CBH ∼ △ACH olduğundan CH / AH = BH / CH, yani h / q = p / h ve h² = pq. △CBH ∼ △ABC olduğundan BH / BC = BC / BA, yani a² = cp; aynı yolla b² = cq. Son ikisini toplayalım: a² + b² = cp + cq = c(p + q) = c². Bu, Pisagor teoreminin benzerlikle ispatıdır! Alanı iki yolla yazarsak bir formül daha elde ederiz: ½ab = ½ch, yani h = ab / c.

Gölge ve aynayla yükseklik ölçme

Güneş çok uzakta olduğu için ışınları paralel kabul edilebilir. Bu yüzden aynı anda dik bir direk, gölgesi ve ışın bir dik üçgen; bir insan, gölgesi ve ışın ise buna benzer ikinci bir üçgen oluşturur: dik açılar eşittir, ışınların yerle yaptığı açılar da eşittir (AA). Ayna yönteminde ışığın yansıma kanunu kullanılır: gelme açısı yansıma açısına eşittir; böylece yine iki benzer dik üçgen elde edilir.